∫[0,π]log(sinx)dx にまつわる議論②
∫[0,π]log(sinx)dx にまつわる議論①https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12617677318.htmlの中で、∫[0→π]log(sinx)dx=-πlog(2)=-2.177586...という結論を得ることができたが、sinxやcosxの前に2 をかけたものy=log(2sinx) または、y=log(2cosx) のグラフをみると面白いことがわかる。A)y=log(2sinx) では、0≦x≦π の範囲でｘ座標の上の部分の面積と下の部分の面積が同じである。そして、x=π/2 を対称軸としたグラフである。これより ∫[0→π]log[2sinx)]dx=0 になっていることがわかる。B)0≦x≦π/2 の範囲でグラフをみてみると、やはりｘ軸上の上の部分と下の部分の面積が同じであることがわかる。また、sinx=1/2 のとき すなわち x=π/6 のとき、 log(2sinx) の値は0 になっている。これより∫[0→π/2]log[2sinx)]dx=0 になっていることがわかる。C)∫[0→π/2]log[2cosx)]dx=0 になっていることがわかる。 D)0≦x≦π/4 の範囲で積分をすると ∫[0→π/4]log[2sinx)]dx の値が、-C/2 になっている。カタラン定数:Chttps://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12117996498.html∫[0→1](logx)/(1+x²) dx=-Cまたは、C=Σ[n=0→∞](-1)ⁿ/(2n+1)² の1/2 になっていることがわかる。これらを証明していこう。まずは、A〜C の証明∫[0→π]log(sinx)dx=-πlog(2)=-2.177586...という結論を得ることができたが、この値を使わないで解く方法を示したと思う。まず、S=∫[0,π/2]log(sinx)dx 【=-π/2(log2)=-1.08879】J=∫[0,π]log(sinx)dx 【=-π(log2)=-2.17759】として、以下のように考える。J=∫[0,π]log(sinx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[π/2,π]log(sinx)dxここで∫[π/2,π]log(sinx)dxは、t=x-π/2 と置換して∫[0,π/2]log(sin(t+π/2)dt=∫[0,π/2]log(cost)dtだからJ=∫[0,π]log(sinx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(cosx)dx となる・・・（☆）以上を予備知識としてJ=∫[0,π]log(sinx)dx を変形していこうsinx=2sin(x/2)cos(x/2) を使ってJ=∫[0,π]log{2sin(x/2)cos(x/2)}dx=∫[0,π]log(2)dx+∫[0,π]log(sin(x/2))dx+∫[0,π]log(cos(x/2))dx=π(log2)+∫[0,π]log(sin(x/2))dx+∫[0,π]log(cos(x/2))dx.....①ここで∫[0,π]log(sin(x/2))dx は,x/2=t として x=0のとき t=0x=πのとき t=π/2dx=2dt だから∫[0,π]log(sin(x/2))dx=2∫[0,π/2]log(sint)dtとなる。S=∫[0,π/2]log(sinx)dxであったので、∫[0,π]log(sin(x/2))dx=2Sまた， ①式の∫[0,π]log(cos(x/2))dx は，x/2=t として2∫[0,π/2]log(cost)dtここで，t=π/2-x とするとt=0 のとき x=π/2t=π/2のとき x=0 だから∫[0,π/2]log(cost)dt=∫[π/2,0]log(cos(π/2-x))d(-x)=∫[0,π/2]log(cos(π/2-x))dx=∫[0,π/2]log(sinx)dxとなり、∫[0,π/2]log(cosx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx……(☆☆)が得られる。S=∫[0,π/2]log(sinx)dxであったので、S=∫[0,π/2]log(sinx)dx＝∫[0,π/2]log(cosx)dxが得られた。この結果より (☆)は、J=∫[0,π]log(sinx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(cosx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(sinx)dx=S+S=2SJ=2S ･･････(☆☆☆） となる。S=∫[0,π/2]log(sinx)dx＝∫[0,π/2]log(cosx)dxにおいてx=t/2 とすると t=2x でx=0 のとき t=0x=π/2 のとき t=πdx=dt/2 だからS=∫[0,π]log(sin(t/2))(dt/2)＝∫[0,π]log(cos(t/2))(dt/2)よって2S=∫[0,π]log(sin(t/2))dt＝∫[0,π]log(cos(t/2))dt よって①は、J=π(log2)+∫[0,π]log(sin(x/2))dx+∫[0,π]log(cos(x/2))dx=π(log2)+2S+2S=π(log2)+4S.よってπ(log2)=J-4S..②以上の結果を使って、∫[0→π]log{2cos(x/2)]dx が 0であることを示す∫[0→π]log{2cos(x/2)]dx=∫[0→π](log2)dx+∫[0→π]log{cos(x/2)]dx=π(log2)+∫[0→π]log{cos(x/2)]dx=π(log2)+2S....③③に②を代入∫[0→π]log{2cos(x/2)]dx=J-4S+2S=J-2S☆☆☆より J=2S であったので、J-2S=0 である。以上より∫[0→π]log{2cos(x/2)]dx=0x/2=t として x=2tx=0 のとき t=0x=πのとき t=π/2∫[0→π/2]log{2cos(t)]d(2t)=02∫[0→π/2]log{2cos(t)]dt=0よって∫[0→π/2]log{2cosx]dx=0☆☆より∫[0,π/2]log(cosx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dxであったので、両辺に(π/2)log2=∫[0,π/2]log(2)dxを加えて∫[0,π/2]log(cosx)dx+∫[0,π/2]log(2)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(2)dx∫[0,π/2]log(2cosx)dx=∫[0,π/2]log(2sinx)dxよって∫[0,π/2]log(2sinx)dx=0∫[0→π]log[2sinx)]dx=0☆よりJ=∫[0,π]log(sinx)dx=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(cosx)dx 両辺に πlog2=2∫[0,π/2]log(2)dxを加えて∫[0,π]log(sinx)dx+πlog2=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(cosx)dx +2∫[0,π/2]log(2)dx∫[0,π]log(sinx)dx+∫[0,π]log2=∫[0,π/2]log(2sinx)dx+∫[0,π/2]log(2cosx)dx∫[0,π]log(2sinx)dx=∫[0,π/2]log(2sinx)dx+∫[0,π/2]log(2cosx)dx右辺の∫[0,π/2]log(2sinx)dx 及び∫[0,π/2]log(2cosx)dx は, ０であるので、∫[0,π]log(2sinx)dx=0が得られた。D) の証明∫[0→π/4]log[2sinx)]dx=∫[0→π/4]log(2)dx+∫[0→π/4]log(sinx)dx=(π/4)log(2)+∫[0→π/4]log(sinx)dx後項の∫[0→π/4]log(sinx)dx についてx=2t と置換∫[0→π/4]log(sinx)dx=∫[0→π/4]log{1/2i)(e^(ix)-e^(-ix))dx=∫[0→π/4]log{1/2i)dx +∫[0→π/4]log(e^(ix)-e^(-ix))dx=-(π/4)log(2i)+∫[0→π/4]log(e^(ix)-e^(-ix))dx=-(π/4)log(2)-(π/4)log(i)+∫[0→π/4]log(e^(ix)(1-e^(-2ix))dx=-(π/4)log(2)-(π/4)log(e^(iπ/2))+∫[0→π/4]loge^(ix)dx+∫[0→π/4](1-e^(-2ix))dx=-(π/4)log(2)-(π²i/8)+∫[0→π/4](ix)dx+∫[0→π/4](1-e^(-2ix))dx=-(π/4)log(2)-(π²i/8)+(π²i/32)+∫[0→π/2](1-e^(-ix))d(x/2)=-(π/4)log(2)-(3π²i/32)+(1/2)∫[0→π/2](1-e^(-ix))dxよって∫[0→π/4]log[2sinx)]dx=(π/4)log(2)+∫[0→π/4]log(sinx)dx=(π/4)log(2)-(π/4)log(2)-(3π²i/32)+(1/2)∫[0→π/2](1-e^(-ix))dx=-(3π²i/32)+(1/2)∫[0→π/2](1-e^(-ix))dx最後に∫[0→π/2](1-e^(-ix))dxの値を求めます。これは、同じような問題をhttps://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12364635010.htmlでやっていたので、これを使います。∫[0→π/2]log(1-e^(-ix))dx 1-e^(-ix) =t と置換x=0のとき t=1-1=0x=π/2のとき t=1+idt/dx=ie^(-ix)=i(1-t)dx=i/(t-1) dt∫[0→π/2]log(1-e^(-ix))dx=i∫[0→1+i]1/(t-1)log(t)dt=i∫[0→1+i]1/(t-1)log(t)dt次に t-1=z と置換t=0のとき z=-1t=1+iのとき z=i与式=i∫[-1→i](1/z)log(z+1)dzここで∫[-1→i](1/z)log(z+1)dzを考えていく。|z|≦1 でlog(z+1)=z-z²/2+z³/3-z⁴/4+...だから(1/z)log(z+1)=1-z/2+z²/3-z³/4+...で∫[-1→i](1/z)log(z+1)dz=∫[-1→i]{1-z/2+z²/3-z³/4+z⁴/5...}dz=[z-z²/2²+z³/3²-z⁴/4²+z⁵/5²-z⁶/6²+…]|-1→i=i-i²/2²+i³/3²-i⁴/4²+i⁵/5²-i⁶/6²…- {(-1)-(-1)²/2²+(-1)³/3²-(-1)⁴/4²+(-1)⁵/5²-(-1)⁶/6²+…}=i+1/2²-i/3²-1/4²+i/5²+1/6²…- {-1-1/2²-1/3²-1/4²-1/5²-1/6²+…}=i+1/2²-i/3²-1/4²+i/5²+1/6²…+1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+…=i+1/2²-i/3²-1/4²+i/5²+1/6²…+π²/6=π²/6+1/2²-1/4²+1/6²-1/8²+…+i-i/3²+i/5²…=π²/6+1/4-1/(2･2)²+1/(2･3)²-1/(2･4)²+…+i-i/3²+i/5²…=π²/6+(1/4)(1-1/2²+1/3²-1/4²+….)+i(1-1/3²+1/5²-…)=π²/6+(1/4)(π²/12)+iΣ[k=1→∞](-1)^(k-1)/(2k-1)²=π²/6+π²/48+iΣ[k=1→∞](-1)^(k-1)/(2k-1)²=3π²/16+iCよって与式=i∫[-1→i](1/z)log(z+1)dz=i(3π²/16+iC)=i3π²/16-Cここで Cは、カタラン定数C=Σ[k=1→∞](-1)^(k-1)/(2k-1)²=0.9159655…以上より∫[0→π/4]log[2sinx)]dx=-(3π²i/32)+(1/2)∫[0→π/2](1-e^(-ix))dx=-(3π²i/32)+(1/2){i3π²/16-C}=-C/2になった。また∫[0→π/4]log[2sinx)]dx+∫[0→π/4]log[2cosx)]dxを考えてみる。∫[0→π/4]log[2sinx)]dx+∫[0→π/4]log[2cosx)]dx=∫[0→π/4]{log[2sinx)+log[2cosx)]}dx=∫[0→π/4]{log[4sinxcosx)]}dx=∫[0→π/4]{log[2sin(2x)}dx2x=t とすると与式=∫[0→π/2]{log[2sint}d(t/2)=(1/2)[0→π/2]{log[2sint}dtになるが、これは、前述したように 0 になるので、∫[0→π/4]log[2sinx)]dx+∫[0→π/4]log[2cosx)]dx=0 を満たすことになる。したがって∫[0→π/4]log[2sinx)]dx=-∫[0→π/4]log[2cosx)]dxが成り立ち、[0→π/4]log[2cosx]dx=C/2となることがわかる。そこでlog(2cosx) の 0≦x≦π/4 でのグラフを書いてみるとこんなふうになり、log(2sinx) の 0≦x≦π/4 での形と全く違う形になる。それでも、-C/2 と C/2 という積分値の絶対値は、同じであることに神秘さを感じる。また、∫[0,π/2]log(2sinx)dx=0 より∫[0,π/6]log(2sinx)dx+∫[π/6,π/2]log(2sinx)dx=0が成り立ち、∫[0,π/6]log(2sinx)dx=-∫[π/6,π/2]log(2sinx)dxという等式が成立します。log(2sinx)は、x=π/6 のとき log(1)=0 となるので、∫[0,π/6]log(2sinx)dx の積分値は、以下の数値計算のように負の数になります。初等関数では、あらわわすことができず、多重対数関数なるものを使って表記しています。 初等関数で頑張って求めてみましょう！∫[0,π/6]log(2sinx)dx=∫[0,π/6]log(2)dx+∫[0,π/6]log(sinx)dx=(π/6)log2+∫[0,π/6]log(sinx)dxそこで、∫[0,π/6]log(sinx)dx を計算するsinx=1/2i{e^(ix)-e^(-ix)}をつかって∫[0,π/6]log(sinx)dx=∫[0,π/6]log[1/2i{e^(ix)-e^(-ix)}]dx=∫[0,π/6]log[1/2i]dx+∫[0,π/6]log{e^(ix)-e^(-ix)}dx=-∫[0,π/6]log[2i]dx+∫[0,π/6]log[e^(ix){1-e^(-2ix)]dx=-∫[0,π/6]log(2)dx-∫[0,π/6]log(i)dx+∫[0,π/6]log[e^(ix)]dx++∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx=-(π/6)log2-∫[0,π/6]log(e^(iπ/2))dx+∫[0,π/6](ix))dx+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx=-(π/6)log2-(iπ/2)(π/6)+(ix²/2)[0,π/6]+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx=-(π/6)log2-(iπ²/12)+(iπ²/72)+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx=-(π/6)log2-5iπ²/72+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dxよって∫[0,π/6]log(2sinx)dx=-5iπ²/72+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dxであるので、∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx を計算する2x=t として(1/2)∫[0,π/3]log[1-e^(-it)]dtだから、∫[0,π/3]log[1-e^(-it)]dt を計算1-e^(-it)=x とおいてt=0 のとき x=0t=π/3 のとき x=1-e^(-πi/3)=e^(πi/3)=1/2+√3i/2dx=ie^(-it)dt=i(1-x)dtdt=-i/(1-x) dxよって∫[0,π/3]log[1-e^(-it)]dt=-i∫[0,e^(πi/3)]1/(1-x)log(x)dxつぎに1-x=z と変換x=0 のとき z=1x=e^(πi/3) のとき 1-e^(πi/3)=e^(-πi/3)-i∫[0,e^(πi/3)]1/(1-x)log(x)dx=-i∫[1,e^(-πi/3)](1/z)log(1-z)d(-z)=i∫[1,e^(-πi/3)](1/z)log(1-z)dz|z|＜1 で (1/z)log(1-z)=1+z/2+z²/3+z³/4+...だから、∫[1,e^(-πi/3)](1/z)log(1-z)dz=∫[1,e^(-πi/3)]{1+z/2+z²/3+z³/4+...}dx=[z+z²/2²+z³/3²+z⁴/4²+z⁵/5²+z⁶/6²+…][1,e^(-πi/3)]になって、[z+z²/2²+z³/3²+z⁴/4²+z⁵/5²+z⁶/6²+…] にe^(-πi/3)を代入した値から1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+… =ζ(2)=π²/6 （ゼータ関数の特殊値）をひけば出ます。Σ を使って表すと h(z)=z+z²/2²+z³/3²+z⁴/4²+z⁵/5²+z⁶/6²+…=Σ[k=0,∞] z^(k+1)/(k+1)²だからΣ[k=0,∞]1/(k+1)²e^{-π(k+1)i/3}となります。これらの結果を使うと∫[0,π/6]log(2sinx)dx=-5iπ²/72+∫[0,π/6]log[1-e^(-2ix)]dx=-5iπ²/72-(i/2){Σ[k=0,∞]1/(k+1)²e^{-π(k+1)i/3}}-π²/6}=-5iπ²/72+iπ²/12+(i/2)Σ[k=0,∞]1/(k+1)²e^{-π(k+1)i/3}=-iπ²/72+(i/2)Σ[k=0,∞]1/(k+1)²e^{-π(k+1)i/3}となった。これを Wolfram で計算させてみた。https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sum_k%3D0%5Einf+1%2F%28k%2B1%29²+e%5E%7B-π%28k%2B1%29i%2F3%7Dで、結果は、である。そこで、ちょっと近似して-iπ^2/72+(i/2)(0.27415567780803773941206919444-1.01494160640965362502120255i)ら、虚数部分は ほぼ 0 になって、実数部分が 0.5074...と出た。負の数になってほしかったけど。。。 絶対値は一致しています。どこかミスってかな？ 複素積分をするときの分岐点の問題でしょうか？z=e^{π(k+1)i/3}とすると、Σ[k=0,∞]1/(k+1)²e^{π(k+1)i/3}の値が、0.27415567780803773941206919444+1.01494160640965362502120255iとなるので、実測値と完全に一致します。数学の二つの心Amazon（アマゾン）1,300〜6,600円微分と積分 積分Amazon（アマゾン）880円留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)Amazon（アマゾン）1,320〜5,919円なっとくする複素関数 (なっとくシリーズ)Amazon（アマゾン）1,399〜4,279円ピタゴラスがくれたおくり物―ピタゴラスの定理 (数学ワンダーランド)Amazon（アマゾン）308〜4,698円
![∫[0→1]sin(logx)/(x-1) dx の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20200814/17/titchmarsh/2e/d2/j/o1130082214804037391.jpg?cpd=100)
![∫[0,π]log(sinx)dx にまつわる議論②の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20200813/23/titchmarsh/99/d4/p/o1204109614803734195.png?cpd=100)
![Σ[n=1→∞]1/{n(3n-1)} の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20200725/06/titchmarsh/8d/9a/j/o1062018214793874841.jpg?cpd=100)
