x²-2y²=p の整数解の考察 （その１）
x²-2y²=p において、p=-1から113までの正の整数解(x,y)を求めてみる。yの値が最小になる解を求めると次のようになる。pの値で(x,y)が整数解があるときだけ明記する。エクセルで x=√(2y²+p) の式をつくり，yとpの値を変えることによって，次の計算結果を得た。p=-1 のとき (1,1)p=0のとき (0,0) 唯一の解p=1のとき (2,3)p=2のとき (2,1) p=4のとき (6,4)p=7のとき (3,1) p=8のとき (2,4)p=9のとき (9,6)p=14のとき (4,1)p=16のとき (12,8)p=17のとき (5,2)p=18のとき (6,3)p=23のとき (5,1)p=25のとき (15,10)p=28のとき (6,2)p=31のとき (7,3)p=32のとき (8,4)p=34のとき (6,1)p=36のとき (18,12)p=41のとき (7,2)p=46のとき (8,3)p=47のとき (7,1)p=49のとき (9,4)p=50のとき (10,5)p=56のとき (5,1)p=62のとき (8,1)p=63のとき (9,3)p=64のとき (24,16)p=68のとき (10,4)p=71のとき (11,5)p=72のとき (12,6)p=73のとき (9,2)p=79のとき (9,1)p=81のとき (27,18)p=82のとき (10,3)p=89のとき (11,4)p=92のとき (10,2)p=94のとき (12,5)p=97のとき (13,6)p=98のとき (10,1)p=100のとき (30,20)p=103のとき (11,3)p=112のとき (12,,4)p=113のとき (11,2)例えばp=3のとき，解がないのは，以下のように証明ができる。（平方剰余を使う）x²-2y²=3 でx及びyは整数であるので，整数は，p=3 を法として、a≡1,2,0 の３種類にわけられる。したがってその平方数は，3を法として，a²≡1 または，a²≡0 である。(※３の平方剰余が,1であるということ）① x²≡0,y²≡0 のときx²-2y²≡0 (mod 3)②x²≡1,y²≡0 のときx²-2y²≡1 (mod 3)③ x²≡0,y²≡1のときx²-2y²≡-2≡1 (mod 3)④ x²≡1,y²≡1のときx²-2y²≡-1≡2 (mod 3)で x²-2y²=3 のときは，①のx²-2y²≡0 (mod 3)に相当するので，このとき，x=3m, y=3n である.よってx²-2y²=3 は，9m²-18n²=3 になり，m²-2n²=1/3 であるので，mとnが整数で 1/3 にはなり得ない。したがって，このような整数x,y は存在しない。同様にしてp=5のとき，解がないのは，以下のように証明ができる。x²-2y²=5でx及びyは整数であるので，整数は，p=5を法として、a≡1,2,3,4,0の5種類にわけられる。したがってその平方数は，5を法として，a²≡0 または，a²≡1, または，a²≡4である。(※5の平方剰余が,1と4 であるということ）① x²≡0,y²≡0 のときx²-2y²≡0 (mod 5)② x²≡0,y²≡1のときx²-2y²≡-2≡3 (mod 5)③ x²≡0,y²≡4のときx²-2y²≡-8≡2 (mod 5)④ x²≡1,y²≡0 のときx²-2y²≡1 (mod 5)⑤ x²≡1,y²≡1のときx²-2y²≡-1≡4 (mod 5)⑥ x²≡1,y²≡4のときx²-2y²≡-7≡3 (mod 5)⑦ x²≡4,y²≡0 のときx²-2y²≡4 (mod 5)⑧ x²≡4,y²≡1のときx²-2y²≡3 (mod 5)⑨ x²≡4,y²≡4のときx²-2y²≡-4≡1 (mod 5)で x²-2y²=5のときは，①のx²-2y²≡0 (mod 5)に相当するので，このとき，x=5m, y=5n である.よってx²-2y²=3 は，25m²-50n²=5 になり，m²-2n²=1/5 であるので，mとnが整数で 1/5にはなり得ない。したがって，このような整数x,y は存在しない。同様にして，整数解をもたない場合の他のpについても証明できると思う。また，x²-2y²=2の解が(2,1) と求めることができたら，2²-2*1²=2(2+√2)(2-√2)=2 で両辺を2乗すれば(2+√2)²(2-√2)²=4(6+4√2)(6-4√2)=46²-2*4²=4となるので，x²-2y²=4 の解が(6,4) と求めることができる。以下、同様にしてp=2^n の場合は，解を求めることができて，p=2 とp=7が求まれば，p=2×7=14の場合も同じ原理で 以下のように、解は求めることができるのである。x²-2y²=2 (x,y)=(2,1)x²-2y²=7 (x,y)=(3,1)において2²-2*1²=2 3²-2*1²=7 であるので，辺々をかけて(2²-2*1²)(3²-2*1²)=14(2+√2)(2-√2)(3+√2)(3-√2)=14よって(2+√2)(3+√2)(2-√2)(3-√2)=14(8+5√2)(8-5√2)=148²-2*5²=14で(x,y)=(8,5) または(2+√2)(3-√2))(2-√2)(3+√2)=14(4+√2)(4-√2)=144²-2*1²=14で(x,y)=(4,1) また，x²-2y²=1 の解にいたってはx²-2y²=-1 で (x,y)=(1,1)であることがすぐにわかるので、(1+√2)²=3+2√2になるので、x²-2y²=1の解が(3,2) と求めることができるのである。再度、整数解をもつときのpの値を分析してみてみよう。p=2 (素数)p=4=2²p=7 (素数)=8-1p=8=2³p=9=8+1p=14=2×7p=16=2⁴p=17 (素数)=8×2+1p=18=2×9p=23 (素数)=8×3-1p=25=8×3+1p=28=4×7p=31 (素数)=8×4-1p=32=2⁵p=34=2×17p=36=4×9p=41(素数)=8×5+1p=46=2×23p=47(素数)=8×6-1p=49=7²p=50=2×25p=56=7×8p=62=2×31p=63=7×9p=64=2⁶p=68=4×17p=71(素数)=8×9-1p=72=8×9p=73(素数)=8×9+1p=79(素数)=8×10-1p=81=9²p=82=2×41p=89(素数)=8×11+1p=92=2×46p=94=2×47p=97(素数)=8×12+1p=98=2×49p=100=2×50p=103(素数)=8×13-1p=112=2×56p=113(素数)=8×14+1こうやってみるとp=8m±1 型の素数の場合は，すべて整数解を持つようである。素数ではない例としてp=9p=25 とある。この場合は、8+1, 8×3+1 になっている。これは、いったい何故なのかを考察していくことにする。（つづく）はじめての数論 原著第3版 発見と証明の大航海‐ピタゴラスの定理から楕円曲線までアマゾンジャパン合同会社2,768〜7,978円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社928〜6,919円
)cos(nx-sinx)dx 等の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20210211/08/titchmarsh/5b/02/p/o0586031214894589485.png?cpd=100)
)cosxdx ,∫[0,π](e^(sinx))sinxdxの画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20210207/17/titchmarsh/7f/06/p/o0332012814892834632.png?cpd=100)
ᵏ⁻¹/(2k-1)^p の値 (ただし pは奇数)の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20210105/13/titchmarsh/a6/1a/j/o0640055814877312019.jpg?cpd=100)
²/(x²+1) dx の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20201220/01/titchmarsh/9e/59/j/o1454110614868952791.jpg?cpd=100)
/(x²-1) dx の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20201214/22/titchmarsh/c4/89/j/o1464121814866565659.jpg?cpd=100)
![∫[0, ∞] x/(eˣ-1) dx を巡る議論の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20201209/18/titchmarsh/f0/72/j/o0242012014863982955.jpg?cpd=100)
![∫[0→∞]{log(1+x)}/(1+x²) dx の値の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20200919/16/titchmarsh/e7/c0/j/o0604038614821796286.jpg?cpd=100)