4年以上前に バーゼル問題について 以下のリンク先で
６つのやり方を示した。
今回は、Σ[n=1→∞]1/n² の値が π²/6 になることを示すのではなく
Σ[n=1→∞]1/n² が ある積分表記ができることを論じてみたいと思う。
上記の６つのやり方の中にも積分表示があって、それと結果的には同様なものですが、別な方法でやりました。
hを正の任意定数として 以下の無限和
を考える。 この値は、収束して h=0のとき、Σ[n=1→∞]1/n² に一致する。
そこで 以下の値を考えてみよう
まずは、
このように変形できる。
そして 右辺は、 積分表記すると
が成り立つので、
となる。 ･･･①
左辺の被積分関数を変形して
になる。 ここで h→0 とすると この被積分関数の 左の部分は
このように書ける。…②
そこで、
について検討してみよう
が成り立つ
また これは次のように変形できる。
