てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室 -4ページ目

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11Aug
- ∫[0→∞] (logx)²/(xⁿ+1)dx の値
  よってまた、よってよって留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,153〜5,919円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社587〜5,763円数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社1,685〜6,500円
- ∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値　（その２）
  以前、以下のブログで同じ問題をやったが、今回は別な視点で解いてみようと思う。『∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値』これまで、∫[0→∞] (logx)/(x²+1)dx=0∫[0→∞] (logx)/(x³+1)dx=-2π²/27を求めてきた。そこで、今度は、より一般化…ameblo.jp留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,153〜5,919円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社587〜5,763円数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社1,685〜6,500円
21Jul
- 3x³=4ˣ　　の解
  3x³=4ˣ　　の解y=3x³ と　y=4ˣ　のグラフを書くと、次のように２点が求まる。ということは、この解は２つあるということなので、それがどのような形をしているのか具体的に求めてみよう　ここで、ランベルトのW関数を使うランベルトのW関数 - Wikipediaja.wikipedia.orgランベルトのW関数に関しては、以前のもこのブログで書いた『ランベルトのW(x)関数について』ランベルトのW(x)関数y=xe^xの逆関数をランベルトのW関数という。y=W(x)でx=ye^yである。両辺をxで微分すると1=y'e^y+ye^yy'…ameblo.jpただし、このときは、xの1次式=aˣ という方程式を解いただけなので、今回は、その続編である。
26Jun
- ∫[-∞→∞]e^(-x²)cos(2αx)dx　　の値　（その２）
  2016年12月に同じ問題をやっているが、別解も含めて、再度検討してみよう。『∫[0→∞]e^(-x²)cos(2αx)dx　　の値』∫[0→∞]e^(-x²)cos(2αx)dx被積分関数は偶関数だから∫[-∞→∞]e^(-x²)cos(2αx)dxを考えます。また∫[-∞→∞]e^(-…ameblo.jp最初は、以前に行った方法とほぼ同じやり方で複素積分で求める。＜別解１＞よって＜別解２＞/////////////////////////////////////////////////////////////////発展問題これらの漸化式を求めてみよう。という漸化式ができる。上記の式変形の途中よりという漸化式も成り立つ。また、以下のような漸化式も成り立つこれらの漸化式を使って、具体的な計算をしてみようそこで、という漸化式を使ってであるので////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////が成り立つ。
- ∫[0,∞]log(x²+a²)/(x²+b²)dx の値　
  の値を求めよう。よって///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////したがって、f(z) の複素積分を上半円で行い、その実部を求めれば、目的の実関数の積分値が求まる。留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,054〜5,919円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,932円
- ∫[0,∞](logx)²/(x³+1)dx の値
  の値を求めよう。それぞれの留数を求めよう。留数の和を計算します。ここで、上式の前項の部分を計算。後項の部分を計算。３つの留数の和よって複素積分の値は、留数定理より、以下のようになります。次に、それぞれの区間の積分値を求めます。これらをまとめると以下のようになります。以上より実部を比較して虚部を比較して　一方で、よりよって留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,054〜5,919円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,932円
- ∫[0,∞]logx/((x+a)(x+b))dx　(a,b>0) の値
  ⅰ) a≠b のときf(z) の極は、z=-a, z=-b その留数を求めよう。留数の和を計算留数定理より　複素積分の値は、次のようになる。次にそれぞれの区間の複素積分の値を求める。よって以上より実部を比較して虚部を比較してⅱ) a=bのとき次に、a =α+iβb=α-iβのときを考えてみよう。上記の公式にあてはめて計算する。になる。例題1<解法>x²+2x+4=0 の解 x_1, x_2 は、(x-x_1)(x-x_2)=0 よりx_1=-1-i√3=-a , x_2=-1-i√3=-bよってa=1-i√3b=1+i√3だから、α=1β=√3として、作った公式に代入α²+β²=4β/α=√3だからtan^(-1)(√3)=π/31/(2√3) (log4) *(π/3)=2/(2√3) (log2) *(π/3)=1/(√3) (log2) *(π/3)よって例題2ちなみに、logx がないものは、以下のようになる留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,054〜5,919円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,932円
- ∫[0,∞]logx/(x³+1)dx の値
  留数の値を求めよう。よって以上より実部を比較してという結果を得る。虚部を比較するとを得るが、この定積分は、一般的な演習問題でよく出題されていて、f(z)=1/(z³+1) を　120°の扇形の経路で複素積分を実行する方法をとっている。しかし、今回の例のように、f(z)=logz/(z³+1) とすることによっても求めることができるである。一般化『∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値』これまで、∫[0→∞] (logx)/(x²+1)dx=0∫[0→∞] (logx)/(x³+1)dx=-2π²/27を求めてきた。そこで、今度は、より一般化…ameblo.jp留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,054〜5,919円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,932円
- 「小谷の蟻」問題
  「小谷の蟻」　という問題があります。wiki によると小谷の蟻の問題 - Wikipediaja.wikipedia.orgという問題です。このwiki にあるリンクもたどりながら、この問題をまとめてみました。このような感じで問題が設定できます。直観的に考えれば、点Aの点対称な点である点Gが予想できますが、実際にはGよりも遠い点がみつかるのです。まずは、展開図を考えます。この緑の円は、半径が2√2 の円です。すなわち、点Aから直観で予想した点Gへの距離です。　ところが、上記の円周よりも、ほんのちょっと外側に点Qという点の方がちょっとだけ距離が長いことが確認できます。具体的にその点を求めてみましょう。Gから　x だけ縦横に離れた点をQとします。この赤い線分とピンクの線分が等しいとして、方程式をつくります。あとは、これを解いて、x を求めます。x=1/4 とでました。　実際に距離を求めるととなり、2√2=2.82 よりも長くなります。1:aの直方体ではどうなるでしょうか？a=1のときは、立方体になり、点対称な位置Gですが、aの値が大きくなりにしたがって、1/2 の位置（つまり正方形の中心）に近づくことがわかります。さて、今度は、蟻の出発点が頂点ではなく、正方形の任意の点だったらどうでしょうか？ゴールは、正方形の逆側の点対称の位置になるはずです。展開図を書いて考えてみます。この赤い直角三角形と青い直角三角形の斜辺が等しいとして方程式をつくります。展開図を書いて調べてみると、もう一つ行き方がありました。緑の線です。　直方体では　こんな感じになります。一般化しましょう。aを大きくしていくとどうなるか？となる。
08May
- ∫[0,π/2] (xcotx)^n dx (n=1〜6) の値
  の値　n=1〜6 の値を求めよう．(1) ∫log(sinx )dx, ∫x²log(sinx )dx,∫x³log(sinx )dx, ∫x⁴log(sinx )dx は、このブログの結果を使います．『ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関数）を使った問題』ポリ対数関数（ポリログ）（多重対数関数ともいう）を使って解きたいと思う.ポリログの定義　を使って∫[0,π/2]log(sinx)dx ，∫[0,π/…ameblo.jp(2)∫1/(tanx)^n dx の積分は、以下のブログの結果を使っています．『∫(cotx)^n dx の不定積分』の不定積分を求めよう．///////////////////////////////////////////////////…ameblo.jp(3)(4)(5)(6)整理すると　Wolfram Apha で確かめてみた　ということで、計算結果はあっているようである．当初，nを使った漸化式があるかもしれないと考えたが、わからなかった．しかし、n-1 の値がわかれば、それを使ってn の時の値もなんとか計算できると思った．ここにpdf ファイルもあるので参考にしてください。∫(x:tanx )^n.pdfdrive.google.com数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社809〜5,763円留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円
- 不定積分 ∫(cotx)^n dx
  の不定積分を求めよう．/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////当初、Wolfram Alpha で計算させて考えていた。上記の結果と違っていたので、以下考えたことを記載していく。pdfファイルはこちら∫1:(tan)^n.pdfdrive.google.com数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社821〜5,763円留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円
02May
- ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関数）を使った問題
  ポリ対数関数（ポリログ）（多重対数関数ともいう）を使って解きたいと思う.ポリログの定義　を使って∫[0,π/2]log(sinx)dx ，∫[0,π/2]xlog(sinx)dx, ∫[0,π/2]x²log(sinx)dx∫[0,π/2]x³log(sinx)dx, ∫[0,π/2]x⁴log(sinx)dx を求める.ちなみに，∫[0,π/2]log(sinx)dx　は，以前ここで解いた.　『∫[0,π/2]log(sinx)dx の値』∫[0,π/2]log(sinx)dx 　を求めるにあたってS=∫[0,π/2]log(sinx)dx　　とおく　S を求めるにあたって，J=∫[0,π]…ameblo.jpポリログは，　/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////以上より///////////////////////////////////////////////////////////////////////////以上より///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////以上より///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////以上よりpdfファイルはここです。前半ポリログ∫log(sinx)編.pdfdrive.google.com後半ポリログの∫log(cosx)編.pdfdrive.google.com数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社821〜5,763円留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円
01May
- ∫[0,π/2](x/tanx)²dx の値
  結論から言うとなります.＜証明＞『∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値　(2021/5/1改訂)』∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値【公式】∫[α→β]f(sinθ,cosθ)dθ=(1/π)Im∮g(z)･log[[z-e^(iβ)]/[z…ameblo.jp＜別解＞よって　数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円
- ∫[0,π/4] (x/tanx)dx の値
  を利用します.『∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値』∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値【公式】∫[α→β]f(sinθ,cosθ)dθ=(1/π)Im∮g(z)･log[[z-e^(iβ)]/[z…ameblo.jpここで，　という事実を使った不定積分の値　　2024年8月　『不定積分　∫x/(tanx ) dx（様々な表記　8月5日追加)』この２つ積分をするポリ対数関数（多重対数関数）　ポリログの知識を使うよって、最初に求めたい不定積分の値は以下のようになる。…ameblo.jp数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円
- sin(1),cos(1),sinh(1),cosh(1) を使った世界初かもしれない公式
  きっと、今のところ全く役に立たないと思うが、以下のような公式を作ったので証明していきたいと思う。最初に公式の確認をしようAの式で，m=2 とすると，WolframAphaの数値計算では，になる.右辺のΣの計算では　となるので，確かに一致していることがわかる.Bの式で，m=2 とすると，WolframAphaの数値計算では，になる.右辺のΣ計算では，　　になり、一致する...........................................................................................................................................................................A,Bの公式の証明終了..................................................................................................................................................................C,Dの公式についてちなみに、WolframAphaでは、バグをおこして、数値が違っている。C,D式の証明に移ろうつづいて　b_n を求める.証明終了pdf ファイルはここです。三角関数と双曲線関数のΣ表記(最新）.pdfdrive.google.com数研講座シリーズ大学教養微分積分アマゾンジャパン合同会社2,124〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)アマゾンジャパン合同会社3,080〜8,932円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社809〜5,763円
29Apr
- 　∫[0,π/2](x/tanx)³dx の値
  結論からいいます.　この積分の値は，以下のようになります.ζ(3) はゼータ関数ζ(s)=Σ[k=1→∞]1/k^s=1+1/2^s+1/3^s+.... のs=3の値ζ(3)=1+1/2³+1/3³+1/4³+.... (アペリー定数）　です.この値になることは，WoiramApha でも確認することができて、+(x/tanx)^3 from 0 to �/2 - Wolfram|AlphaWolfram|Alphaは，あらゆる職種，あらゆる教育レベルの，できるだけ広い範囲の人々に，専門家レベルの知識と機能をお届けします．www.wolframalpha.comとなります.　　　そこで，ちゃんとこれを証明したいと思います.天下り的ではあるが、以下のような微分を考えます。証明終了.........................................................................................................................................................最後に補題A,B,Cを証明↓ をクリックするとpdfファイルが見えます。Google ドライブ - 1 か所であらゆるファイルを保管Google ドライブなら、無料でファイルをバックアップして携帯電話、タブレット、パソコンから手軽にアクセスできます。まずは、15 GB の無料の Google ストレージをご利用ください。drive.google.com///////////////////////////////////////////////////////////////////////補足これを使うと最初の部分は、になる．参考『∫[0,π/2](x/tanx)²dx の値』結論から言うとなります.＜証明＞『∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値　(2021/5/1改訂)』∫[0→π/2] θ/(tanθ) …ameblo.jp数研講座シリーズ大学教養微分積分Amazon（アマゾン）2,077〜6,630円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)Amazon（アマゾン）3,080〜8,932円
28Mar
- ∫[0→π]x/(e^(nπ)±1) dx の値
  の値を求めよう.とおく.　以下の経路で複素積分を行う.特異点は，　の　n-1 個である.留数計算をするn-1番目の留数虚軸上の特異点を避ける半円の半径を０に近づけるとよって右辺の留数の和を求めるよって以上より以上より＜別解＞
28Feb
- 　∫[0,∞]x^ke^(-nx)dx =k!/n^(k+1) の証明
  というように、簡単に証明できました。ガンマ関数を使って証明してみよう。ガンマ関数の積分定義よりスタート留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社563〜5,724円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,856円
- ∫[0, ∞] x²/coshx dx の値
  として、積分和に変形した。そして　について検討　　及びよりよってここで　　『Σ[n=1→∞](-1)ᵏ⁻¹/(2k-1)^p　の値 (ただし　pは奇数)』これらの値を求めていこうと思う．⑴⑵⑶⑷ちなみに、p=2のときになり、これは　　カタラン定数　C　となる　『∫[0→1](logx)/(…ameblo.jpを参照して、　　以下のL関数の結果を使って以上より留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,856円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社563〜5,724円
27Feb
- ∫[0→∞]x/(e^(4πx)-1) dx 　の値
  　の値を求めようとして、下の図のような周回積分経路で、複素積分を実行する。まずは。このf(z)は、z=0、z=i は除去される特異点であることを確認しておく。z=i/2 における留数を求めるそれぞれの積分経路での値を求める。よって　留数定理よりよってが成り立つ。以上より留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)アマゾンジャパン合同会社1,100〜5,919円数学の二つの心アマゾンジャパン合同会社576〜5,724円リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流アマゾンジャパン合同会社2,310〜5,856円