てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室 -3ページ目

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11Jun
- ∫[log(sinx)]² dx from 0 to π/2 の値
  同じようなことをすると、次の結果もわかります。
02Jun
- ∫x^t log x dx の解法について
  通常は，部分積分をつかって行う。以下のようなテクニックがるので紹介しよう。＜別解＞
08May
- ベル数を使った関数について
  　ベル数を使って，以下の関数を定義する．（ベル数の指数型母関数）ベル数については，『Σ_{n=0→∞} n^k/n! の値』以上の考察よりameblo.jpに明記してある．　という関数が定義された．x=1 とするとx=e とするとこれらの考察よりとを使うとが成り立つ．
- $Σ_{n=0→∞} n^k/n! の値の画像$
  Σ_{n=0→∞} n^k/n! の値
  以上の考察より
30Apr
- 完全ベキ乗数N にまつわる話
  これを　ゴールドバッハ・オイラーの定理という。また、これはゼータ関数とも関係がある。したがって、　次のことが言える．次に　ζ(n)のn が偶数の場合を求めてみよう。
01Apr
- オイラーの公式　e^ix=cosx+isinxの導き方
  オイラーの公式の証明をするにあたって，一般によく使用されるのは，e^x のマクロリーン展開と　sinx と cosx のマクロリーン展開を使って証明する方法だと思います。ここでは，その証明は割愛して，別な証明を紹介します。ただし、厳密な証明ではないと思います。＜証明１＞＜証明２＞＊証明１も証明２も結局は，sinx と　cos xの　１次近似式（マクロリーン展開）を使っているので，一般的なe^x のマクロリーン展開を使った証明と本質的には変わらないものだと思った。証明３この証明も、∫1/x dx=log x となる証明で　e を定義しなければいけないので，はたして，オイラーの公式の証明になっているかどうかは疑問である（循環論法になっている可能性はあります）
31Mar
- ∫[0〜∞]x/(2e^x-1) dx の値
  の値を求める.まずは，以下のように変形3月18日のブログ内容の結果『Σ1/(n²2^n) n=1→∞ 　（多重対数関数：ポリログの特殊値）』多重対数関数(ポリログ) は、以下の式で定義された関数である．z=1/2 ,s=2 のときの値を求めることにする.＜補題１＞の証明0がなりたつ．そこ…ameblo.jpを使って，
19Mar
- Σ1/((k+1)!2^k) k=0　→ ∞ の値
  の値を求める．この展開式に　x=1/n を代入n=2を代入して
- Σ1/(k(k+1) 3^k) k=1→∞ の値
  の値を求める．＜補題＞最後に　n=3 を代入
18Mar
- Σ1/(n²2^n) n=1→∞ 　（多重対数関数：ポリログの特殊値）
  多重対数関数(ポリログ) は、以下の式で定義された関数である．z=1/2 ,s=2 のときの値を求めることにする.＜補題１＞の証明0<x<1 の範囲でがなりたつ．そこで，以下の積分値を求める．xのn乗の一般値を求めると，このようになるので，求めたい積分値は，以下のようになる．・・・①これを①とする．次に，①の定積分の０から１の間の任意の実数をa として，次のような積分を考える．この右辺の２つに分けた積分をとおく．最初にT の値を求めよう．ここで　以下の「赤囲み」の結果を使って計算をするととなる．これを②とする．次にSの値を求める．最後に　a=1/2 を代入する．Q.E.D.
10Feb
- ∫[0→∞] (logx)²/(xⁿ+1)dx の値 (その２）
  この問題は、以前『∫[0→∞] (logx)²/(xⁿ+1)dx の値』よってまた、よってよって留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28…ameblo.jpのように行ったが、今度は、「テトラガンマ関数」を使って求めよう。＜解法＞この積分について検討①の積分部分これで、終了であるが、以前の解答と違う形になっているので、この解答の形を変形しよう。■以前やったのと同じ形になった。留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)Amazon（アマゾン）1,650〜6,031円数学の二つの心Amazon（アマゾン）1,067〜5,350円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)Amazon（アマゾン）3,080〜10,432円
- ∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値　（その3）
  これまで同じ問題を2度、その１『∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値』これまで、∫[0→∞] (logx)/(x²+1)dx=0∫[0→∞] (logx)/(x³+1)dx=-2π²/27を求めてきた。そこで、今度は、より一般化…ameblo.jpその２『∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値　（その２）』以前、以下のブログで同じ問題をやったが、今回は別な視点で解いてみようと思う。『∫[0→∞] (logx)/(xⁿ+1)dx の値』これまで、∫[0→∞] …ameblo.jpというようにやってきたが、新たな解法が見つかったので紹介する。それは、解析接続されたガンマ関数を微分した「ディガンマ関数」をさらに１階微分した「トリガンマ関数」を使う手法である。トリガンマ関数は以下のように定義される。＜解法＞と変形する。ここで　①の積分部分について検討する。これまでの　「その１」と「その２」と違う形になった。　同値であることを証明しよう。留数解析―留数による定積分と級数の計算 (数学ワンポイント双書 28)Amazon（アマゾン）1,650〜6,031円数学の二つの心Amazon（アマゾン）999〜5,350円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)Amazon（アマゾン）3,080〜10,432円
31Dec
- トリガンマ関数の特殊値とその応用例
  参考　『π²/sin²(πx)=Σ[n=-∞→∞]1/(x-n)² の証明』π²/sin²(πx)=Σ[n=-∞→∞]1/(x-n)² =1/x²+1/(x+1)²+1/(x-1)²+1/(x+2)²+1/(x-2)²+1/(x+3)…ameblo.jpこの関係式を使って、いくつかの特殊値を求めてみよう．x=1/2 のときゼータ関数の　Σ1/n²=π²/6 を値を使わなくとも　奇数の逆２乗和の総数が　π²/8 であることがわかる．この結果を使っていくつか課題をやってみよう結局、カタランの定数の　10/9 倍になったわけだが、以下の証明の方が平易である．しかし、この問題で「差」を求めようとすると数値計算でしかできなくなる．（既存の定数πやCを使って表現できない）
30Dec
- ディガンマ関数の特殊値
  ディガンマ関数とは，解析接続されたガンマ関数Γ(z)の１階微分したものである.(γはオイラーの定数)それを特に、以下のように表示する.また，という式が成り立つので，漸化式　　が成り立ついくつかの特殊値を求めよう.z=1 のときz=-1とするとになり，　1/(n-1)の　部分は，n=1のとき発散してしまので，zが負整数のときは，特異点になる.これは，解析接続されたΓ関数と同じである.z=1/2 のとき実は，この　z=1/2 は　ディガンマ関数の積分表記によって求めることができる.　において、y=1 とするとこの積分表記を使うと以下のように積分計算で値が求まる.また，1/2 に関して、漸化式が求まる.z=1/3 に関しては以下のようになる.z=1/4 に関しては以下のようになる.その他の有理数点の値は以下のようになる
26Nov
- 双曲線関数の逆関数　sinh^(-1) (1/2) の値と黄金比の関係
  次に、このφをもとにして、この値を求めてみようこのような関係が成り立つ。<別解＞　以下のようなやり方もある。
17Nov
- x^x=3 の解法
  を　「x= 」の形に変形することを考えるグラフを書くと，以下のように　x=1.825... あたりが解になる.初等関数では表すことができなく，ランベルトのW関数という特殊関数を使うことによって表記できる．よって、以下のような表記になる．
13Nov
- ディガンマ関数と級数和
  具体的に書くと，以下のようになる.また，以下のようにまとめることができる.
24Oct
- 2つ曲線(または直線)の共有点の問題　高校数学
  久々の高校数学です。以下のような「定理」があります。この「定理」は.　共有点(x,y)では、f(x,y)=g(x,y)=0 であるので，k,l がどんな値でも、kf+gl=0 となるのは，自明であるので、「定理」といっていいのかわかりませんが、この自明なことを使って解くと計算が楽です。例題1y=2x+5とy=-x+2の交点と原点を通る直接の式を求めよ。通常の解法は、y=2x+5とy=-x+2を連立して、交点(-1,3)を求めます。その交点と原点(0,0)を通る式は　y=-3x問題の定理を使うと以下のようになります。k(2x-y+5)+l(x+y-2)=0これに(x,y)=(0,0)を代入5k-2l=0k=(2/5)lよって、(2/5)l(2x-y+5)+l(x+y-2)=0l≠0より、lで割って、2(2x-y+5)+5(x+y-2)=04x-2y+10+5x+5y-10=09x+3y=0y=-3xいささか、こちらの方が計算が大変でした。例題2円x²+y²-x-y-2=0と直線3x+y-2=0の２つの交点および原点を通る円の中心と半径を求めよ。この定理を使った解答f=x²+y²-x-y-2=0g=3x+y-2=0とします。k(x²+y²-x-y-2)+l(3x+y-2)=0が、原点を通るからx=0、y=0を代入。-2k-2l=0よって、k=-lこれをk(x²+y²-x-y-2)+l(3x+y-2)=0に代入すると-l(x²+y²-x-y-2)+l(3x+y-2)=0よって、-(x²+y²-x-y-2)+(3x+y-2)=0x²+y²-x-y-2-3x-y+2=0x²+y²-4x-2y=0(x-2)²+(y-1)²=4+1=5よって、中心(2,1)半径√5の円この定理を使わないと以下のようになります。x²+y²-x-y-2=03x+y-2=0を連立。y=-3x+2を代入x²+9x²-12x+4-x+3x-2-2=010x²-10x=0x²-x=0x(x-1)=0x=0、1よって(0,2),(1,-1),(0,0)を通る円の式x²+y²+ax+by=cとして、c=0a-b=-2b=-2a=-4x²-4x+y²-2y=0(x-2)²+(y-1)²=5ちょっと計算が大変かもしれませんね。例題3(1.4)と(-4.3)を通り、半径が√13の円の方程式を求めよこの定理を使うと以下のようになります。A(1,4)とB(-4,3)が　その２点を直径とする円と直線ABの共有点です。その共有点を通る円の半径が√13 であるという条件を使います。　（求めるのは、図の赤い円と青い円です）ABを直径とする円は、円周上の点をP(x,y)とすると∠APB=90°だからベクトルAPとベクトルBPの内積は0です。ベクトルAP=(x-1,y-4)ベクトルBP=(x+4,y-3)だからf(x,y)=(x-1)(x+4)+(y-4)(y-3)=0ABを通る直線はy=ax+bとしてx=1,y=4を代入4=a+bx=-4,y=3を代入3=-4a+b連立して、a=1/5,b=19/5y=x/5+19/5よってg(x,y)=x-5y+19=0よって、ABを通る円の式は任意定数kを使って、(x+4)(x-1)+(y-4)(y-3)+k(x-5y+19)=0x²+(k+3)x-4+y²-(5k+7)k-12+19k=0{x+(k+3)/2}²+{y+(5k+7)/2}²=-19k+{(k+3)²+(5k+7)²}/4半径が√13だから-19k+{(k+3)²+(5k+7)²}/4=13を解けばいい。計算は略しますが、k=±1以上より(x+4)(x-1)+(y-4)(y-3)+(x-5y+19)=0と(x+4)(x-1)+(y-4)(y-3)-(x-5y+19)=0これらを展開して整理すると、(x+2)²+(y-6)²=13と(x+1)²+(y-1)²=13この定理を使わないと以下のようになります。(x-a)²+(y-b)²=13に(1.4)を代入し(1-a)²+(4-b)²=13(-4.3)を代入し(-4-a)²+(3-b)²=13この２式を連立し(1-a)²+(4-b)²=(-4-a)²+(3-b)²-2a+1+16-8b=8a+16+9-6bb=-5a-4を(1-a)²+(4-b)²=13　に代入(1-a)²+(4+5a+4)²=13(1-a)²+(5a+8)²=13a²-2a+1+25a²+80a+64=1326a²+78a+52=0a²+3a+2=0(a+2)(a+1)=0a=-2,-1よってb=6,1よって(x+2)²+(y-6)²=13と(x+1)²+(y-1)²=13この定理を使わない方がシンプルで楽かな？例題4異なる３点(2,2)(5,-7)(6,0)を通る円の方程式を求めよ。x²+y²+ax+bx+c=0 として(2,2)を代入4+4+2a+2b+c=02a+2b+c=-8....①(5,-7)を代入25+49+5a-7b+c=05a-7b+c=-74....②(6,0)を代入36+6a+c=06a+c=-36....③①②③を連立①−②-3a+9b=66...④②−③-a-7b=-38...⑤④-⑤×3-3a+9b=663a+21b=11430b=180b=6よってa=-4c=-12x²+y²-4x+6x-12=0３元１次連立方程式を解くのが面倒ですね。この定理を使うと以下のようになります。最初に(2,2),(5,-7)を通る直線の式を求めておきます。y-2=-3(x-2)y-2=-3x+63x+y-8=0です。そうすると、2点(2,2),(5,-7)を通る円の式は2点(2,2),(5,-7)を直径とする円の式は、(x-2)(x-5)+(y-2)(y+7)=0 　です。（例題３参考）そうすると求める円は、任意定数kを使って(x-2)(x-5)+(y-2)(y+7)+k(3x+y-8)=0となります。これが(6,0)を通るからx=6、y=0を代入4-14+k(18-8)=0k=1よって(x-2)(x-5)+(y-2)(y+7)+k(3x+y-8)=0にk=1を代入して(x-2)(x-5)+(y-2)(y+7)+(3x+y-8)=0x²-7x+10+y²+5y-14+3x+y-8=0x²+y²-4x+6y-12=0(x-2)²+(y+3)²=25この方が明らかに計算が楽ですね。
11Sep
- (1/cosx)^n 　の不定積分
  という漸化式の公式がある.この証明は以下のようにする.そして,　n-1 で両辺を割れば、を導くことができる。n=2 のときn=3 のときn=4のときn=5 のとき数学の二つの心Amazon（アマゾン）587〜5,763円数研講座シリーズ大学教養微分積分Amazon（アマゾン）1,800〜6,421円チャート式シリーズ大学教養微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)Amazon（アマゾン）2,550〜8,932円基礎コース微分積分Amazon（アマゾン）1〜5,051円
28Aug
- 十字軍戦士のパズル
  「カンタベリー・パズル」と呼ばれるパズルの本の第４６問に次のような問題がある「十字軍戦士のパズル」The Riddle of the Crusadersひとつの正方形の隊列に新たに1人加わったため、隊列を組みかえて 113 の正方形ができたとすると、戦士は何人だったか？縦横　x人で整列した隊列があって、そこに一人が加わったために、縦横y人の隊列が113グループできたということなので，下の図のようなイメージだ．すなわち，　という方程式の整数解（自然数解）を求める問題として考えればいい．つまり、最初の隊列の人数は、602176人だった、ということである．//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////はじめての数論原著第3版発見と証明の大航海‐ピタゴラスの定理から楕円曲線までAmazon（アマゾン）2,389〜11,220円ガウスに学ぶ初等整数論 (MATH+)Amazon（アマゾン）1,230〜6,201円数学の二つの心Amazon（アマゾン）587〜5,763円