https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12620976558.html
で書いたペレリマン数列は、2乗するともとに戻る「天に向かって無限に続く数」
P=…57,423,423,230,896,109,004,106,619,977,392,256,259,918,212,890,625
Q=…42,576,576,769,103,890,995,893,380,022,607,743,740,081,787,109,376
であった。
この「天に向かって続く数」を考えてみよう。
私たちは、例えば、1/3 や、√2や、π という無限に小数点以下が続く数を知っている。
「天に向かって続く数」とは、いわば、その逆で、桁数が無限に大きくなっていく数のことである。
クルト・ヘンゼル（1861-1941)は、「無限m進数」というものを発見した。
通常の10進法で、例えば、123という３ケタに数は、
mod 10 で計算すると 123≡3 (mod 10) である。
この 3を123からひいて 123=120
120を mod 100 で計算すると 120≡20 (mod 100) である。
この20を120からひいて 120-20=100
100を mod 1000 で計算すると 100≡100 (mod 1000 )になる。
mod で計算した値の一番上の桁の数字を並べると123 となる。
これは当たり前であるが、この考えを負の数に適用してみよう。
通常の10進法で、例えば、-1 という負の数は、
mod 10 で計算すると -1≡9 (mod 10) である。
この 9を-1からひいて -1-9=-10
-10を mod 100 で計算すると -10≡90(mod 100) である。
この90を-10からひいて -10-90=-100
-100を mod 1000 で計算すると -100≡900 (mod 1000 )になる。
この900を-100からひいて -100-900=-1000
-1000を mod 10000 で計算すると -1000≡9000 (mod 10000 )になる。
この9000を-1000からひいて -1000-9000=-10000
この操作は、永遠に続けることができる。
mod で計算した値の一番上の桁の数字を並べると […9999] という数になる。
このような操作を -1 の「無限10進数展開」という。
そこで、
-1=[…9999]₁₀
書く。
-1=…9999 と形式的に書き、両辺に1 をたすと
0=…0000 となる。
右辺は、天まで無限に続く数であるが、0の数も無限であると思われるので、左辺の0 と等しいと考えることができるかもしれない。
また、
-1=…9999 の両辺を9でわると
-1/9=…1111
になる。
右辺は、1+10+100+1000+10000+… であるが、これは、1+10+10²+10³+… であるので、
初項が1で公比が10の無限級数の和になっている。
本来ならば |r|＜1 で適用できない 無限級数の和の公式 a/(1-r) に a=1, r=10 をいれると
1/(1-10)=-1/9 になるので、
-1/9=…1111 が形式的に等しい式であると考えることができる。
ヘンゼルは、この無限p進法展開を一般化し、以下のような補題をつくった。
このヘンゼルの補題にしたがって、
x+1≡0 (mod 10 ) から無限10進数をつくってみよう
F(x)=x+1=0
x=9 で F(9)=10≡0 (mod 10)
b=9 で 9は、合同式 F(x)≡0 (mod 10) の解である．
また
F'(x)=1 であるので，
F'(9)=1 とm=10は互いに素である．
R₀≡9 (mod 10) を満たす．
x=99 で F(99)=99+1=100≡0 (mod 10)
x=999 で F(999)=999+1=1000≡0 (mod 100)
x=9999 で F(9999)=9999+1=1000≡0 (mod 1000)
…
だから，
R=…999999
が-1の無限10進法の表記である．
例題1
3x-1≡0 (mod 10 ) から無限10進数をつくってみよう
3x-1=0
x=1/3 を無限10進数で表す
F(x)=3x-1=0
x=7 で F(7)=21-1=20≡0 (mod 10)
x=67で F(67)=201-1=200≡0 (mod 100)
x=667で F(667)=2001-1=2000≡0 (mod 1000)
…
よって，R=…66667
でF(R)=…66667×3-1=…000000=0 を満たす
よって
1/3=[…666667]₁₀
ここで，形式的に
1/3=…666667
という等式が成り立つとして 以下のように式変形してみよう
1/3=…666666+1
1/3-1=…666666
-2/3=…666666
-1/3=…333333
-1/9=…111111
となり，前述した式と一致した．
例題2
7x-1≡0 (mod 10 ) から無限10進数をつくってみよう
7x-1=0
x=1/7 を無限10進数で表す
F(x)=7x-1=0
x=7 で F(3)=21-1=20≡0 (mod 10)
x=43で F(43)=301-1=300≡0 (mod 10²)
x=143で F(143)=1001-1=1000≡0 (mod 10³)
x=7143で F(7143)=50001-1=50000≡0 (mod 10⁴)
x=57143で F(57143)=400001-1=400000≡0 (mod 10⁵)
x=857143で F(857143)=6000000≡0 (mod 10⁶)
x=2857143で F(2857143)=20000000≡0 (mod 10⁷)
x=42857143で F(42857143)=300000000≡0 (mod 10⁸)
x=142857143で F(142857143)=1000000000≡0 (mod 10⁹)
…
よって，R=…142857143
1/7=[…142857143]₁₀
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補足
，https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12620976558.html
で示した
x²-x≡0 (mod 10) が，ヘンゼルの補題を満たすかどうか検証してみよう。
F(x)=x²-x
F'(x)=2x-1
x²-x≡0 (mod 10)
x=0,1,5,6
が解である．
F'(0)=-1
F'(1)=1
F'(5)=9
F'(6)=11
は、m=10 と互いに素になっている．
R=…57,423,423,230,896,109,004,106,619,977,392,256,259,918,212,890,625
R=…42,576,576,769,103,890,995,893,380,022,607,743,740,081,787,109,376
で，R₀≡5 ,6 である．
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12621282405.html
に続く．