①Compliment 
    動詞: 褒める
    名詞: 褒め言葉

大人が子供を褒めるときはpraiseですが、ビジネスシーンや大人を褒める場合に使われるのはcomplimentです。

動詞としても使えますし、give compliments のように名詞としても使えます。

It’s harder to compliment someone than to blame.
批判するより褒める方が難しい


②Complimentary
    形容詞: 無料の

ホテルで例えば部屋に置いてある水やコーヒーにcomplimentaryと書いてあれば「無料の」という意味になります。

①から派生して「ホテルが敬意を表して無料で提供している」というニュアンスです。


③Complement
    動詞:補って完全にする
    名詞:補って完全にするもの

日本語にすると表現が難しくなりますが、例文を見ると分かると思います。

The wine complements the meal.
ワインが食事を完璧にする(引き立てる)

Good misic is a complement to a party.
いい音楽がパーティを完璧にする

We have a full complement of staff.
私たちには十分なスタッフがいます


重要度的には
①  > ② ,③  かなと思います。

complimemtはスピーキングで使えた方がいいですが、②③は読んで意味がわかればとりあえずオーケーかなと思います。