正12面体について見ていきましょう。
・頂点形状
正5角形×3枚
・頂点、辺、面の数
頂点、辺、面の数に対して一般に、
頂点+面=辺+2…(1)
が成立する。
面の数をnとすると、面が正5角形なので、
頂点と辺は5nになるが、
辺は2枚、頂点は3枚で共有するので、
辺は5n/2本、頂点は5n/3個となる。
これを(1)に代入すると、
5n/3+n=5n/2+2
n/6=2
n=12
と面の数が12枚となり、
辺が30本、頂点が20個と求まった。
・辺から見た場合
辺から見ると、1辺がφの立方体の各面に、
高さ1/2、上に長さ1の屋根が付いた形になる。
立方体の体積はφ³=2φ+1、
屋根の体積は(1/2)×{φ²/3+φ/6}=φ⁴/12
なので、正12面体の体積は、
φ³+6×φ⁴/12
=2φ+1+(3φ+2)/2
=(7φ+4)/2=(φ⁴√5)/2
・面から見た場合
面から見ると、上下の5角錐台と
中央の反5角柱の3層に分けられる。
5角錐台は、
底面が1辺φ、天面が1辺1の正5角形である。
よって、切り取った正5角錐と
全体の正5角錐の相似比が1:φとなる。
残された長さは1で全体の(φ-1)/φ=φ⁻²だから、
もとの正5角錐の斜辺の長さはφ²である。
正5角形の外接円の半径は辺の
(1/√5)×√(2+φ)倍なので、
もとの正5角錐の底面の中心から頂点まで、
(1/√5)×φ√(2+φ)となる。
もとの正5角錐の高さは斜辺φ²、
底面の中心から頂点までの距離(1/√5)×φ√(2+φ)から、
√{(φ²)²-{(1/√5)×φ√(2+φ)}²}
=√{(3φ+2)-(1/5)×φ²(2+φ)}
=(1/√5)×√{(15φ+10)-(3+4φ)}
=(1/√5)×√(11φ+7)
=(1/√5)×φ²√(2+φ)
底面は1辺がφの正5角形なので、
底面積はφ²×{(φ√5)/4}×√(2+φ)となる。
もとの正5角錐の体積は、底面積×高さ÷3より、
(1/3)×{φ²×{(φ√5)/4}×√(2+φ)}×{(1/√5)×φ²√(2+φ)}
=(1/12)×φ⁵(2+φ)
=(φ⁶√5)/12
切り取った正5角錐ともとの正5角錐
の相似比は1:φなので、体積比は1:φ³である。
5角錐台はもとの正5角錐の(φ³-1)/φ³
=2φ/φ³=2/φ²倍であり、5角錐台の体積は、
{(φ⁶√5)/12}×{2/φ²}
=(φ⁴√5)/6
と求まった。
中層の反5角柱は
底面は1辺φの正5角形で斜辺1である。
反角柱の高さは、
1辺1の正5角形の三角部分の高さ(φ⁻¹/2)×√(2+φ)と、
底面の1辺φの正5角形の半径差(φ⁻¹/2√5)×√(2+φ)
から、(φ⁻¹/√5)×√(2+φ)と求まる。
底面の辺が1の正n反角柱の平均断面積は、
n(R+2r)/6より、5(R+2r)/6
=(5/6)×{(1/√5)×√(2+φ)+(1/√5)×φ√(2+φ)}
={(√5)/6}×φ²√(2+φ)となった。
底面の正5角形の1辺はφなので、平均断面積は、
{(√5)/6}×φ⁴√(2+φ)である。
反角柱の体積は、
{(φ⁻¹/√5)×√(2+φ)}×{{(√5)/6}×φ⁴√(2+φ)}
=(φ³/6)×(2+φ)
=(φ⁴/6)×√5 と求まった。
5角錐台と反5角柱の体積は等しいようだ。
5角錐台の2倍と反5角柱を足すと正12面体となる。
・頂点から見た図
頂点から見ると5層に分けられる。
・外側の3角錐
・2,4層目の立体
・真ん中の立体
である。
まず、外側の3角錐について、
・底面は面の対角線φの正3角形
・斜辺は面の辺で1
である。
底面の中心から頂点までの距離がφ/√3だから、
斜辺1と合わせて、3角錐の高さが、
√{1²-(φ/√3)²}
=√{(2-φ)/√3}
=φ⁻¹/√3
と求まる。
底面積は辺の長さがφの正3角形だから、
面積はφ²×{(√3)/4}
よって3角錐の体積は、
(1/3)×(φ⁻¹/√3)×{(φ²√3)/4}
=φ/12
と求まった。
2,4層目は、
・天面がひと辺φの正3角形
・底面が辺の1と対角線φが交互で、
内角が120°の6角形
・上下の対応は、
天面φ…底面1
天面0(頂点)…底面φ
・斜辺が1
の立体である。
高さは斜辺と平面距離から求めてもよいが、
正5角形の3角形と台形部分の高さの比が、
1:φであることから1/√3と求まる。
平均断面積を求める前に断面の辺の長さを求める。
天面を0、底面を1とする変数tを用いて、
天面φ…底面1
φ(1-t)+1×t=-φ⁻¹t+φ、
天面0(頂点)…底面φ
0×(1-t)+φ×t=φt
と表せた。
次に、内角120°、辺の長さがaとbの交互である6角形の面積を求める。
まず、辺aを底辺とすると、反対側の底辺はbとなる。
底辺aの両隣はbで内角が120°なので、
高さは(b√3)/2となる。
中央の対角線の長さは辺aより、
片側b/2、両側でb広くなるからa+bである。
反対側の底辺bについても同様に、
高さは(a√3)/2、対角線は当然a+bとなる。
a側の台形は、
底辺がaとa+bで高さ(b√3)/2なので、
(1/2)×{a+(a+b)}×{(b√3)/2}
={(√3)/4}×(2ab+b²)
となり、b側も同様にして、
(1/2)×{b+(a+b)}×{(a√3)/2}
={(√3)/4}×(2ab+a²)
となるので、6角形はこれらの和の、
{(√3)/4}×(a²+4ab+b²)
と求まった。
断面積は、{(√3)/4}×(a²+4ab+b²)のaとbに
それぞれ、-φ⁻¹t+φ、φtを代入すると求まる。
{(√3)/4}×(a²+4ab+b²)
={(√3)/4}×{(-φ⁻¹t+φ)²+4×(-φ⁻¹t+φ)×(φt)+(φt)²}
={(√3)/4}×{(φ⁻²t²-2t+φ²)+(-4t²+4φ²t)+φ²t²}
={(√3)/4}×{(φ⁻²-4+φ²)t²+2(2φ²-1)t+φ²}
={(√3)/4}×{(2-φ-4+φ+1)t²+2(2φ+1)t+φ²}
={(√3)/4}×{-t²+2(2φ+1)t+φ²}
と求まった。
平均断面積は、これをtで0から1の定積分で求まるから、
={(√3)/4}×{-(1/3)+(1/2)×2(2φ+1)+φ²}
={(√3)/4}×{-(1/3)+(2φ+1)+φ+1}
={(√3)/4}×{3φ+(5/3)}
={(√3)/12}×{9φ+5}
と求まった。
2,4層目の体積は、
平均断面積{(√3)/12}×{9φ+5}と
高さ1/√3の積である、
(9φ+5)/12
と求まった。
真ん中の層は、2,4層目と同じく捻れた立体で、
・天面、底面ともに辺1と対角線φが交互
・ただし、天面と底面は逆側と対応する
・斜辺は1
である。
高さは2,4層目の高さの更にφ倍のφ/√3である。
断面の辺の長さは、
天面1、底面φ
(1-t)×1+t×φ=φ⁻¹t+1
天面φ、底面1
(1-t)×φ+t×1=-φ⁻¹t+φ
と求まる。
よって断面積は、
{(√3)/4}×(a²+4ab+b²)
={(√3)/4}×{(φ⁻¹t+1)²+4×(φ⁻¹t+1)×(-φ⁻¹t+φ)
+(-φ⁻¹t+φ)²}
={(√3)/4}×{(φ⁻²t²+2φ⁻¹t+1)+4×(-φ⁻²t²+φ⁻²t+φ)
+(-φ⁻²t²-2t+φ²)}
={(√3)/4}×{-2φ⁻²t²+(2φ⁻¹+4φ⁻²+2)t+(1+4φ+φ²)}
={(√3)/4}×{-2φ⁻²t²+(-2φ+4)t+(5φ+2)}
となる。
平均断面積は、
={(√3)/4}×{(1/3)×(-2φ⁻²)+(1/2)×(-2φ+4)+(5φ+2)}
={(√3)/4}×{-2φ⁻²/3+(-φ+2)+(5φ+2)}
={(√3)/12}×{(2φ-4)+3×(-φ+2)+3×(5φ+2)}
={(√3)/12}×(14φ+8)
={(√3)/6}×(7φ+4)
となる。体積はこれに高さφ/√3を掛けて、
(1/6)×φ(7φ+4)
=(11φ+7)/6
と求まった。
・1,5層目の3角錐φ/12、
・2,4層目の立体(9φ+5)/12
・3層目の立体(11φ+7)/6
を足すと、
2×(φ/12)+2×{(9φ+5)/12}+(11φ+7)/6
={φ+(9φ+5)+(11φ+7)}/6
=(21φ+12)/6
=(7φ+4)/2と正12面体と一致する。
