デルタ12面体(1)座標

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。

今回はデルタ12面体について扱います。

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　赤い面が4枚(1枚は右奥)、白い面が8枚あります。赤い面の間の辺が4本集まる頂点どうしの辺です。

これらの赤い2辺は互いに垂直で、

右の辺は左の辺と中央の辺でできる平面と、

左の辺は右の辺と上下の辺でできる平面と垂直になります。

　左の赤い辺を奥行き(y)方向、右の赤い辺を高さ(z)方向、原点を左の辺の中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。

x座標をx₃とすると、赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。

正面の白い正三角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

　まずはαから求めていきます。

(1)：x₁²=3/4-α²…(4)

(2)：x₂²=1-(α-1/2)²=-α²+α+3/4…(5)

(3)：x₁²-2x₁x₂+x₂²+2α²=1

　　(3/4-α²)+(-α²+α+3/4)

　　　-2√(3/4-α²)×√(-α²+α+3/4)+2α²=1

　　α+1/2=2√{(3/4-α²)(-α²+α+3/4)}

　　α²+α+1/4=4(3/4-α²)(-α²+α+3/4)

　　α²+α+1/4=4(α⁴-α³-3α²/2+3α/4+9/16)

　　α²+α+1/4=4α⁴-4α³-6α²+3α+9/4

　　4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0…(6)

となりました。この4次方程式の解の１つはα=1/2です。この時、

(1)：x₁²=1/2、x₁=1/√2

(2)：x₂²=1、x₂=1

(3)：1/2+1-2×(1/√2)×1+1/2=1

　　2-√2=1

となり、連立方程式を満たしません。

　式(6)を2α+1で割ると、

　2α³-3α²-2α+2=0…(7)

が導けます。

この方程式は3つの実数解をもち、

その値は、-0.8892285591、1.744644286、0.6445842732です。

αは正で正三角形の高さを超えないので3つ目の値です。

　次にx₁を求めていきます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(1)：α²=3/4-x₁²…(8)

(3)：x₂²-2x₁x₂+x₁²+2α²=1

(8)を代入

　　x₂²-2x₁x₂+x₁²+2(3/4-x₁²)=1

　　x₂²-2x₁x₂-x₁²+1/2=0

x₂について解の公式を使うと、

　　x₂=x₁±√(2x₁²-1/2)…(9)

(2)：{x₁±√(2x₁²-1/2)}²+α²-α+1/4=1

　　x₁²+2x₁²-1/2±2x₁√(2x₁²-1/2)

　　　+3/4-x₁²-α+1/4=1

　　2x₁²-α-1/2=±2x₁√(2x₁²-1/2)

　　4x₁⁴+α²+1/4-4αx₁²+α-2x₁²=4x₁²(2x₁²-1/2)

　　-4x₁⁴+(3/4-x₁²)+1/4=α(4x₁²-1)

　　-4x₁⁴-x₁²+1=α(4x₁²-1)

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=(3/4-x₁²)(4x₁²-1)²

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=(3/4-x₁²)(16x₁⁴-8x₁²+1)

　　16x₁⁸+8x₁⁶-7x₁⁴-2x₁²+1=-16x₁⁶+20x₁⁴-7x₁²+3/4

　　16x₁⁸+24x₁⁶-27x₁⁴+5x₁²+1/4=0…(10)

(10)はx₁の8次方程式ですが、

全て偶数乗なので、x₁²=X₁とすると、

　　16X₁⁴+24X₁³-27X₁²+5X₁+1/4=0…(11)

となり、X₁の4次方程式になりました。

解のひとつはX₁=1/2、つまりx₁=1/√2です。

これは先程と同じく成立しません。

　(11)を2X₁-1で割ると、

　　32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0…(12)

になり、3つの解は、

X₁=-2.293783684、0.3345111147、-0.04072743037であり、

正である2つ目です。

よって、x₁=0.5783693584と求まりました。

　最後にx₂を求めていきます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(1)：α²=3/4-x₁²…(8)

(3)：x₂²-2x₁x₂+x₁²+2α²=1

(8)を代入

　　x₂²-2x₁x₂+x₁²+2(3/4-x₁²)=1

　　x₁²+2x₁x₂-x₂²-1/2=0…(13)

　　x₂²-x₁²=2x₁x₂-1/2…(14)

　　2x₁x₂=x₂²-x₁²+1/2…(15)

x₁についての2次方程式を解くと、

　　x₁=-x₂±√(2x₂²+1/2)…(16)

(2)：x₂²+α²-α+1/4=1

　　x₂²+(3/4-x₁²)-α+1/4=1

　　x₂²-x₁²=α

　　2x₁x₂-1/2=α

　　4x₁²x₂²-2x₁x₂+1/4=α²

　　4x₁²x₂²-2x₁x₂+1/4=3/4-x₁²

　　4x₁²x₂²-x₂²+x₁²-1/2+1/4=3/4-x₁²

　　4x₁²x₂²+2x₁²-x₂²-1=0

　　(2x₁²-1/2)(2x₂²+1)=1/2

　　{2{x₂²+(2x₂²+1/2)±2x₂√(2x₂²+1/2)}-1/2}(2x₂²+1)

　　　=1/2

　　{6x₂²+1/2±4x₂√(2x₂²+1/2)}(2x₂²+1)=1/2

　　12x₂⁴+7x₂²=±4x₂(2x₂²+1)√(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(2x₂²+1)²(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(4x₂⁴+4x₂²+1)(2x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=16x₂²(8x₂⁶+10x₂⁴+4x₂²+1/2)

　　144x₂⁸+168x₂⁶+49x₂⁴

　　　=128x₂⁸+160x₂⁶+64x₂⁴+8x₂²

　　16x₂⁸+8x₂⁶-15x₂⁴-8x₂²=0…(17)

(17)はx₂の8次方程式ですが、

全て偶数乗なので、x₂²=X₂とすると、

　　16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0…(18)

となり、X₂の4次方程式になりました。

解のひとつはX₂=0、つまりx₂=0です。これも成立しません。

　(18)をX₂で割ると、

　　16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0…(19)

になり、3つの解は、

X₂=0.9790953879、-0.5491393984、-0.9299559895であり、

正である1つ目です。

よって、x₂=0.9894924901と求まりました。

デルタ12面体(2)座標(2)

前回の再掲

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。今回はデルタ12面体について扱います。

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　赤い面が4枚(1枚は右奥)、白い面が8枚あります。赤い面の間の辺が4本集まる頂点どうしの辺です。これらの赤い2辺は互いに垂直で、右の辺は左の辺と中央の辺でできる平面と、左の辺は右の辺と上下の辺でできる平面と垂直になります。

　左の赤い辺を奥行き(y)方向、右の赤い辺を高さ(z)方向、原点を左の辺の中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。x座標をx₃とすると、赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。正面の正三角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

再掲以上

今回は(1)、(2)、(3)を

・全幅：x₃=x₁+x₂

・中間の幅：x₄=x₂-x₁

を用いて書き換えることで、それらの長さを求めることができます。外国版のWikipediaに載っている式はこちらに近い式です。

　まず、式を書き換える為に、x₁、x₂をx₃、x₄で表します。

・x₁=(x₃-x₄)/2

・x₂=(x₃+x₄)/2

です。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

を書き換えると、

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)　x₄²=1-2α²…(4)　2α²=1-x₄²…(5)

になります。(1)、(2)は両辺を4倍しました。

(1)…x₃²-2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)=3

　　x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)

(2)…x₃²+2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)-4α+1=4

　　x₃²-x₄²+2x₃x₄-1-4α=0…(7)

似たような形なので、差を求めます。

(6)-(7)…x₃x₄=α…(8)

2乗します

　2x₃²x₄²=1-4x₄²

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、

・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)

・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)

まず、(11)を用いてx₃を求めます。

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

　{-x₃+√(2x₃²-1)}²(2x₃²+1)=0

　{x₃²+(2x₃²-1)-2x₃√(2x₃²-1)}(2x₃²+1)=0

　(3x₃²-1)(2x₃²+1)=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)

　6x₃⁴+x₃²-2=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)

　36x₃⁸+12x₃⁶-23x₃⁴-4x₃²+4

　　　=4x₃²(2x₃²+1)²(2x₃²-1)

　　　=4x₃²(2x₃²+1)(4x₃⁴-1)

　　　= 4x₃²(8x₃⁶+4x₃⁴-2x₃²-1)

　　　=32x₃⁸+16x₃⁶-8x₃⁴-4x₃²

　4x₃⁸-4x₃⁶-15x₃⁴+4=0

　x₃²の項はありません

　4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0

　X₃=1/2が見つかりますが、適していません。

　2X₃-1で割ると、

　2X₃³-X₃²-8X₃-4=0…(12)

　これを解くと、

　X₃=2.458190776

　　-0.5982787969

　　-1.359911979

　X₃は正の値なので1つ目を採用します。

そうすると、x₃は

　x₃=1.567861849

と求まりました。

次に、x₄も求めていきます。

　x₄²(2x₃²+1)=0…(9)

x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、

・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)

・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)

(10)を用いてx₄を求めます。

　x₄²(2{x₄²+(2x₄²+1)-2x₄√(2x₄²+1)}+1)=0

　6x₄⁴+3x₄²-1=4x₄³√(2x₄²+1)

　36x₄⁸+36x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=32x₄⁸+16x₄⁴

　4x₄⁸+20x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=0

　4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0

これの解のひとつはX₄=1/2ですが、不適です。

2X₄-1で割ると、

　2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

これを解くと、

　X₄=-5.087567369

　　　0.1690222294

　　-0.5814548607

で、正の2つ目を採用します。x₄は、

　x₄=0.4111231317

と求まりました。

以下に方程式をまとめます。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)

次に、各値の方程式をまとめます

64X₁⁴+96X₁³-108X₁²+20X₁+1=0、X₁=1/2

32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0

X₁=-2.293783684

　　0.3345111147

　　-0.04072743037

x₁=0.5783693584

16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0、X₂=0

16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0

X₂=0.9790953879

　-0.5491393984

　-0.9299559895

x₂=0.9894924901

4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0、X₃=1/2

2X₃³-X₃²-8X₃-4=0

X₃=2.458190776

　-0.5982787969

　-1.359911979

x₃=1.567861849

4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0、X₄=1/2

2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

X₄=-5.087567369

　0.1690222294

　-0.5814548607

x₄=0.4111231317

4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0、α=-1/2

2α³-3α²-2α+2=0…(7)

α=-0.8892285591

　1.744644286

　0.6445842732

x₁〜x₄をαを用いて表すと、

・x₁²=-α²+3/4

・x₂²=-α²+α+3/4

・x₃²=-2α²+2α+2

・x₄²=-2α²+1

となりました。

前2項和数列(フィボナッチ数列)の1の位

　フィボナッチ数列、ある項はその前の2項の和になる数列の1の位を並べる。周期は60である。

0112358314

5943707741

5617853819

0998752796

5167303369

5493257291

　奇数、奇数、偶数の順に並んでいる。

　00~99の100通りには40個足りないので、他の系列を見ていこう。まず、0に続くのは1,7,9,3の5以外の奇数である。

　なので、00から見ていく。

00の次は0で、その次も0なので、0が続く系列である。

　次に02から始まる系列は、周期20である。

0224606628

0886404482

この系列は偶数のみで、02,04,06,08が含まれている。

　03は01からの、04は02からの系列にあるので、次は05から始まる系列である。周期は3である。

055

05,55,50の3つが含まれている。

　ここで、01からが60個、00からが1個、02からが20個、05からが3個で84個が登場した。

残りは16個である。

　06,08は02からの系列、07,09,10,11,12は01からの系列に含まれていて13は入っていない。

13からの系列は周期12で、

213471

897639

であり、奇数、奇数、偶数の順である。

　残りは4個である。14,15,16,17,19,23,25は01からの系列、18,21は13からの系列、20,22,24は02からの系列に含まれているので、次は26である。

周期は4で、2684である。

02系列、05系列は01系列のそれぞれ2,5倍であり、

01系列を5で割った余りは20個周期、

2で割った余りは3個周期(奇数、奇数、偶数)である。

また、26系列は13系列の2倍で、

13系列を5で割った余りが4個周期になっている。

01系列はφⁿのφの係数、

02系列は2φⁿのφの係数、

05系列は5φⁿのφの係数、

13系列は(√5)φⁿ⁺¹の係数、

26系列は(2√5)φⁿ⁺¹のφの係数の1の位となっているようだ。(√5=2φ-1)

2025年10月のダイヤ改正 雑な予想

　万博閉幕の約2週間後である、10/26(日)にダイヤ改正が行われるようです。

　3000系(青い電車)のプレミアムカーが2両になります。現4号車を外し、5号車と6号車(既存のプレミアムカー)の間に新しいプレミアムカーを挟む形とみられます。

　車両扉は、大阪寄りであり、6号車の京都寄りの扉と隣り合います。荷物置き場が増えるようです。

　ここで、現行平日ダイヤと掲載されている変更内容から3000系から、平日朝がどのようになるか見ていきます。

　現行の朝の3000系は、

42　　　　6:08　6:30　6:50　7:12

40　　　　6:11　6:33　6:53　7:15

39　　　　6:13　6:34　6:54　7:17

37　　　　6:15　6:37　6:57　7:19

30　　　　6:22　6:43　7:04　7:26　

28　　　　6:24　6:46　7:07　7:29　

24　　　　6:35　6:56　7:18　7:40　　

21　6:29　6:41　7:03　7:25　7:48　　　　　　

18　　レ　　レ　　レ　　レ　　レ

17　　レ　　レ　　レ　　レ　　レ

04　6:45　6:55　7:19　7:44　8:08　　　　

03　6:48　6:58　7:22　7:47　8:11　　　

02　6:50　7:00　7:24　7:49　8:13　　　

01　6:52　7:02　7:26　7:51　8:15　

01　7:00　7:12　7:36　7:57　8:20　　

42　7:56　8:10　8:38　8:57　9:20　　　

42　8:07　8:18　8:48　9:07　9:24

40　8:10　8:21　8:52　9:10　9:28

39　8:12　8:23　8:53　9:12　9:29

37　8:14　8:25　8:56　9:14　9:32

30　8:22　8:32　9:04　9:22　9:40　

28　8:25　8:35　9:07　9:25　9:43　

24　8:36　8:46　9:17　9:35　9:53　　

21　8:42　8:52　9:23　9:41　9:59　　　　　　

18　　レ　　レ　9:28　9:46　10:04

17　　レ　　レ　9:31　9:48　10:07

11　　レ　　レ　9:38　9:55　10:14

04　8:58　9:10　9:42　10:00　10:19　　　　

03　9:01　9:13　9:45　10:03　10:22　　　

02　9:03　9:15　9:47　10:05　10:24　

01　9:05　9:17　9:49　10:07　10:26　　　　

で3つ目の6:30発のが朝だけの運用です。

下り京橋は、6:45,6:55,7:19,7:44,8:08,8:58,9:10

という感じです。

　次に変更点として、枚方市7:16発の通勤快急が3000系で新設されます。京橋着は7:38頃となるので、4つ目の7:44の特急は変更になるでしょう。

この特急は淀出庫からですが、寝屋川に変更して枚方市5番線発の可能性もあります。

　今の枚方市7:13発のライナーが樟葉7:00仕立に変更されることを考えると、ライナーを同じ停車駅の通勤快急に置き換えたと見ることもできます。ライナーは樟葉7:00発から淀6:50発に延長された急行の続行と思われます。

　樟葉8:29発(京橋8:56？)の快速急行が3000系になるので、1つ目も変更になります。1つ目は淀から枚方市への回送ではじまります。

　淀屋橋9:14発の快速急行樟葉ゆきはよく分からないです。洛楽が9:13発なので、洛楽の時刻が変更になるのでしょうか?

　昼は3000系4運用、8000系6運用のままとなる見込みです。プレミアムカーは14両と、前回の13運用13両と1両しか変わらないので増員が無くても2人体制は可能と思われます。現行の10運用だと人が余ってるのでしょうか。

　12分サイクルに固定すること基準に考えると今回の2両への変更は、供給量と予備を2本(前は8000系代用もそれなりに存在した)を見越したのではと考えられる。　　　　　

デルタ12面体(3) 体積 0.8594936461

　前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。今回からはデルタ12面体について扱います。

　デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。

デルタ12面体

　赤い面が4枚(1枚は右奥)、白い面が8枚あります。赤い面の間の辺が4本集まる頂点どうしの辺です。
これらの赤い2辺は互いに垂直で、右の辺は左の辺と中央の辺でできる平面と、
左の辺は右の辺と上下の辺でできる平面と垂直になります。

　左の赤い辺を奥行き(y)方向、右の赤い辺を高さ(z)方向、原点を左の辺の中点と置きます。

　左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。

　上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。

　右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。

　右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。x座標をx₃とすると、

赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。

　求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。
正面の正3角形の3辺について考えていきます。

　左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

　横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

　右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

です。

今回は体積を求めていきます。

　求め方は、4つの部分に分けて計算します。

・左側の部分

・手前、奥の部分

・右側の部分

です。

・左側の部分

　底面は、奥行き1、左右x₁であり、

　高さは2αの双3角錐です。

体積は、

(1/6)×1×x₁×2α=(1/3)×αx₁です。

・手前、奥の立体は、

　底面が、左右x₂、

奥行きは(1/x₂)×{(x₂-x₁)×(1/2)+x₁×α}

=(1/x₂)×({α-(1/2)}x₁+(1/2)×x₂)

高さが2αの双3角錐なので、体積は、

(1/6)×x₂×{(1/x₂)×({α-(1/2)}x₁+(1/2)x₂)}×2α

=(1/6)×α{(2α-1)x₁+x₂}

です。

・右側の立体は、

奥行きを高さとした、底面が台形の双錐体です。

底面は左の底辺が2α、右の底辺が1、

高さ(左右)がx₂の台形で、高さ(奥行き)が2αです。

体積は、

(1/3)×{(1/2)×(2α+1)×x₂}×2α

=(1/3)×αx₂(2α+1)

です。

これらの立体の和は、

(1/3)×αx₁

+2×(1/6)×α{(2α-1)x₁+x₂}

+(1/3)×αx₂(2α+1)

=(1/3)×α(x₁+{(2α-1)x₁+x₂}+(2α+1)x₂)

=(1/3)×α{2αx₁+(2α+2)x₂}

=(2/3)×α{x₂+α(x₁+x₂)}

=(2/3)×α(x₂+αx₃)

=(2/3)×α{√(-α²+α+3/4)+α√(2α²-2α-2)}

=(1/3)×α{√(-4α²+4α+3)+2α√(-2α²+2α+2)}

α=0.6445842732を代入すると、

=0.8594936461

と求まりました。

今回は(1)、(2)、(3)を

・全幅x₃=x₁+x₂

・中間の幅x₄=x₂-x₁

を用いて書き換えることで、それらの長さを求めることができます。外国版のWikipediaに載っている式はこちらに近い式です。

　まず、式を書き換える為に、x₁、x₂をx₃、x₄で表します。

・x₁=(x₃-x₄)/2

・x₂=(x₃+x₄)/2

です。

x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)

x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)

(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)

を書き換えると、

(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)

(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)

x₄²+2α²=1…(3)　x₄²=1-2α²…(4)　2α²=1-x₄²…(5)

次に、各値の方程式をまとめます

64X₁⁴+96X₁³-108X₁²+20X+1=0、X₁=1/2

32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0

X₁=-2.293783684

　　0.3345111147

　　-0.04072743037

x₁=0.5783693584

16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0、X₂=0

16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0

X₂=0.9790953879

　-0.5491393984

　-0.9299559895

x₂=0.9894924901

4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0、X₃=1/2

2X₃³-X₃²-8X₃-4=0

X₃=2.458190776

　-0.5982787969

　-1.359911979

x₃=1.567861849

4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0、X₄=1/2

2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0

X₄=-5.087567369

　0.1690222294

　-0.5814548607

x₄=0.4111231317

4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0、α=-1/2

2α³-3α²-2α+2=0…(7)

α=-0.8892285591

　1.744644286

　0.6445842732

x₁〜x₄をαを用いて表すと、

・x₁²=-α²+3/4

・x₂²=-α²+α+3/4

・x₃²=-2α²+2α+2

・x₄²=-2α²+1

となりました。

デルタ多面体(3) 面の間の角度(12面体を除く)

　デルタ多面体は、全ての面が正三角形の凸な立体という定義から、辺を挟んだ2面のなす角度は180°未満でなければなりません。

　今回はその角度を求めていきます。なお、12面体は複雑な計算(3次方程式)が必要なので今回は省きます(外国語のWikipediaには掲載されていた)。

計算方法は、

・接する辺と垂直な線を2つの面に引く(2本の線は繋がっている必要がある)

・余弦定理で角度を計算

です。

・錐体

正3角錐(正4面体)　赤の面が底面

　錐体の面のなす角度は2種類あり、

　・側面どうし(三角形)

　・側面と底面(三角形とn角形)

です。

　前者は、正三角形の高さ(√3)/2が2本と底面の2つ離れた点の距離(正三角形は反対周りで隣の点で1、正方形は√2、正五角形はφ)で、余弦定理を用いて求めます。そうすると、

　・三角錐(正4面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・四角錐：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・五角錐：Cos⁻¹{-(√5)/3}~138.1897°

となります。

　後者は、側面の正三角形の高さ(√3)/2、底面の内接円の半径(正三角形：1/2√3、正方形：1/2、正五角形：√{5(3+4φ)}/10)と錐体の高さ(三角錐：(√6)/3、四角錐：1/√2、五角錐：√{5(3-φ)}/5)から求まりますが、直角三角形なので、余弦は正三角形の高さと内接円の半径の比です(錐体の高さを三平方の定理から求めることが多い)。

　・三角錐(正4面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・四角錐：Cos⁻¹(1/√3)~54.7356°

　・五角錐：Cos⁻¹(√{15(3+4φ)}/15)~37.3774°

となります。正三角錐は正四面体なので、両者の角度は等しく(70.5288°)なります。

・双錐

左から双3角錐(6面体)、双4角錐(正8面体)、双5角錐(10面体)　白と赤の錐体が底面で貼り付いている

　双錐の面のなす角度は錐体と同じく2種類で、

　・一方の錐体の側面どうし

　・錐体間の2面

です。

　前者は、ひとつの錐体について見ているので、錐体のそれと同じく、

　・双三角錐(6面体)：Cos⁻¹(1/3)~70.5288°

　・双四角錐(正8面体)：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・双五角錐(10面体)：Cos⁻¹{(-√5)/3}~138.1897°

となります。

　後者は、2つの錐体を接合しているので、錐体のそれの2倍の角度になります。

　・双三角錐：Cos⁻¹(-7/9)~141.0576°

　・双四角錐：Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°

　・双五角錐：Cos⁻¹{(8φ-9)/15}~74.7547°

双四角錐は正8面体なので、両者の角度が等し(109.4712°)くなります。また、双四角錐は4・4面体(正4面体の辺の中点を結んだ立体)なので、正4面体(70.5288°)と正8面体(109.4712°)の角度を足すと180°になります。

・全側錐角柱

全側錐正3角柱(14面体)　赤の面が三角柱の底面

　全側錐角柱の面の角度は3種類あり、

　・ひとつの四角錐の側面どうしの角度

　・底面と四角錐の側面の角度

　・隣り合う2つの四角錐の側面どうしの角度

です。

　ひとつ目は四角錐のそれから、Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°です。

　2つ目は柱体の底面と側面の角90°と四角錐の底面角の和である、Cos⁻¹{-(√6)/3}~144.7356°です。

　3つ目の角度は、側面どうしの角度(60°,90°,108°)と四角錐の底面角2つ分であり、四角錐の底面角2つ分がCos⁻¹(-1/3)~109.4712°なので、3角柱のみ凸になります。

　なお、三角柱以外は天面を錐体にしないといけません。この時、天面の錐体と側面の錐体の側面間の角度は、70.5288+90+54.7356~215.2644°、54.7356+90+54.7356~199.4712°、37.3774+90+54.7356~182.1130°

と全て凹角になります。

・双錐反角柱

双錐正4反角柱(16面体)と双錐正5反角柱(正20面体)　赤の面が反角柱の側面

　双錐反角柱の角度は3種類あり、

　・錐体の側面の角度

　・錐体と反角柱の側面の角度

　・反角柱の側面の角度

です。

　まず反角柱については、

　・底面と側面の角度

　・側面どうしの角度

の2種類あります。

　前者の角度は、斜辺が正三角形の高さ(√3)/2、底辺が底面の外接円と内接円の半径の差(1/√3-1/2√3=1/2√3、1/√2-1/2=(√2-1)/2、√{5(2+φ)}/5-√{5(3+4φ)}/10=√{5(7-4φ)}/10)から、

Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°、

Cos⁻¹{-(√6-√3)/3}~103.8312°

Cos⁻¹{-√{15(7-4φ)}/15}~100.8123°

です。

　後者の角度は、正三角形の高さ(√3)/2が2つに底面間の距離と3/2n周ずれた点になります。

外接円の半径は、1/√3、1/√2、√{5(2+φ)}/5で、

3/2n周は、180°、135°、108°なので、

水平方向の距離は、2/√3、√{(2+√2)/2}、φ√{5(2+φ)}/5になります。

　底面間の距離は、(√6)/3、1/√√2、√{5(2+φ)}/5になり、2頂点間の距離は、√2、√(1+√2)、φです。

　よって、側面どうしの角度は、Cos⁻¹(-1/3)~109.4712°、Cos⁻¹{(1-2√2)/3}~127.5516°、Cos⁻¹{-(√5)/3}~138.1897°になりました。正3反角柱はは正8面体、双錐正5反角柱は正20面体なので角度は既出のものとなりました。

　双錐正4反角柱の錐体と反角柱の側面の角度は、正4角錐の底角Cos⁻¹(1/√3)~54.7356°と正4反角柱の底面角Cos⁻¹{-(√6-√3)/3}~103.8312°の和である、Cos⁻¹{(1-√2-2√√2)/3}~158.5718°です。

デルタ多面体(2)頂点形状

　デルタ多面体は正三角形の集まりです。

今回は正三角形がどのように集まっているかを考えます。

☆各頂点に集まる辺(面)の合計=各面の頂点(辺)の合計

　数の確認に便利です。

☆辺の数=各面の辺の数の合計の半分

　面は全て正三角形なので面の数は偶数です。

・錐体

正n角錐は頂点に正三角形n枚でn本の辺、底面のn点には正n角形1枚と側面の正三角形2枚で3本の辺が集まります。

辺の数は側面のn本と底面のn本の計2n本です。

　正三角錐(正四面体)

n=3の時なので、頂点には正三角形3枚で3本、底面の3点は底面の正三角形と側面の正三角形2枚の正三角形3枚で3本が集まります。4つの頂点の何れも正三角形3枚で3本が集まります。正多面体の性質です。

辺の数は6本で、頂点は全て同様なので、辺も同様です。

面:4枚

頂点:1(3³)+3(3³)=4点

辺:(3×3+3)/2=6本(3³-3³)

・双錐

双正n角錐は2つの頂点に正三角形n枚でn本、接合面のn点に上下の正三角形2枚ずつの4枚で4本が集まります。

辺の数は上側面n本、下側面n本、接合面n本の計3n本です。

　双正三角錐(6面体)

n=3の時で、2頂点には3本(3³×2)、接合面3点には4本(3⁴×3)集まります。

側面の6本(3³-3⁴)と接合面の3本(3⁴-3⁴)の計9本です。

面:6枚

頂点:3³×2+3⁴×3、計4点

辺:3³-3⁴×6+3⁴-3⁴×3、計9本

　双正四角錐(正8面体)

n=4の時で、2頂点には4本(3⁴×2)、接合面4点には4本(3⁴×4)集まります。どの頂点も同様です。

側面の8本(3⁴-3⁴)と接合面の4本(3⁴-3⁴)の計12本です。

面:8枚

頂点:3⁴×6、計6点

辺:3⁴-3⁴×12、計12本

　双正五角錐(10面体)

n=5の時で、2頂点には5本(3⁵×2)、接合面5点には4本(3⁴×5)集まります。

側面の10本(3⁵-3⁴)と接合面の5本(3⁴-3⁴)の計15本です。

面:10枚

頂点:3⁵×2+3⁴×5、計7点

辺:3⁵-3⁴×10+3⁴-3⁴×5、計15本

・全側錐角柱

天面・底面の2n点には天面(底面)の正n角形1枚と側面の正三角形4枚(2側面の天面側と接近面)、天面の2辺+側錐の頂点へ2本+柱の1辺の5辺が集まります。側面の正四角錐n個の頂点には正三角形4枚、4辺が集まります。

辺は天面・底面に2n本、側面の正四角錐に4n本、柱の辺がn本で7n本です。

　全側錐三角柱(14面体)

天面・底面の6点には正三角形5枚、5本、

側面の3つの正四角錐の頂点には正三角形4枚、4本が集まります。

面:14枚

頂点:3⁵×6+3⁴×3、計9点

辺:3⁵-3⁵×9+3⁴-3⁵×12、計21点

・双錐反角柱

2つの頂点には正三角形n枚が、反角柱の2面の2n点には正三角形5枚(角錐2枚、反角柱3枚)が集まります。

上の錐体にn本、天面にn本、反角柱の側面に2n本、底面にn本、下の錐体にn本の6n本です。

　双錐正四反角柱(16面体)

n=4の時で、2つの頂点には正三角形4枚、反角柱の8点には5本が集まります。

辺は正四角錐2つの側面8本と正四反角柱の16本の計24本です。

面:16枚

頂点:3⁴×2+3⁵×8、計10点

辺:3⁴-3⁵×8、3⁵-3⁵×16計24本

　双錐正五反角柱(正20面体)

n=5の時で、2つの頂点には正三角形5枚、反角柱の10点には5本が集まります。全ての頂点が同様です。

辺は正五角錐2つの側面10本と正五反角柱の20本の計30本です。

面:20枚

頂点:3⁵×12、計12点

辺:3⁵-3⁵×30計30本

・デルタ12面体

　左と上下の4点、右と中央の4点に分けると対称性(？)が見えて来ます。

　左右の4点は4本、上下と中央の4点には5本の辺が集まります。

辺は3⁴どうしは左同士と右同士の2本、3⁵どうしは裏側以外の2本ずつの4本、3⁴の点からは3点の3⁵の点に繋がっているので12本の計18本です。

面:12枚

頂点:3⁴×4+3⁵×4、計8点

辺:3⁴-3⁴×2、3⁴-3⁵×12、3⁵-3⁵×4、計18本

正三角形のみの凸な多面体(デルタ多面体)

　デルタ多面体について考えていきます。

デルタ多面体は8種類(4,6,8,10,12,14,16,20面体)あります。面の数は全て偶数で18面のはありません。

　正多面体は4,8,20面体の3種類です。

デルタ多面体　すべての面が正3角形の凸な立体

　4面体は正3角錐です。

n角錐は側面が正3角形n枚と底面の正n角形1枚なので、
正4角錐や正5角錐は正3角形以外の面を含んでしまいます。

　6,8,10面体は双錐で、それぞれ双正3角錐、双正4角錐、双正5角錐です。

双n角錐は正n角錐2個を底面で接合した立体で、正3角形2n枚でできる立体です。
底面の正n角形は接合する時に消えるので、双正4角錐、双正5角錐もデルタ多面体になります。
また、正n角錐は頂点にn枚の正3角形が集まるのでnは3,4,5のみです。

　正8面体は正多面体であり、双錐でもあり、反角柱でもあり、
正四面体の辺の中点を結んだ立体でもある特徴の多い立体です。

　14面体は、3角柱の側面の正方形3枚全てに正4角錐を貼り付けた立体です(全側錐3角柱)。

　n角柱は天面・底面が正n角形で2枚と、側面の正方形がn枚です。

正方形を正4角錐で置き換えると、正方形1枚が正3角形4枚になります。

正方形は3枚あるので12枚と天面と底面の2枚を足して14枚です。

　16,20面体は双錐反角柱で、それぞれ双錐正4反角柱、双錐正5反角柱となります。

また、20面体は正多面体です。

　双錐正n反角柱は、正n反角柱の天面と底面に正n角錐を付けた立体です。

正n反角柱は、天面・底面が正n角形で互いに1/2n周ずれています。

側面は正三角形2n枚で、天面・底面の片方と辺を共有し、他方は頂点を共有します。

よって、双錐正n反角柱は天面・底面の正n角錐で正3角形2n枚と正n反角柱の側面の正3角形2n枚で正3角形4n枚です。

反角柱はnは3以上ですが、角錐の方がn=3,4,5なので、候補は3,4,5の3つです。

しかし、n=3の時は、正3角錐(正4面体)と正3反角柱(正8面体)の面のなす角が180°になるので、これからは除外されます。

　12面体は変わった形で、系統に当てはまらない立体です。

10面体(双正5角錐)の接合面の2つ離れた2点を押して、開いた2辺に正3角形2枚を差し込んだ形です。

また、互いに90°倒した正8面体2個を融合させた形とも見ることもできます。

デルタ多面体2 立体の候補 すべての面が正3角形の凸な立体

2023年度の乗降客数を見てみる(仮)

　大阪府の統計から乗降客数を引用する。

☆環状線内　乗　降　計　差　降率

・中之島　4705　4835　9540

・渡辺橋　4111　5041　9152

・大江橋　1832　2786　4618

なにわ橋　990　1309　2299

中之島線　11638　13971　25609

・淀屋橋　50773　45575　96348

・北　浜　16096　17325　33421

　　計　　66869　62900　129769

・天満橋　25143　25881　51024

・京　橋　75077　77232　152309

　　計　　100220　103113　203333

◯合　計　177737　179984　357721

　淀屋橋だけ乗車の方が多く、他は降車が多い。また、全体では降車の方が多くなる。

　これらは、淀屋橋発の列車の着席需要によるものと考えられる。中之島線では、淀屋橋から遠い中之島は影響が小さく、淀屋橋から近い渡辺橋・大江橋・なにわ橋の3駅の影響は大きい。中之島が起点であるから折返し時間も確保されていつ来ても座れる利便性の影響も少なからずある。

　北浜・天満橋の影響が比較的少ないのは、淀屋橋までの定期券で折返す可能性があるからだろう。

　京橋は全体も差も大きい。淀屋橋から距離はあるが、環状線と御堂筋線の両方が大阪と天王寺の大きな駅に向かう影響かもしれない。

中之島4駅:淀屋橋・北浜:天満橋・京橋

25609:129769:203333

1:5.0673:7.9399~1:5:8となった。

中之島ゆき:淀屋橋ゆき=1:5となるが、

天満橋・京橋はどちらでもよいので、

9:5~1:13の間ならよいだろうというかなり広い許容範囲になる。

京阪本線 区間毎の平均駅間距離等(仮)

　前回は、両端の14駅である、京都側中書島〜出町柳と大阪側淀屋橋〜大和田の駅間距離を比較すると、京都側の方が僅かに狭いことが分かった。今回は他の区間について計算してみた。

　路線の中点は淀屋橋・出町柳から25.8 kmで、牧野0.3中点2.1樟葉である。

　重心(位置の平均)は淀屋橋から5279/210 (25.1381)、出町柳から5557/210 (26.4619) km)で、御殿山1.6381重心0.3619牧野であり、中点より0.6619 km大阪寄りである。

　中央は、枚方市と御殿山の中点である、淀屋橋から22.65、出町柳から28.95 kmである。重心より更に大阪寄りになる。

淀屋橋22.65中央2.4881重心0.6619中点25.8出町柳

となった。中央と中点は3.15 kmとなった。

　この結果から全体的に大阪側の方が駅が密となるが、両端14駅(計68.2927%)、計23.9km(46.3178%)でみると、ほぼ同じである。よって、それ以外の区間(大和田〜中書島)が偏りを生み出している。

☆15大和田(12.0)〜28中書島(39.7)

　中点は、淀屋橋から25.85kmで、牧野から京都寄りに0.35 kmである。全体のとほぼ変わらないのは、両端の距離がほぼ同じだからである。

　重心は、淀屋橋から3327/140 (23.7643) kmで、御殿山から京都寄りに0.2643 kmの地点で、中点から2.0857 km、全体のそれから2.6976 km大阪寄りである。

　中央は全体と同じく、枚方市と御殿山の中点で、淀屋橋から22.65 kmである。

☆概略(概ね快速急行)

・環状線内

01淀屋橋〜04京橋 3.0 km 3駅…1 km

・大阪市周辺(複々線1)

04京橋〜11守口市 5.3 km 7駅…0.7571 km

・門真(複々線2)

11守口市〜16萱島 4.5 km 5駅…0.9 km

・寝屋川

16萱島〜18香里園 4.8 km 2駅…2.4 km

枚方(南)

18香里園〜21枚方市 4.2 km 3駅…1.4 km

枚方(北)

21枚方市〜24樟葉 5.9 km 3駅…1.6667 km

府境

24樟葉〜28中書島 12.0 km 4駅…3.0 km

伏見中心部

28中書島〜30丹波橋 1.6 km 2駅…0.8 km

伏見

30丹波橋〜37七条 5.7 km 7駅…0.8143 km

洛内

37七条〜42出町柳 4.6 km 5駅…0.92 km

☆急行

11守口市〜17寝屋川市 6.7 km 6駅…1.1667 km

18香里園〜20枚方公園 3.2 km 2駅…1.6 km

24樟葉〜26石清水八幡宮 4.1 km 2駅…2.05 km

26石清水八幡宮〜28中書島 7.9 km 2駅…3.95 km

30丹波橋〜34伏見稲荷 3.3 km 4駅…0.825 km

34伏見稲荷〜37七条 2.2 km 3駅…0.7333 km

☆特急

04京橋〜21枚方市 18.8 km 17駅…1.1059 km

☆洛楽

04京橋〜37七条 44.0 km 33駅…1.3333 km

☆その他

複々線区間(方向別)

04京橋〜16萱島 9.8 km 12駅…0.8167 km

大阪府内複線

16萱島〜24樟葉 14.9 km 8駅…1.8625 km

鴨東線

40三条〜42出町柳 2.3 km 2駅…1.15 km