今回は、切頂20面体について扱います。サッカーボールの形状です。
切頂20面体は、正20面体の頂点を辺の1/3まで切り落とした立体です。
正20面体の正3角形20枚が正6角形に、
12個の頂点が正5角形に変化します。
色付きの辺が正20面体の辺、
黒の辺が切り落とした時にできた辺です。
辺の投影した長さは、正6角形の向かい合う辺どうしは同じ長さかつ平行ということから簡単に導けます。
頂点・辺・面の数
✩正20面体から求める
・正20面体の頂点は12個、辺は30本、面は正3角形20枚です。
・面の数は、正20面体の正3角形の面20枚が正6角形になり、正20面体の頂点が正5角形になるので、
正6角形20枚と正5角形12枚の計32枚です。
・切頂20面体の頂点は、正20面体の頂点が正5角形になるので、12×5=60個です。
また、正20面体の辺の両端を切断するので、辺の数の2倍です。
そして、正6角形20枚で120点、正5角形12枚で60点の計180点を、各頂点に集まる正6角形2枚と正5角形1枚の計3枚で割った60個とも求められます。
・辺の数は、正20面体の30本と切断でできる正5角形12個のよる60本を足して90本です。
正20面体由来の30本が正6角形2枚の間の辺で、切断でできた60本は正6角形と正5角形の間の辺です。
各頂点に正6角形2枚と正5角形1枚が集まるので、これらの比は1:2になります。
また、正6角形20枚で120本、正5角形12枚で60本の計180本を、2枚の面で共有するので、90本と求められます。
✩頂点形状から求める
・各頂点には、正6角形2枚と正5角形1枚の計3枚が集まるところから始めます。
・正6角形2枚の間の辺と、正6角形と正5角形の間の辺の数の比が1:2であることがわかります。
・正5角形がp枚、正6角形がq枚と置きます。
・正5角形は5p、正6角形は6qの計5p+6qの辺や頂点が存在します。
・辺は2枚、頂点は3枚で共有するので、
辺は5p/2+3q本、頂点は5p/3+2q本になり、
辺は正6角形2枚の間の辺が5p/6+q本、
正6角形と正5角形の間の辺が5p/3+2q本になります。
・面+頂点=辺+2の式に代入すると、
(p+q)+(5p/3+2q)=(5p/2+3q)+2
p/6=2
p=12
と正5角形が12枚であることがわかりました。
・正5角形を作る頂点は5×12=60点で、
各頂点に正5角形が1枚集まるので、頂点は60個です。
頂点は5p/3+2q個、p=12より、20+2q個であるから、
20+2q=60
q=20
と正6角形は20枚と求まりました。
・正5角形の辺は5×12=60本で、正5角形を含む辺は、
正6角形と正5角形の間の辺5p/3+2q本であり、同様にして
q=20と導けます。
・正6角形の頂点は6q個で、各頂点に2枚の正6角形が集まるので、6q=2×(5p/3+2q)、p=12より、
2q=40
q=20と導けます。
・正6角形の辺は6q本で、正6角形を含む辺は、
正6角形2枚の間の辺p/6+q本に2枚、
正6角形と正5角形の間の辺p/3+2q本に1枚含まれるので、
2×(5p/6+q)+(5p/3+2q)=6q、p=12より、q=20と導けます。
・qの求め方は正5,6 角形の辺、頂点の4通りで求められます。
✩体積
・正20面体の面である正3角形について見ていきます。
正3角形の辺の長さを1とし、切り落とす長さをtとすると、
切り落とした辺の長さは1-2t、切り落とした部分は正3角形なので断面はtである。切り落とした後が正6角形になるには、1-2t=tである必要があるので、t=1/3と求まりました。
・切り落とした後の辺の長さが1/3なので、元の正20面体の辺の長さが3倍の3である時に切頂20面体の辺が1になります。
・1辺1の正20面体の体積は5φ²/6なので、1辺3の正20面体の体積は45φ²/2になります。
・ 切り落とす立体は頂点の数である12個で、立体は正5角錐です。正5角錐の体積は(2+φ)/12なので、切り落とす体積の合計は2+φです。
・切頂20面体の体積は、{45φ²/2}-(2+φ)=(43φ+41)/2と求まりました。
正6角形2枚の間の辺から(正20面体の辺)
3軸とも同じように見えます。
・正20面体の座標は、0,1/2,φ/2なので、
切り落とす前の頂点の座標は、0,3/2,3φ/2です。
辺の両端から1ずつ切り落としので、座標は3等分した、
0、1/2、1、3/2
3/2、(2+φ)/2=(φ√5)/2、(2φ+1)/2=φ³/2、3φ/2
0、φ/2、φ、3φ/2
です。
・上から見た図で上下の点は、奥に辺が伸びているので、
切り落とした後の図でも線が引かれ、奥行きは±1/2です。
・斜め端の4本の黒線は一直線になっています。
正5角形から見た図(正20面体の頂点)
如何にもサッカーボールのような図です。
奥行きの寸法が複雑になります。
・正20面体は上下の正5角錐と中央の正5反角柱の3層に分かれていました。
・正20面体の3層を3枚ずつに分けて、上下の2層の正5角錐を除いた7層構造です。
外側から、
・(切り落とす正5角錐(φ+2)/12)
0…t…1、0…0…0、高さ(1/√5)×√(3-φ)
・1,7層(正5角錐台)：7(2+φ)/12
1…t+1…2、0…0…0、高さ(1/√5)×√(3-φ)
・2,6層：(19φ+33)/12
2…-t+2…1、0…φt…φ、高さ(1/√5)×√(3-φ)
・3,5層：(69φ+43)/12
1…t+1…2、φ…-φ⁻¹t+φ…1、高さ(1/√5)×√(2+φ)
・4層：(34φ+33)/6
2…-t+2…1、1…t+1…2、高さ(1/√5)×√(2+φ)
です。
正5角形の面積は、{(√5)/4}×√(3+4φ)、
正10角形の面積は、(5/2)×√(3+4φ)で、
正5角形の2√5=4φ-2倍です。
よって、辺の長さがp,qの交互な正10角形の面積は、
{(√5)/4}×{√(2+φ)}×(φp²+4pq+φq²)となります。
正6角形から見た図(正20面体の辺)
・正20面体では上下の面は逆向きでしたが、
揃っていない部分を切り落としたので同じ正6角形です。
