今回は斜方切頂20・12面体について見ていきます。
概要
20・12面体の頂点を切り落としたような立体。
20・12面体の30個の頂点が正方形に、
20枚の正3角形と12枚の正5角形は、
辺の数がもとの辺と切り落とす頂点の和になるので、
正3角形は正6角形に、正5角形は正10角形になる。
面の数
・正方形…30枚
・正6角形…20枚
・正10角形…12枚
計62枚
辺の数
各面の辺の数の和の半分(2枚で辺を共有する為)
(4×30+6×20+10×12)/2=180本
頂点の数
20・12面体の辺の数30の2倍の60、
もしくは、
各頂点に正方形、正6角形、正10角形
が1枚ずつ3枚が集まるので、
各面の頂点の数の和の1/3、
(4×30+6×20+10×12)/3=120個
以外辺の長さを2とします
座標
正6角形の面は正20面体の面と、
正10角形の面は正12面体の面と同じ向きである。
正6角形は正3角形を6枚繋げた形、
正10角形の辺は、左右に36°傾いた辺、72°傾い辺が2組ずつあり、正5角形は1組ずつなので、
正6角形、正10角形の高さはそれぞれ、
正3角形と正5角形の高さの2倍である。
中心から正方形の面までの距離は、
正20面体の辺までの距離はφ、
正12面体の辺までの距離はφ²なので、
2(φ+φ²-1)+1=4φ+1となる。
-1は、正12面体と正20面体の片方が縦の辺になる為、
+1は、水平な辺が正方形になる為である。
ちなみに、斜方20・12面体の時はこれらが相殺されるので、
単純な和でも矛盾しない。
正6角形は、幅が1:2:1、高さは1:1である。
正10角形のは幅が1:φ²:2φ:φ²:1、高さは1:φ:φ:1である。
真上の正方形の座標は、
高さ4φ+1 、縦横1である。
(1,1,4φ+1)
真上の正方形の隣の頂点は、
横は正10角形の幅φ²、縦は正6角形の幅2で、
高さの差は、
正12面体や正20面体の対応している辺から、φ⁻¹なので、
高さは、(4φ+1)-φ⁻¹=3φ+2となる。
(φ²,2,3φ+2)
正10角形の2つ隣の頂点は、
横は正10角形の幅2φ、
縦の差は1つ目の差のφ倍のφなので、
縦は2+φ、
高さの差は1つ目の差のφ倍の1なので、
3φ+2-1=3φ+1
(2φ,2+φ,3φ+1)
正10角形の3つ隣の頂点は、
横は、正10角形の幅φ²、
縦の差は1つ目の差のφ倍のφなので、
2+φ+φ=2+2φ
高さの差は1つ目の差のφ倍の1なので、
3φ+1-1=3φ
(φ²,2φ+2,3φ)
正10角形の4つ隣の頂点は、
横は、正10角形の幅1、
縦の差は1つ目の差と同じ1なので、
2+2φ+1=3+2φ
高さの差は1つ目の差と同じφ⁻¹なので、
3φ-φ⁻¹=2φ+1
(1,2φ+3,2φ+1)
体積
中心と各面でできる角錐の和である。
・正方形30枚
面積4、高さ4φ+1なので、
30×4×(4φ+1)÷3=40(4φ+1)
・正6角形20枚
面積6√3、底面の中心が(φ²,0,3φ+2)より、
高さは、√{(φ²)²+0²+(3φ+2)²}
=√{(3φ+2)+0+(21φ+13)}
=√(24φ+15)
=√{3(8φ+5)}
=φ³√3なので、
20×(6√3)×φ³√3÷3=120φ³
なお、3φ+2=φ⁴である。
・正10角形12枚
面積10√(3+4φ)、底面の中心が(0,φ+2,3φ+1)より、
高さは、√{0²+(φ+2)²+(3φ+1)²}
=√{0+(5φ+5)+(15φ+10)}
=√(20φ+15)
=(√5)×√(3+4φ)なので、
12×{10√(3+4φ)}×{(√5)×√(3+4φ)}÷3
=40(3+4φ)√5
=40(φ³√5)√5
=200φ³
よって1辺2の斜方切頂20・12面体の体積は、
40(4φ+1)+120φ³+200φ³
=(160φ+40)+320φ³
=(160φ+40)+320(2φ+1)
=800φ+360と求まった。
1辺1の時の体積は2³=8で割って
100φ+45
=95+50√5
である。
