前回の再掲
前回は12面体以外のデルタ多面体について扱いました。今回はデルタ12面体について扱います。
デルタ12面体は8個の頂点を持ち、頂点に集まる辺(正3角形)の数が4本(枚)と5本(枚)の頂点が4点ずつ存在します。
左の赤い辺の両端の点は(0,±1/2,0)と書けます。
上下の2点のy座標は0で、x座標、z座標をそれぞれx₁、±αとします。
右中央の2点のz座標は0で、赤い3角形の両頂点の距離が2αなので、y座標は±αになります。x座標をx₂とします。
右の赤い2頂点は、y座標が0、z座標が±1/2です。x座標をx₃とすると、赤い3角形に注目すればx₁-0=x₃-x₂が成り立ち、x₃=x₁+x₂と書けます。
求めたい文字は、α、x₁、x₂の3文字なので3つの式を立てていきます。正面の正三角形の3辺について考えていきます。
左の辺については、x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)
横の辺については、x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)
右の辺については、(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)
です。
再掲以上
今回は(1)、(2)、(3)を
・全幅：x₃=x₁+x₂
・中間の幅：x₄=x₂-x₁
を用いて書き換えることで、それらの長さを求めることができます。外国版のWikipediaに載っている式はこちらに近い式です。
まず、式を書き換える為に、x₁、x₂をx₃、x₄で表します。
・x₁=(x₃-x₄)/2
・x₂=(x₃+x₄)/2
です。
x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)
x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)
(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)
を書き換えると、
(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)
(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)
x₄²+2α²=1…(3) x₄²=1-2α²…(4) 2α²=1-x₄²…(5)
になります。(1)、(2)は両辺を4倍しました。
(1)…x₃²-2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)=3
x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)
(2)…x₃²+2x₃x₄+x₄²+2(1-x₄²)-4α+1=4
x₃²-x₄²+2x₃x₄-1-4α=0…(7)
似たような形なので、差を求めます。
(6)-(7)…x₃x₄=α…(8)
2乗します
2x₃²x₄²=1-4x₄²
x₄²(2x₃²+1)=0…(9)
x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、
・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)
・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)
まず、(11)を用いてx₃を求めます。
x₄²(2x₃²+1)=0…(9)
{-x₃+√(2x₃²-1)}²(2x₃²+1)=0
{x₃²+(2x₃²-1)-2x₃√(2x₃²-1)}(2x₃²+1)=0
(3x₃²-1)(2x₃²+1)=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)
6x₃⁴+x₃²-2=2x₃(2x₃²+1)√(2x₃²-1)
36x₃⁸+12x₃⁶-23x₃⁴-4x₃²+4
=4x₃²(2x₃²+1)²(2x₃²-1)
=4x₃²(2x₃²+1)(4x₃⁴-1)
= 4x₃²(8x₃⁶+4x₃⁴-2x₃²-1)
=32x₃⁸+16x₃⁶-8x₃⁴-4x₃²
4x₃⁸-4x₃⁶-15x₃⁴+4=0
x₃²の項はありません
4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0
X₃=1/2が見つかりますが、適していません。
2X₃-1で割ると、
2X₃³-X₃²-8X₃-4=0…(12)
これを解くと、
X₃=2.458190776
-0.5982787969
-1.359911979
X₃は正の値なので1つ目を採用します。
そうすると、x₃は
x₃=1.567861849
と求まりました。
次に、x₄も求めていきます。
x₄²(2x₃²+1)=0…(9)
x₃²-x₄²-2x₃x₄-1=0…(6)をx₃やx₄について解くと、
・x₃=x₄+√(2x₄²+1)…(10)
・x₄=-x₃+√(2x₃²-1)…(11)
(10)を用いてx₄を求めます。
x₄²(2{x₄²+(2x₄²+1)-2x₄√(2x₄²+1)}+1)=0
6x₄⁴+3x₄²-1=4x₄³√(2x₄²+1)
36x₄⁸+36x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=32x₄⁸+16x₄⁴
4x₄⁸+20x₄⁶-3x₄⁴-6x₄²+1=0
4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0
これの解のひとつはX₄=1/2ですが、不適です。
2X₄-1で割ると、
2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0
これを解くと、
X₄=-5.087567369
0.1690222294
-0.5814548607
で、正の2つ目を採用します。x₄は、
x₄=0.4111231317
と求まりました。
以下に方程式をまとめます。
x₁²+(1/2)²+α²=1²…(1)
x₂²+(α-1/2)²+0²=1²…(2)
(x₂-x₁)²+α²+α²=1²…(3)
(x₃-x₄)²+4α²=3…(1)
(x₃+x₄)²+(2α-1)²=4…(2)
x₄²+2α²=1…(3)
次に、各値の方程式をまとめます
64X₁⁴+96X₁³-108X₁²+20X₁+1=0、X₁=1/2
32X₁³+64X₁²-22X₁-1=0
X₁=-2.293783684
0.3345111147
-0.04072743037
x₁=0.5783693584
16X₂⁴+8X₂³-15X₂²-8X₂=0、X₂=0
16X₂³+8X₂²-15X₂-8=0
X₂=0.9790953879
-0.5491393984
-0.9299559895
x₂=0.9894924901
4X₃⁴-4X₃³-15X₃²+4=0、X₃=1/2
2X₃³-X₃²-8X₃-4=0
X₃=2.458190776
-0.5982787969
-1.359911979
x₃=1.567861849
4X₄⁴+20X₄³-3X₄²-6X₄+1=0、X₄=1/2
2X₄³+11X₄²+4X₄-1=0
X₄=-5.087567369
0.1690222294
-0.5814548607
x₄=0.4111231317
4α⁴-4α³-7α²+2α+2=0、α=-1/2
2α³-3α²-2α+2=0…(7)
α=-0.8892285591
1.744644286
0.6445842732
x₁〜x₄をαを用いて表すと、
・x₁²=-α²+3/4
・x₂²=-α²+α+3/4
・x₃²=-2α²+2α+2
・x₄²=-2α²+1
となりました。