Webで数学！ピタゴラスの定理の可能性

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ピタゴラスの定理の可能性です。

ピタゴラスの定理（三平方の定理）は
あまりにも有名な数学の法則ですね。

その法則を生みだしたピタゴラスは、
古代ギリシャの数学者であり哲学者でした。

ピタゴラスの定理（三平方の定理）は、
彼の数学者の実績ですが、
哲学者としては、
万物の根源は数であると考え、
輪廻転生の思想を説いたのです。

また音楽では、ピタゴラスが発案したと言われる
ピタゴラス旋律（周波数の比率が２：３の音程）は
現在は完全五度として知られています。

数学、哲学、音楽と
偉大な業績を残したピタゴラスですが、
三平方の定理は実は以前から知られていたもので、
なぜピタゴラス名前が付けられたのかは
定かではないようです。

ピタゴラスの定理は数学史上最大の発見で
「直角三角形の斜辺の平方は他の２辺の平方の和」
というシンプルな定理。
わたしたちは中学校で習います。

このピタゴラスの定理を理解することで、
　・無理数
　・三角関数
　・ベクトル
　・４次元
　・整数論
　・フェルマー予想
へと展開していきます。

ともすると数学は、
「社会に出てから役に立たない！」
「方程式が解けてもお金は儲からない！」
「四則演算だけで充分！」
と敬遠する学生も多いのですが、
いわゆる「やらされている感」からではなく、
自ら一歩を踏み込んでみると、
それぞれの関連性が理解でき、
数学という学問の全体像が
見えてくるのではないでしょうか？

中学校や高校でも
授業のカリキュラムを組みかえたり、
他の学問分野との関係性について触れることで、
数学ファンが育つとよいのですが・・・

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！０は何者？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
０は何者？です。

昨日、
０の歴史は１よりも新しいのだとご紹介しましたね。

まずは、
０の生い立ちにをお話ししましょう！

ゼロ「０」は6世紀ごろ、
インドで発明されたものです。

ゼロ「０」の概念は、
紀元前400年ごろのメソポタミアにありました。
しかし、
6世紀ごろのインドで今のような使い方が発明され、
アラビア数字にゼロ「0」の概念が取り入れられたのは、
アラビアがインドを征服した8世紀ごろだと
言われています。

ですから、
それ以前の
　古代バビロニア、
　ギリシャ、
　エジプト、
　ローマ
の各文明には、
ゼロ「０」が使用されていた事実は見つかっていないのです。

では、
ゼロ「０」の使用方法ですが・・・

　①　アラビア数字で位どりのときの
　　　　　　　　　　　　「空き」スペース記号

　②　数字としてのゼロ「０」
　　　　　　　　　　「モノがないこと」の意味

　③　モノを測るときの基準
　　　　　　　　　「何かの基準」としての役割

があります。


ゼロ「０」の説明を一通り終えたところで、
「自然数」に話を戻してみましょう！

小学校の算数、
中学校・高校の数学では、

自然数は
「目で見て指で数えられるもの」でした。
ですから、
自然数の最小値は１
と規定されたのでした。

ゼロ「０」の使用方法をみてると、
　②　数字としてのゼロ「０」
　　　　　　　　　　「モノがないこと」の意味
は「数えられるもの」に相当し、
また、
　③　モノを測るときの基準
　　　　　　　　　「何かの基準」としての役割
は「基準」としての役割ですので、
自然数の最小値は０
という定義も納得できます。

数理論理学や集合論では、
自然数に０を含めることで矛盾なく理論が成立するので、
やはりゼロ「０」の貢献度は大きいようです。

インドが生み出した
偉大なゼロ「０」に感謝！

インドカレーにも感謝！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！０か？１か？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
０か？１か？です。

昨日のつづき・・・
自然数の最小値は０か？

　　　　それとも１か？
を考えてみましょう！

自然数とは、
　　正の整数で１，２，３，４，５・・・
必ず次の数があって、
終わりの数はありません。

自然数の定義は、
イタリアの数学者が「ペアノの公理」で
次のように規定しています。

　①　１は自然数である

　②　各自然数に対して、
　　　その後者とよばれる自然数がただ一つある

　③　相異なる自然数の後者は相異なる

　④　１はいかなる自然数の後者ともならない

　⑤　自然数の部分集合Mが１を含み、
　　　かつ自然数nを含めば、
　　　かならずnの後者も含むときには、
　　　Mは自然数全体のなす集合である

このように　↑　↑　↑　
自然数の最小値は１であると規定しているのですが、
「集合論」では、
自然数の最小値は０と置いています。

どうやら
自然数の最小値の定義には2通りあるようですね。

この議論は、
自然数に０を含めるか？
　　　　　　含めないか？
という考え方であって、
どちらでもOKとするのが、
流れのようです。

中学・高校の数学では、
自然数は
１から始まって目で見て指で数えられるもの
と教えられてきました。

ところが大学に入って
数理論理学や集合論を勉強すると、
自然数に０を含めるのが普通になってきます。

かの天才数学者：ジョン・フォン・ノイマンは、
　　空集合 {}　＝　０
として自然数を集合に定義していっています。 

ダブルスタンダード、
研究分野によってどちらを採用するかは、
自由ということではないでしょうか？

矛盾を感じながらも、
数学という自由な本質に従って使っていくと、
そのうち何らかの確信に変わっていくときが
やってくるのかもしれませんね。

そもそも、
０の歴史は１よりも新しいわけで・・・
二つの考え方があるのは、
当然の流れなのかもしれません。

数字って本当に奥が深いですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！自然数の最小値は？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
自然数の最小値は？です。

自然数とは、
　　正の整数で１，２，３，４，５・・・

１から始まって、順に１を足していくことで
２になり、
３になり、
次の数字をつくることができます。
私たちがものの数を数えるときに使いますね。

自然数には必ず次の数があって、
終わりの数はありません。

無限：∞の記号で表わされます。
この自然数の無限のことを「アレフゼロ」というのでした。

ですから、
自然数の最小値は１、
最大値という概念はなく、
無限：∞の「アレフゼロ」があります。

さて、
では負の整数についてはどうでしょうか？

負の整数は、
　　-１，-２，-３，-４，-５・・・

ｰ１から始まって、順にｰ１を足していくことで

ｰ２になり、
ｰ３になり、
次の数字をつくることができますね。

しかし、
負の整数は自然数ではないのです。

自然数の定義は、
イタリアの数学者：ペアノが次のように規定しています。

　①　１は自然数である

　②　各自然数に対して、
　　　その後者とよばれる自然数がただ一つある

　③　相異なる自然数の後者は相異なる

　④　１はいかなる自然数の後者ともならない

　⑤　自然数の部分集合Mが１を含み、
　　　かつ自然数nを含めば、
　　　かならずnの後者も含むときには、
　　　Mは自然数全体のなす集合である

難しく書いていますが、
この「ペアノの公理」では、
自然数の最小値は１であると規定しています。

でも、
ちょっと待ってください！

「集合論」をみると、
自然数の最小値は０が正しいような気もします。

さあ、
自然数の最小値は０？
　　　　それとも１？
どちらが正しいのでしょう？

つづく・・・

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！正負の数の四則演算まとめ

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
正負の数の四則演算のまとめです。

新生活をスタートする方のための
数学のおさらいシリーズ。

この2日間で
正負の数の加減乗除
　加（足し算：＋）
　減（引き算：－）
　乗（かけ算：×）
　除（割り算：÷）
ごとにお話ししてきましたね。

今日はそのまとめです。

整数の四則演算については、

①　カッコ（）があれば（）の中を先に計算する

②　ｎ乗などの累乗計算を先にする

③　積×、商÷を左から順に計算する

④　和＋、差－を左から順に計算する

という規則に則って行うのでした。

正負の数の四則演算は、
　・　乗（かけ算：×）
　・　除（割り算：÷）
を先に計算することがポイントになります。

　　◆例題：４－（－９）×５

　　　①　まず乗除を計算
　　　　　　　４－（－９）×５
　　　　　　＝４－（－４５）
　　　②　それから加減を計算
　　　　　　＝４９

　　↑　に()をつけると・・・　

　　◆例題：{４－（－９）}×５

　　　①　まず()内を計算を計算
　　　　　　　{４－（－９）}×５
　　　　　　＝１３×５
　　　②　それから乗除を計算
　　　　　　＝６５

となります。

とてもシンプルですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。