ＡＢ＝４、ＢＣ２、ＣＡ＝５である△ＡＢＣがある。半直線ＣＢ上にＢＤ＝４となるように点Ｄをとる。また、辺ＣＡ上に点Ｅをとり、２直線ＡＢとＤＥの交点をＦとする。
△ＡＦＥの面積と△ＦＤＢの面積が等しいとき、以下の問いに答えよ。
（１）省略
（２）点Ｂを通り、四角形ＢＣＥＦの面積を二等分する直線と直線ＡＣとの交点をＧとする。このとき、線分ＡＧの長さを求めよ。
（１）はルートが絡むので省略しています。
メインの（２）を解くにあたって（１）は不要で、（２）だけ解くのであれば、ＡＢ＝４という条件は不要です。
この（２）は灘中入試の１日目で出されても標準的な問題でしょう。
さて、問題を解いていきましょう。
実質的には、長さの比（ＡＧ：ＧＣ）を求める問題です。
長さの比を求める主な手法は、面積比の利用と相似の利用です。
（解法１）
面積比だけで解きます。
三角形ＡＦＥの面積と三角形ＦＤＢの面積が等しいから、それぞれに四角形ＢＣＥＦの面積をつけ足した三角形ＡＢＣと三角形ＤＣＥの面積も等しくなります。
三角形ＡＢＣと三角形ＤＣＥは、底辺の比がＢＣ：ＤＣ＝２：（２＋４）＝１：３だから、高さの比（ＡＣ：ＥＣと一致）は、その逆比の３：１となり、ＡＥ：ＥＣ＝（３－１）：１＝２：１となります。
２点Ｃ、Ｅを直線で結び、三角形ＣＥＦの面積を①とすると、高さの等しい三角形の面積比は底辺の比と一致するから、三角形ＡＦＥの面積は①×２＝②となり、与えられた条件から、三角形ＦＤＢの面積も②となります。
再び、いわゆる等高図形の面積比の知識を利用すると、三角形ＦＢＣの面積は②×２/４＝①となります。
結局、四角形ＢＣＥＦの面積は①＋①＝②となるから、面積を二等分する直線ＢＧを引くと、三角形ＢＣＧの面積は②×１/２＝①となります。
三角形ＡＢＣの面積は②＋①＋①＝④となるから、再び、いわゆる等高図形の面積比の知識を利用すると、ＡＣ：ＧＣ＝④：①＝４：１となります。
したがって、ＡＧの長さは５×（４－１）/４＝１５/４となります。
（解法２）
面積比と相似を利用して解きます。
この問題では、（解法１）のほうが若干楽な感じですが、問題によっては、この解法のほうが楽なこともあります（例えば東海中学校２０１９年算数第４問など）。
２点Ａ、Ｄと２点Ｂ、Ｅをそれぞれ直線で結びます。
三角形ＡＦＥと三角形ＦＤＢの面積が等しいから、それぞれの三角形に三角形ＡＤＦの面積を加えても等しくなります。
三角形ＡＤＥと三角形ＡＤＢは、底辺（ＡＤ）が等しく、面積が等しいから、高さも等しくなり、ＡＤとＢＥは平行になります。
三角形ＣＥＢと三角形ＣＡＤのピラミッド相似（相似比は、ＣＢ：ＣＤ＝１：３）に着目すると、ＥＢ：ＡＤ＝１：３となります。
また、三角形ＢＥＦと三角形ＡＤＦのちょうちょ相似（相似比は、ＥＢ：ＤＡ＝１：３）に着目すると、ＦＥ：ＦＤ＝１：３となります。
三角形ＢＥＦの面積を①とし、いわゆる等高図形の面積比の知識を利用すると、三角形ＦＤＢの面積（三角形ＡＦＥの面積）は①×３＝③となり、再び、いわゆる等高図形の面積比の知識を利用すると、三角形ＢＣＥの面積は（①＋③）×２/４＝②となります。
四角形ＢＣＥＦの面積を２等分する直線ＢＧを引くと、三角形ＢＣＧの面積は（①＋②）×１/２＝①×３/２となります。
三角形ＡＢＣの面積は③＋①＋②＝⑥となるから、再び、いわゆる等高図形の面積比の知識を利用すると、ＡＣ：ＧＣ＝⑥：（①×３/２）＝４：１となります。
したがって、ＡＧの長さは５×（４－１）/４＝１５/４となります。
