ベクトル空間Tから双対空間T*を作り、さらに（Ｔ*）*を作り、これがTと同一視されるということを前回述べた。
では、２つのベクトル空間から新しいベクトル空間を作り出すためにはどうした良いのか？実は、２つのベクトル空間からテンソル積を作ることにより、新しいベクトル空間を形成することが可能なのである。
テンソル積とは何なのか？ということをこれから書いていきたい。
まず、TとＵを有限次元の実ベクトル空間とする。
直積集合T×Ｕを考え、双線形汎関数fは
f：T×Ｕ→Ｒ
実数値関数である。これは双線形であり、以下の条件を満たす。
α、β∈Ｒ、u,v∈Ｔ、w∈U に対し、
f(αu+βv、w)＝αｆ（u,w)＋βf(v,w)
γ、δ∈R、v∈Ｔ、w,x∈Ｕに対し、
f(v,γw＋δx）＝γf(v,w)＋δf(v,x)
このとき、Ｔ*×Ｕ*上のすべての双線形汎関数fからなるベクトル空間をＴとＵのテンソル積という。
そして、テンソル積の要素であるベクトルはテンソルと呼ばれている。
ラフマニノフの「ピアノ協奏曲 第二番」を聞いていました。
結構、お気に入りな曲ですが、個人的には濃厚な音楽だなと感じます。
ランダウもラフマニノフもロシアの人ですが、ランダウの教科書も内容が厚いので、この二人に共通なのは「濃い」ということですね。
てことで、僕の中でロシアのイメージは「濃厚」って感じになっています。
そりゃあ違うだろと思う人がいましたら、コメントお願いします。
n次元ベクトル空間Ｖの各ベクトル一つずつの実数を対応させる写像
α：Ｖ→Ｒ
のうち、Ｖの任意のベクトルu、vと任意の実数a、bに対して
α（au＋bv）＝a・α（u)+b・α（ｖ）
となるαを、Ｖ上の線形汎関数、または一次形式という。
Ｖ上の線形汎関数の全体もベクトル空間をつくるので、それをＶ*と表し、これをＶの双対空間という。
ここで、Ｖの元であるベクトルを反変ベクトル、V*の元であるベクトルを共変ベクトルという。
また、dim V＝ｎならば、dim V*＝nとなり、αは基底の一次結合によって表わされる。
では、Ｖ*の双対空間はどうなるのだろうか？実は、これはＶとなる。
すなわち、Ｖ⇄Ｖ* （→は双対空間に移ることを表す。）
とりあえず、双対空間について僕が勉強したのはここまでです。
ちなみに、この概念が相対論とどのように結び付くかはまだ分かりません。
一応、参考文献は「一般相対論入門」（フォスター、ナイチンゲール） 「ベクトル解析３０講」（志賀浩二）です。
何かコメントや補足などありましたらよろしくお願いします。
砂川「電磁気学」第三章§５
電磁波の運動量や自己場の持つ運動量を考慮しないと、運動量保存則が成り立たないなんて初めてわかりましたよ。あと、電場や磁場というものは単独に存在するのではなく、電磁場として、両者をまとめたものが存在しているんでするね。
前回、ベクトルポテンシャルについて触れましたが、これって、何気に深い意味を持っているじゃないですか！電磁ポテンシャルによって電場と磁場は与えられるので、電場、磁場よりも電磁ポテンシャルの方が本質的なんですね。
しかも、そこからゲージ変換の話にもつながっていくし・・・
ベクトルポテンシャルと関連して、物理チャレンジの際に日立研究所の外村彰さんからもらった本を読みました。その本をもらった高校生のころは、AB効果を実証したから何なんだ？という態度でしたが、ベクトルポテンシャルが物理的実在量であることが示せたことなんで、改めて考えるとこれってすごいことじゃないですか・・・
ということで、電磁気学の勉強をしていたらゲージ理論にも興味を持ったというお話でした。
｣ブログ書いている暇もないんですが、あえて書いてみます。
本日は久しぶりに一限から出ようと思ったんですが、寝坊しました。すでに授業が始まって６分経過していますが、現在、家にいます。
しかも、昨日は夜遅くまで、この授業のレポートを書いておりましたので、授業に出ないと無駄になります。
さて、これから授業に行ってきます。
金は天下の回りもの・・・・
お金があるうちに本を購入してしまえ！ということで、div（お金）=０のアイランドは、生協にて「gravitation and cosmology principles and applications of the general theory of relativity」（weinberg）を注文してしまいました・・・何か、110ドルくらいだったんですけど、将来的には読むだろうということで、やってしまったのです。到着には一か月はかかるらしいので、その間に特殊相対論の方はある程度進めておきたいです。
今日はめちゃくちゃ寒かったですね。吐息が白くなったし・・・
そういや、今日は給料日でした。うちの大学の平均的なバイト代は月に２万くらいらしいです。
実は、それの×３はもらっています・・・いかに、自分の勉強に支障が出ているか分かるでしょう。
さ て、本日は生徒面談を実施したんですが、今の子供たちって夢が無いんですね。
夢なくして、勉強する気分になるでしょうか？僕は中学の前半は、弁護士、後半は物理学者になりたいという夢があったからこそ勉強できたもんです。
教育の現場がまず行うことは、生徒の夢をはぐくむことなのではないでしょうか？