n次元ベクトル空間Ｖの各ベクトル一つずつの実数を対応させる写像
α：Ｖ→Ｒ
のうち、Ｖの任意のベクトルu、vと任意の実数a、bに対して
α（au＋bv）＝a・α（u)+b・α（ｖ）
となるαを、Ｖ上の線形汎関数、または一次形式という。
Ｖ上の線形汎関数の全体もベクトル空間をつくるので、それをＶ*と表し、これをＶの双対空間という。
ここで、Ｖの元であるベクトルを反変ベクトル、V*の元であるベクトルを共変ベクトルという。
また、dim V＝ｎならば、dim V*＝nとなり、αは基底の一次結合によって表わされる。
では、Ｖ*の双対空間はどうなるのだろうか？実は、これはＶとなる。
すなわち、Ｖ⇄Ｖ* （→は双対空間に移ることを表す。）
とりあえず、双対空間について僕が勉強したのはここまでです。
ちなみに、この概念が相対論とどのように結び付くかはまだ分かりません。
一応、参考文献は「一般相対論入門」（フォスター、ナイチンゲール） 「ベクトル解析３０講」（志賀浩二）です。
何かコメントや補足などありましたらよろしくお願いします。