§1.8 ガロアの主定理
本節では根号で表せない数が代数的数になりうることの証明について述べる。その証明は以下の２つの定理の証明に分割される。
（定理27）
５次対称群S₅は可解群ではない。
（定理28 ガロアの主定理）（※40）
ｆ（ｘ）＝０をQ上既約な式とし、その解の一つが根号を用いて表記できるものとする。このときｆ（ｘ）＝０の最小分解体Lのガロア群Gは可解群である。
§1.5で示したように実数解３個の５次既約方程式ｆ（X）＝０の最小分解体Lのガロア群Gは５次対称群である。定理27よりこの群は可解群ではない。定理28を対偶にかえてLのガロア群Gが可解群でないとき、ｆ（X）＝０の解は根号を用いても表記することができない。あわせてｆ（ｘ）＝０の解が根号で表せないことが導かれる。
まず、定理27の証明の概要について述べる。
定理14の証明中に述べるように５次対称群S₅の元は互換の積の形で表記できる（※56）。そのなかで偶数個の互換の積で表記することが可能な元の集合は群の公理をみたしており、S₅の部分群になる（※41）。この群を５次交代群とよび、A₅と表記することにする。
A₅については、以下の2つの定理が成り立つ。
（定理29）
５次交代群A₅の位数は60か120のいずれかである。
（定理30）
５次交代群A₅は可解群ではない。
定理27の証明では、S₅が可解群ならばその可解列にA₅が含まれることを示すことになる。これにより定理30からS₅は可解群でないことが導かれる。
最後に定理28の証明を俯瞰しよう。その証明には次の定理を用いる。
（定理31）
「ガロア拡大体・可解群」のLの中間体Mがガロア拡大体であるとき、Mも「ガロア拡大体・可解群」である。
Lはｆ（ｘ）＝０の最小分解体なのでガロア拡大体である（定理15）。L⊂L’をみたすL’が「ガロア拡大体・可解群」ならば、定理31よりLも「ガロア拡大体・可解群」になる。
したがって、定理28を示すには「Lを中間体にもち、「ガロア拡大体・可解群」のL’を構成できること」を示せばよい。
以下、L’の構成方法について述べる。次の①～③がL’の必要条件となる。
① Lを中間体にもつ。
② ガロア拡大体である。
③ 「ガロア群が可解群である」＝「Q→L’の間に各拡大が「ガロア拡大・可換群」となる拡大列が存在する」。
ｆ（ｘ）＝０の解のうち、根号で表せる解をαとする。αは根号で表せるので、べき根拡大（※42）を繰り返すことでαを含む拡大体ができる。Q→L’の間にこれらのべき根拡大を組み入れておくことでα∈L’となる。その上でL’がガロア拡大体になるようにすれば、αのQ上共役解はすべてL’に含まれL⊆L’をみたす。
次に順序が前後する形になるが、③をみたすための方法について述べる。
③をみたすL’を構成するうえで重要な役割を果たすのが１の原始ｎ乗根である。原始ｎ乗根については（※43）で説明を補足している。
上記で述べた各べき根拡大のべき根指数――原始元ª√βのａ――の最小公倍数をｎとし、１の原始ｎ乗根をωとする。最初にQ→Q（ω）という体の拡大を組み入れる。（※44）で述べる通り、このQ→Q（ω）は「ガロア拡大・可換群」である。また予めωを加えたことで、続く各べき根拡大はガロア拡大になる。べき根拡大はガロア拡大であれば、そのガロア群は可換群になる（※45）。したがってここまでの拡大はいずれも「ガロア拡大・可換群」である。
もっとも②をみたすL’を構成するためには、新たに体の拡大を組み込むことになるので、③については再度考察の必要が生じる。
話を②にうつそう。予め加える１の原始ｎ乗根をωとし、続く各べき根拡大の原始元を「α、β、θ…」とする。また「α、β、θ…」のQ上最小多項式をそれぞれ「A（ｘ）、B（ｘ）、C（ｘ）…」とする。ここでｇ（ｘ）＝（ｘⁿ －１）A（ｘ）B（X）C（X）…とおく。ここまででてきた拡大の原始元はいずれもｇ(X)＝０の解である。したがってさらにｇ（ｘ）＝０の解を原始元とする拡大を組み込むことで、L’をｇ（ｘ）＝０の最小分解体にすることが可能である。これによりL’はガロア拡大体となる（定理15）。
あとは新たに加えた拡大についても「ガロア拡大・可換群」であることを示せばよい。以下の定理を用いる。
（定理32）
ガロア拡大列Q→M→Lにおいて、Mを１の原始ｎ乗根を含むガロア拡大体とし、M→Lをβを原始元とする{ｎ次}べき根拡大とする。
このとき、Ｌに「βのＱ上共役解を原始元とする{ｎ次}べき根拡大」を重ねることでβの全Ｑ上共役解を含む拡大体Ｌ’を構成できる。
ただし{ｎ次}べき根拡大とはＭの元のｎ乗根を原始元とする拡大を意味している（※46）。
定理32を前提とすると、L’の構成方法は以下のようになる。
まず、Qにω、αを加え、M₁＝Q（ω α）をつくる。M₁はガロア拡大体である。定理32よりＭ₁に「βのＱ上共役解を原始元とする{ｍ次}べき根拡大」（ｍはｎの約数）を重ねてβの全Ｑ上共役解を含む拡大体Ｍ₂を構成できる。すでに１の原始ｎ乗根を加えてあることから、新たに加わったべき根拡大は「ガロア拡大・可換群」となる。こうしてできたM₂は（ｘⁿ －１）A（X）B（X）＝０の最小分解体なのでガロア拡大体である。したがって同様に定理32を用いてM₂にθのQ上共役解を加えるべき根拡大――「ガロア拡大・可換群」――を重ねてθの全Ｑ上共役解を含むＭ₃を構成できる。
同様に繰り返して①～③をみたすL’が得られる。