（※31）（※27）で述べたように、３次対称群Ｓ₃は位数２の部分群Ｈ₂～Ｈ₄をもつ。Ｈ₂～Ｈ₄の固定体をそれぞれＭ₂～Ｍ₄とする。定理21よりＭ₂～Ｍ₄の拡大次数はいずれも３である。ガロア対応によりＭ₂～Ｍ₄の各固定群はＨ₂～Ｈ₄である。固定群を異にしていることからＭ₂～Ｍ₄は異なる３つの体である。
次にＭ₂～Ｍ₄のほかに拡大次数３の中間体がないことを示そう。Ｍ₂～Ｍ₄のほかに拡大次数３の中間体Ｍ₅があると仮定する。このときＭ₅の固定群Ｈ₅の位数は２であり、その固定体はＭ₅である。Ｈ₅はＨ₂～Ｈ₄と固定体を異にしていることから、Ｈ₂～Ｈ₄とは異なる位数２の部分群である。
Ｍ₅が存在すれば、位数２の部分群が４個以上存在することになる。対偶にかえて位数２の部分群が３個のみであることから、Ｍ₅が存在しないことが導かれた。
（※32）代数的拡大体Ｌの原始元をθとする。Ｌの任意の中間体Ｍが代数的拡大体であることを示そう。
以下、背理法を用いる。Ｍが代数的拡大体でないと仮定する。このときＱに有限個の代数的数を付加してもＭは構成できない。したがってＱに「Ｍの元をくわえていく操作」を繰り返してもＭの中間体にしかならない。この操作を繰り返すことで、拡大次数ではＬを上回り、Ｍ’⊂ＭをみたすＭ’を構成できる。
Ｍ’（θ）＝Ｌが成り立てば、拡大次数の一意性（定理５）もしくは次元の積公式（定理６）が成り立たなくなる。したがって定理５、６の成立からＭが代数的拡大体であることが導かれる。
（※33）まず正規部分群について説明する。Ｇの部分群Ｈが、Ｇの任意の元ｇについてｇＨ＝ＨｇをみたすときＨをＧの正規部分群という。ｇＨとは、Ｈの元ｈを用いてｇｈの形で表記できる元の集合を意味しており、この集合をＨによる剰余類という。
ｇH＝Hｇという等式はｇＨとＨｇが集合として一致することを意味する。すなわちＧの任意の元ｇとＨの任意の元ｈについてｇｈ＝ｈ’ｇをみたすＨの元ｈ’が存在することになる。
またG⊃H₁⊃H₂⊃…Hｎ⊃eついて、「Ｈ₁がＧの Ｈ₂がＨ₁の Ｈ₃がＨ₂の…」正規部分群であるとき、この列を正規列という。
（※34）剰余類群について説明する前にラグランジュの定理を証明する。「群Ｇの位数をｎとする。Ｇの任意の部分群Ｈの位数ｍはｎの約数である」というのがラグランジュの定理である。証明するには、（１）「Ｇのすべての元を重複なくｍ個ずつに分類できること」を示せばよい。
まず、各剰余類には異なるｍ個の元が含まれている。このことはa≠ｂならばaｃ≠ｂｃであることから分かる。
次に、ｇ’∈ｇＨならばｇ’Ｈ＝ｇＨが成り立つことを確認する。ｇ’∈ｇＨよりｇ’＝ｇｈをみたすＨの元ｈが存在する。代入してｇ’Ｈ＝ｇｈＨ＝ｇＨが得られる。
したがってｇ’∈ｇ₁Ｈ、ｇ’∈ｇ₂Ｈならば、ｇ’H＝ｇ₁Ｈ＝ｇ₂Ｈである。各元の含まれる剰余類が唯一つに定まることが分かる。
また、ｇ∈ｇＨより任意のｇを含む剰余類が存在する。
あわせて（１）が示された。
上記をふまえて剰余類群について説明する。
剰余類Ｆ₁、Ｆ₂の積、Ｆ₁・Ｆ₂を以下のように定義する。
ｆ₁∈Ｆ₁、ｆ₂∈Ｆ₂をみたすｆ₁、ｆ₂を選び、ｆ₁・f₂の含まれる剰余類をＦ₁・Ｆ₂と定める。
ＨがＧの正規部分群ならば、ｆ₁、ｆ₂の選び方によらず、Ｆ₁・Ｆ₂は一意に定まる。
したがって剰余類の集合にこの演算を導入し、剰余類群をつくることができる。剰余類群が群の公理をみたしていることの確認については省略する。
（※35）Ｇの任意の元ｘ、ｙについてｘｙ＝ｙｘが成り立つとき、Ｇを可換群という。
（※36）群Ｇの位数をｎとする。Ｇに位数ｎの元が含まれるとき、Ｇを巡回群という
巡回群の各元は生成元аを用いて「а а² а³…аⁿ＝ｅ」の形で表記される。したがって巡回群は可換群である。
一方で可換群が巡回群であるとは限らない。このことのみをふまえれば、本書のガロア群の定義は、一般のガロア群の定義よりも多くの群を含むように思われる。しかし実際にはどちらの定義でもガロア群となる群は一致することが知られており、２つの定義に実質的な差はない。
可解でない５次方程式の存在を示すうえでは、各剰余類群が可換群であることを条件とした方が好都合と考え、この定義にした。
（※37）ガロア拡大列Ｑ→Ｍ→Ｌとは、Ｑ→Ｍ、Ｍ→Ｌともにガロア拡大であることを意味している。
（※38）ガロア拡大体Ｌの原始元をθとし、その中間体をＭとする。（※８）で示したようにＭ（θ）＝Ｌが成り立つ。θはＭ→Ｌの原始元でもあり、Ｍ→Ｌのガロア群はθからそのＭ上共役解への置換の集合である。したがって、Ｌのガロア群の部分群がそのままＭ→Ｌのガロア群となる。
（※39）Ｌの原始元θのＱ上共役解を「θ＝θ₁ θ₂ θ₃…」とする。Ｌの元α＝Ａ（θ）について「Ａ（θ₁） Ａ（θ₂） Ａ（θ₃）…」をαの軌道という。またα＝Ａ（θ）に不変に作用する置換の集合をαの固定部分群という。
（※40）以下の（１）、（２）が同値であることを主張するのがガロアの主定理である。
（１）Ｑ上方程式ｆ（Ｘ）＝０の解の1つが根号を用いて表記可能である。
（２）ｆ（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群が可解群である。
本書では（１）→（２）のみを示しており、定理28は正確にはガロアの主定理のうちの半分である。