（※57）～（※64）

（※57）対称群の元を互換の積の形に変形する過程について、具体例を用いて述べる。

ｆ：（12345）→（51432）とする。このときｆは互換（3４）と３サイクルの元（125）

の積である。一般に、ｎサイクルの元は（123…ｎ）＝（12）（13）…（1n）という変形が可能である。したがって（125）＝（12）（15）となり、ｆ＝（34）（12）（15）と互換の積で表記できた。

（※58）「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の対称式が、Ｈの作用で不変であることを確認する。

 　「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の対称式は、式中の「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」をシャッフルしても不変な式を意味する。そこで「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」はＨの作用によってシャッフルされることを示そう。

　　Ｈの任意の元をｈとする。Ｈが群の公理をみたしていることから「ｈ₁（ｈ（θ））　ｈ₂（ｈ（θ））　ｈ₃（ｈ（θ））…」⊆「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」。

　　また一般の群においてｂа＝ｃаならばｂ＝ｃが成り立つ。対偶にかえてｂ≠ｃならばｂа≠ｃаである。したがって「ｈ₁ｈ　ｈ₂ｈ　ｈ₃ｈ…」はいずれも異なる置換であり、「ｈ₁（ｈ（θ））　ｈ₂（ｈ（θ））　ｈ₃（ｈ（θ））…」が「ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」のシャッフルの結果であることが分かる。

（※59）定理23の同値変形について補足する。

（１）→（２）Mがガロア拡大体ならばαの任意のＱ上共役解はＭに含まれている。

（２）→（３）Ｍの元はｈの作用で不変である。

（３）→（４）両辺にθ→ｇ⁻¹（θ）を施した。

（４）→（５）Ａ（θ）に不変に作用する置換はＨの元である。

（５）→（６）ｇｈ∈ＨｇよりｇＨ＝Ｈｇ。

（６）→（５）ｇＨ＝Ｈｇより、ｇｈ∈Ｈｇ。

（５）→（４）Ｈの元はＡ（θ）に不変に作用する。

（４）→（３）両辺にθ→ｇ（θ）を施した。

（３）→（２）Ｈの任意の元の作用で不変ならばＭの元である。

（２）→（１）Ｇの元「ｅ＝ｇ₁　ｇ₂　ｇ₃…」について、「Ａ（θ）　Ａ（ｇ₂（θ））　Ａ（ｇ₂（θ））…」∈Ｍを解とする式はＱ上の式になる。原始元Ａ（θ）のＱ上共役解はこのうちの一部なので、Ｍはガロア拡大体の十分条件をみたしている。

（※60）[S₅－A₅]の元は、奇数個の互換の積で表記される。したがって[S₅－A₅]の元をかけあわせた積は偶数個の互換の積で表記でき、A₅に含まれている。また「аｃ＝ｂｃならばа＝ｂ」を対偶にかえて「а≠ｂならばаｃ≠ｂｃ」である。このことから‘作用’させる元を変えると、得られる積も変わることが分かる。

　　なお‘’をつけて‘作用’と表記したのは、作用する集合が群でないためだが必要なかったか。

（※61）G・H⊇A・H⊇B・H⊇C・H⊇…⊇e・Hは正規列となることを確認する。

たとえば、Ｂ・ＨがＡ・Ｈの正規部分群であることは以下のようにして分かる。

　 A・Hの元をаとして、а（B・H）＝（B・H）аを示そう。B・HはB、Hのすべての元から生成される群なので、その元はBの元とHの元による積の形で表記される。

この表記を仮に（ｂh…）とする。ここでBがAの正規部分群であること、HがGの正規部分群であることから、аb＝b’а、аh＝hа’という変形が可能である。これらの変形を繰り返すと、а（ｂｈ…）＝（ｂ’ｈ’…）аをみたすB・Hの元（ｂ’ｈ’…）が存在することが得られる。したがって、а（B・H）＝（B・H）аが成り立つ。

（※62）ガロア拡大体Ｌの原始元をθ、Ｌの任意の元をβとする。またＬのガロア群Ｇの部分群Ｈについて、その固定体をM＝Q（α）とする。β＝Ｂ（θ）にＨを作用させた際の軌道が、βのＭ上共役解と一致することを示そう。証明の流れはガロア対応の証明と同様になる。

　  βのM上最小多項式をｆ（α　ｘ）とする。

ｆ（α　β）＝ｆ（A（θ）　B（θ））＝０にアーベルの既約定理を適用しθ→θ’を施すと、ｆ（A（θ’）　B（θ’））＝０が得られる。したがってA（θ）＝A（θ’）ならば、B(θ’)はｆ（α　ｘ）＝０の解である。β＝B（θ）はHの作用でf（α　x）の解のいずれかに変わることになる。

またHの元を「e＝h₁　ｈ₂　ｈ₃…」として（ｘ－B（ｈ₁（θ）））（ｘ－B（ｈ₂（θ）））（ｘ－B（ｈ₃（θ）））…＝０をつくると、この式はβを解にもつM上の式になる。アーベルの既約定理より、βにHを作用させた際の軌道にはｆ（α　x)＝０の解すべてが含まれることが得られる。

あわせてHの作用でβがその全M上共役解に置換されることが示された。

（※63）作用させる群をＡ・ＨからＡ、Ａ／Ｂにかえても得られる軌道がかわらないことを確認する。

　    Ａ・ＨはＡ、Ｈのすべての元から生成される群なので、その元はＡの元とＨの元を用いて表記できる。たとえば、Ａ・Hのある元がa₁h₁a₂h₂（a₁、a₂∈A、ｈ₁、ｈ₂∈H）と表記できたとする。Hの正規性より、a₁h₁a₂h₂＝h’h”a₁a₂をみたすh’、h”∈Hが存在する。

　   また、β＝B（θ）∈MはHの作用で不変なので、B（θ）＝B（ｈ’ｈ”（θ））が成り立つ。アーベルの既約定理を適用して、両辺にθ→ａ₁ａ₂（θ）を施すと、

Ｂ（a₁ａ₂（θ））＝B(h’h”a₁a₂（θ）)。　

あわせてB（a₁h₁a₂h₂（θ））＝Ｂ（a₁ａ₂（θ））となり、Ａの元の作用の結果に書き換えることができた。

また、Ａの元ａ₁、ａ₂が剰余類群Ａ／Ｂの同一の剰余類ａＢに含まれているとする。このときＢはＡの正規部分群なのでaB＝Baよりａ₁、a₂∈Ba。a₁＝ｂ₁a、a₂＝ｂ₂aをみたすｂ₁、ｂ₂∈Bが存在する。

β＝B（θ）∈[B・H]はBの元の作用で不変なのでB(ｂ₁（θ）)＝B（ｂ₂（θ））が成り立つ。アーベルの既約定理を適用してθ→a（θ）を施すと、B(ｂ₁（a（θ））)＝B（ｂ₂（a（θ）））。

　　　あわせて、B（a₁（θ））＝B（a₂（θ））が得られ、同一の剰余類に含まれる元の作用の結果は一意に定まることが示された。

（※64）剰余類群を作用させる場合も、軌道と固定部分群による剰余類に１対１の対応がつくことを確認する。α＝A（θ）に剰余類Fの任意の元ｆを作用させた結果をA（F（θ））と表記することにする。ｆの選び方によらずA（F（θ））の値が一位に定まることが、剰余類群を作用させる際の前提となっている。

　　定理26とその証明を、剰余類群を作用させる場合に書き換えると以下のようになる。

（定理26’）

　ガロア拡大体Lの原始元をθ、ガロア群Gの剰余類群をG／Hとする。G／Hの任意の２つの元をF₁、F₂とし、Lの任意の元αのθ形式をＡ（θ）とする。また、G／Hを作用させた際のαの固定部分群をH’／Hとする。

このとき、①「Ａ（F₁（θ））＝Ａ（F₂（θ））が成り立つこと」と②「F₁、F₂が固定部分群H’／H による同一の剰余類に含まれていること」は同値である。

したがって、Ａ（θ）の軌道と固定部分群H’／H による剰余類には１対１の対応がつく。

証明）証明は以下の同値変形による。

（１）「Ａ（F₁（θ））＝Ａ（F₂（θ））が成り立つ」

　　　⇔（２）「Ａ（θ）＝Ａ（F₂（F₁⁻¹（θ））が成り立つ」

　　　⇔（３）「F ₂・F₁⁻¹∈（H’／H ）」

　　　⇔（４）「F₂∈（H’／H）・F₁」

　　　⇔（５）「F₁、F₂がH’／Hによる同一の剰余類に含まれている」　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（※47）～（※56）

（※47）整数の割り算ａ÷ｂ＝ｃ…ｄにおいてｂ>ｄ≧０をみたす余りｄが必ず存在する　　　

　ことが除法の原理として知られている。同様に多項式の割り算ｆ（X）÷ｇ（X）についてもdegｇ（x）>deg ｈ（X）≧０をみたす余りｈ（X）の存在が保証されている。

　　多項式の割り算を行う際には係数の四則演算を繰り返すことで「割られる式」の次数を下げていき、「割られる式」の次数が「割る式」の次数を下回ったところで計算は終了する。このことが除法の原理が成り立つ要因である。

　　これらの操作はQ上の多項式のみならず、任意の拡大体M上の多項式でも可能なので、除法の原理は任意の拡大体において成り立つ。

（※48）定理２の証明中の（１）、（２）に補足を加える。

　（１）については以下のようにして分かる。а÷ｂ=ｃ…ｄのとき、ｄ=ａ－ｂｃが成り立つ。ａⅩ+ｂＹ=１…①が整数解をもてば、ｄＸ+ｂＹ=（а‐ｂｃ）Ｘ＋ｂＹ＝１…②も整数解をもつ。①式の解を（ｓ　ｔ）としたとき、（ｓ　ｔ＋ｃｓ）などが②式の解となる。

　　　またｂとｄが互いに素でなければ、ｂとｂｃ＋ｄ＝аも互いに素でない。対偶にかえてаとｂが互いに素ならば、ｂとｄも互いに素である。

　　　上記の理屈は、а～ｄが整数であっても多項式でもあっても変わらない。

（※49）原始元の存在（定理４）の証明にいくつか補足を加える。

　代数的単拡大列をQ→M₁→M₂→M₃とする。（１）「２回の代数的単拡大をへて構成された体が単拡大体であること」がみたされていれば、M₂は単拡大体であり原始元が存在する。Q→M₂→M₃に注目して再び（１）を用いると、M₃が単拡大体であることが得られる。

α、β∈Q（α＋qβ）とするとα、βはいずれも（α＋ｑβ）形式で表記できる。したがって、Q(α　β)のすべての元は（α＋ｑβ）形式で表記され、Q（α　β）⊆Q（α＋ｑβ）が導かれる。同様にα＋ｑβ∈Q(α　β)ならば、Q(α＋ｑβ)の元はいずれも（α　β）形式で表記でき、Q（α　β）⊇Q（α＋ｑβ）が得られる。

ｇ（α＋qβ　X）、ｆ（α＋qβ－qX）がβ以外に共通解をもてば、Ｘ＝β’と（α＋qβ－qX）＝α’を合わせて（α＋qβ－qβ’）＝α’。すなわちq＝（α－α’）÷（β－β’）となる。したがってこの等式をみたさないようなｑを選べばよい。

（※50）定理３の証明では「θ形式で表記できる数の集合」が体になっていることを確認した。その証明をＱ（α）上のβ形式におきかえると以下のようになる。

 まず、Ｑ（α）上のβ形式の集合が四則演算で閉じていることを確認する。以下、βのQ上最小多項式をｆ（α　X）＝０とする。

　　　Ｑ（α）上のβ形式2数の和・差がＱ（α）上のβ形式になることは明らか。

　　　Ｑ（α）上のβ形式2数の積ｈ（α　β）は、βの次数がＱ（α）上のβ形式の定義からオーバーしている可能性がある。その場合、ｈ（α　X）をｆ（α　X）で割って、deg　ｆ（α　X）>deg 　ｈ’（α　X）をみたす余りｈ’（α　X）を求める。ｈ（α　β）=ｈ’（α　β）より、ｈ’（α　β）が2数の積に等しいＱ（α）上のβ形式である。

　　　最後にＱ（α）上のβ形式2数ｇ（α　β）、ｈ（α　β）について、ｇ（α　β）÷ｈ（α　β）の商となるＱ（α）上のβ形式が存在することを確認する。証明は以下のように変形できる。

→（１）「Yを未知数とする不定方程式ｇ（α　β）=ｈ（α　β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（２）「１=ｈ（α　β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（３）「Y、Zを未知数とする不定方程式１=ｆ（α　β）Z+ｈ（α　β）Yが解となる

Ｑ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。

→（４）「１=ｆ（X）Z+ｈ（X）Yが解となるＱ（α）上の式をもつこと」を示せばよい。

したがって証明は定理2’に帰着する。

（※51）２変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ　ｘｙ」の2式である。また、３変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ＋ｚ　ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ　ｘｙｚ」の３式である。次数１の「ｘ＋ｙとｘ＋ｙ＋ｚ」、次数２の「ｘｙとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ」がそれぞれ対応している。

（※52）ｆ＝ｘ³＋ｙ³＋ｚ³とする。ｘに０を代入し、ｆ’＝ｙ³＋ｚ³＝（ｙ＋ｚ）³－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）を得る。ｙ＋ｚとｘ＋ｙ＋ｚ、ｙｚとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚがそれぞれ対応しているので、ｇ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）³－３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ）（x＋ｙ＋ｚ）である。

（※53）対称式の基本定理の証明では、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを仮定して、ｆが基本対称式化可能であることを示した。すなわちｆが基本対称式化可能であることを示すには、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを示せばよいことになる。このように証明すべき式を変数もしくは次数の低い式に変えていき、最終的には変数１もしくは次数１の式に証明を帰着させるというのが二重帰納法の真意である。

（※54）ｘ⁻¹ｘ＝ｅからｘｘ⁻¹＝ｅを導こう。両辺に左からｘをかけるとｘｘ⁻¹ｘ＝ｘ、すなわち（ｘｘ⁻¹）ｘ＝ｘが得られ、ｘｘ⁻¹＝ｅが分かる。この逆元との可換性はコーシーの定理（定理18）の証明に用いることになる。

（※55）コーシーの定理の証明中の（１）、（２）について補足する。

位数ｎの群Gから重複を許してｐ－１個の元を選ぶ方法はｎのｐ－１乗通りである。これらについてそれぞれ逆元をかけるとeになることから（１）が分かる。

また、（※54）で述べた逆元との可換性をふまえると、ｐ個の元の積（123…ｐ）がeならば、これをスライドさせた（23…p１）、（34…ｐ12）…の積もeになることが分かる。またｐが素数なので、（123…ｐ）の中に異なる複数の元に含まれていれば、ｐ回のスライドで異なるｐ個の選び方が得られる。あわせて（２）が示された。

（※56）互換２個の積について以下のように分類する。

　２個の互換が同一の互換であるとき、その積は単位元ｅになる…①。また２個の互換　　

に同一の数字が含まれていないとき、その積は可換である…②。２個の互換が共通の数字を１個含んでいる場合は、共通する数字を変えてから積の順序を反転させる操作で不変である…③。

　上記①～③を等式化すると以下のようになる。

①    （аｂ）（аｂ）＝単位元ｅ

②    （ａｂ）（ｃｄ）＝（ｃｄ）（аｂ）

③    （аｂ）（ｂｃ）＝（ｂｃ）（аｃ）＝（аｃ）（аｂ）

特に③の変形は以降何度も引用することになる。

§2.8 ガロアの主定理証明

　§2.8　ガロアの主定理証明

定理29～30、定理27、定理31～32の順に証明を述べる。

（定理29）

５次交代群A₅の位数は60か120のいずれかである。

証明）Ａ₅の位数が120でない場合、60であることを確認する。

Ａ₅は５次対称群Ｓ₅の部分群である。Ｓ₅の元のうちＡ₅に含まれない元の集合をＳ₅－Ａ₅と表記することにする。

ラグランジュの定理（※34）により、Ａ₅の位数は120の約数「120、60、40、30…」のいずれかである。したがって、Ａ₅⊂Ｓ₅のとき、[Ｓ₅－Ａ₅の位数]≧[Ａ₅の位数]が成り立つ。

またＳ₅－Ａ₅の元の１つにＳ₅－Ａ₅を‘作用’させると、いずれも相異なるＡ₅の元に変化する（※60）。したがって[Ｓ₅－Ａ₅の位数]≦[Ａ₅の位数]が得られる。

あわせて、Ａ₅⊂Ｓ₅ならば[Ｓ₅－Ａ₅の位数]＝[Ａ₅の位数]が成り立ち、Ａ₅の位数は60である。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理30）

５次交代群A₅は可解群ではない。

証明には、交換子・交換子群という用語を用いる。群Gの任意の元ｘ、ｙを用いてx⁻¹y⁻¹xyという形で表記できる元をＧの交換子という。また、Ｇに含まれるすべての交換子によって生成される群をＧの交換子群という。すなわち、Ｇの交換子すべてを含む最小の群がＧの交換子群ということになる。交換子群が、交換子のみからなるとは限らないことに注意されたい。

証明）Ａ₅の正規部分群のなかで、剰余類群が可換群となる部分群をＮとする。定理30を示すにはＮにあてはまる群はＡ₅のみであることを示せばよい。A₅⊇Nは明らかなのでＡ₅⊆Ｎを示そう。

　Ａ₅／Ｎは可換群という仮定より、Ａ₅の元ｘ、ｙについて（ｘＮ）（ｙＮ）＝（ｙＮ）（ｘＮ）が成り立つ。等式を変形すると、ｘ⁻¹ｙ⁻¹ｘｙ∈Ｎが導かれる。したがってＮには、Ａ₅の任意の交換子が含まれており、Ｎ⊇「Ａ₅の交換子群」が得られる。

　またすぐ後に示すように、（１）「Ａ₅の任意の元は、交換子の積の形で表記することができる」。したがって、Ａ₅⊆「Ａ₅の交換子群」。Ａ₅⊇「Ａ₅の交換子群」は明らかなので、Ａ₅＝「Ａ₅の交換子群」が成り立つ。

　あわせてＮ⊇「Ａ₅の交換子群」＝Ａ₅より、Ａ₅⊆Nが得られた。

最後に（１）を確認しよう。なお以下の互換に関する等式変形は（※56）の結果を用いている。

Ａ₅の元は偶数個の互換の積の形に書き表せる。したがって２個の互換の積が交換子の積の形で表記できることを示せばよい。

２個の互換の積のうち（аｂ）（ｂｃ）のように、文字の1つが重複するものをＡタイプの積、（аｂ）（ｃｄ）のように文字が重複しないものをＢタイプの積とよぶことにする。

（аｂ）（ｃｄ）＝{（аｃ）（ｂｃ）}{（аｃ）（ｃｄ）}よりＢタイプの積は、Ａタイプの積をかけあわせた形で表記できる。

またＡタイプの積については（аｂ）（аｃ）＝（ｂｃ）（аｃ）（ｂｃ）（аｃ）が成り立つ。したがってＡタイプの積は交換子である。

あわせて、Ａ₅の任意の元が交換子の積の形で表記できることが示された。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理27）

５次対称群S₅は可解群ではない。

証明）S₅の正規部分群のなかで、剰余類群が可換群となる部分群をＮとする。定理27 を示すにはＮにあてはまる群はS₅もしくはA₅であることを示せばよい。以下、Ａ₅⊆Ｎを示そう。

　S₅／Ｎは可換群という仮定より、S₅の元ｘ、ｙについて（ｘＮ）（ｙＮ）＝（ｙＮ）（ｘＮ）が成り立つ。等式を変形すると、ｘ⁻¹ｙ⁻¹ｘｙ∈Ｎが導かれる。したがってＮには、S₅の任意の交換子が含まれており、Ｎ⊇「S₅の交換子群」。「S₅の交換子群」⊇「A₅の交換子群」＝A₅とあわせて、N⊇A₅が得られる。

　N⊃A₅の場合は定理29よりN＝S₅なので、NがS₅もしくはA₅であることが示された。　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理31）

「ガロア拡大体・可解群」のLの中間体Mがガロア拡大体であるとき、Mも「ガロア拡大体・可解群」である。

証明）Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。また、Mの固定群をHとする。このときMのガロア群は剰余類群G／Hと同型になる。以下、Mのガロア群が可解群であることを示そう。

　まず、表記について以下の２つの取り決めをする。

　２つの群G、G’のすべての元によって生成される群をG・G’と表記することにする。このとき、G・G’⊇GかつG・G’⊇G’が成り立つ。

　また群Gの固定体を[]を用いて[G]と表記することにする。上記の設定では、[G]＝Q、[H]＝Mである。

　仮定により、Gは可解群である。Gの可解列をG⊃A⊃B⊃C⊃…⊃eとする。このとき各剰余類群「G／A　A／B　B／C…」は可換群となる。

　またG・H⊇A・H⊇B・H⊇C・H⊇…⊇e・Hは正規列となる（※61）。したがって、[G・H]→[A・H]→[B・H]→[C・H]→…→［e・H］＝Mはガロア拡大列となる。Ｍのガロア群が可解群であることを示すには、各拡大のガロア群が可換群であることを示せばよい。

　以下、各拡大のガロア群が可換群であることを確認する。［A・H］→［B・H］のガロア群に話を絞って証明を進めるが、その他の拡大についてもまったく同様の議論が成立する。

　一般にLの任意の元α＝A（θ）に、Mの固定群Hを作用させると、その軌道はαのM上共役解と一致する（※62）。［A・H］→［B・H］の原始元をβとすれば、β＝B（θ）はA・Hの作用により、［A・H］上最小多項式の全共役解に置換される。したがってこの作用による置換が、［A・H］→［B・H］のガロア群となる。

　ここで、βはMの元なのでHの作用で不変である。したがって、A・HのかわりにAを作用させても得られる軌道は変わらない。

　また、B・H⊇Bより［B・H］⊆［B］が成り立つ。したがってβ∈［B］より、βはBの作用により不変である。したがって剰余類群A／Bの剰余類から代表元を１つずつ選んで作用させても、やはり軌道は変わらない（※63）。

　このように、剰余類群の各剰余類の元を１つずつ選んで作用させることを「剰余類群を作用させる」と表現することにする。剰余類群を作用させる際にも、軌道と固定部分群による剰余類群に１対１の対応がつくことについては（※64）で確認している。

さて、可換群では任意の部分群による剰余類群が可換群となる。剰余類群A／Bは可換群

であったから、その剰余類群は可換群である。このことを用いるとA／Bによる作用の軌道「［A・H］→［B・H］のガロア群」と可換群の各元の間に1対１の対応をつけることが可能である。

具体的な対応関係は以下のようになる。

A／Bの作用によるβの固定部分群をH／Bとし、剰余類（A／B）／（H／B）の類Fに含まれる任意の元をｆと表記することにする。このとき「ｂ→ｆ’（ｂ）」＝「B（θ）→B（ｆ（θ））」が成り立つよう、Fとｆ’を対応させる。

最後にこの対応が演算の結果に保存されることを確認しよう。Ｆ₁・Ｆ₂とｆ₁’・ｆ’₂が対応していることを示すには、ｆ₁’（ｆ’₂（Ｂ（θ）））＝Ｂ（ｆ₁（ｆ₂（θ）））が成り立つことを示せばよい。

ｆ’₁（Ｂ（θ））＝Ｂ（ｆ₁（θ））にアーベルの既約定理を適用して、θ→ｆ₂（θ）を施すとｆ’₁（Ｂ（ｆ₂（θ））＝Ｂ（ｆ₁（ｆ₂（θ））が得られる。Ｂ（ｆ₂（θ））＝ｆ’₂（Ｂ（θ））なので求める等式が得られた。

以上で、「［A・H］→［B・H］のガロア群」が可換群であることが示された。その他各拡大のガロア群も同様に可換群であり、Ｍのガロア群は可解群である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理32）

ガロア拡大列Q→M→Lにおいて、Mを１の原始ｎ乗根を含むガロア拡大体とし、M→Lをβを原始元とする{ｎ次}べき根拡大とする。

このとき、Ｌに「βのＱ上共役解を原始元とする{ｎ次}べき根拡大」を重ねることでβの全Ｑ上共役解を含む拡大体Ｌ’を構成できる。

ただし{ｎ次}べき根拡大とはＭの元のｎ乗根を原始元とする拡大を意味している（※46）。

証明）Ｍ→Ｌは{ｎ次}べき根拡大なので、βはＭの元のｎ乗根である。Mの原始元をαとすれば、βを解にもつＭ上の式ｘⁿ－ｆ（α）＝０が存在する。

　αのＱ上共役解の集合を「α＝α₁　α₂　α₃…」とする。Mはガロア拡大体なので、「ｆ（α₁）　ｆ（α₂）　ｆ（α₃）…」∈Mである。ここで以下の式をつくる。

{ｘⁿ－ｆ（α₁）}{ｘⁿ－ｆ（α₂）}{ｘⁿ－ｆ（α₃）}…＝０… ①

対称式の基本定理（定理９）より、①式はβを解にもつQ上の式である。アーベルの既約定理により、βの任意のQ上共役解β’は①式の解になる。

またM⊂Lより、Mの元はLの元でもある。したがって、「ｆ（α₁）　ｆ（α₂）　ｆ（α₃）…」∈Lより、Lにこれらのｎ乗根を加える拡大は{ｎ次}べき根拡大である。１の原始ｎ乗根がLに含まれていることから、これらの{ｎ次}べき根拡大によってβの全Q上共役解を含む拡大体L’が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■