§2.7 可解群関連証明

§2.7　可解群関連証明

定理23、定理26、定理24～25の順に証明を述べる。

（定理23）

　ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ →M→Lとし、Lのガロア群をGとする。

このとき①「Q→Mがガロア拡大であること」と②「Mの固定群HがGの正規部分群であること」は同値である。

　証明）Ｌ、Ｍの原始元をそれぞれθ、αとし、αのθ形式をα＝Ａ（θ）とする。またＧ、Ｈの任意の元をそれぞれｇ、ｈと表記することにする。

証明は以下の同値変型から得られる。

　　（１）「Ｍがガロア拡大体である」

　⇔（２）「Ａ（ｇ（θ））∈Ｍ」

　⇔（３）「Ａ（ｇ（θ））＝Ａ（ｇ（ｈ（θ）））が成り立つ」

　⇔（４）「Ａ（θ）＝Ａ（ｇｈｇ⁻¹（θ））が成り立つ」

　⇔（５）「ｇｈｇ⁻¹∈Ｈ」

　⇔（６）「ＨがＧの正規部分群である」

各同値変形の詳細については（※59）で補足している。　　　　　　　■

（定理26）

　ガロア拡大体Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。Gの任意の２つの元をｆ、ｇとし、Lの任意の元αのθ形式をA（θ）とする。またαの固定部分群をHとする。

このとき、①「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つこと」と②「ｆ、ｇがHによる同一の（右）剰余類に含まれていること」は同値である。

したがって、A（θ）の軌道とHによる剰余類には１対１の対応がつく。

証明）証明は以下の同値変型による。

（１）「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つ」

　　　⇔（２）「A （θ）＝A （ｇ（ｆ⁻¹（θ））が成り立つ」

　　　⇔（３）「ｇｆ⁻¹∈H」

　　　⇔（４）「ｇ∈Hｆ」

　　　⇔（５）「ｆ、ｇが同一の剰余類Hｆに含まれている」　　　　　　■

　（定理24）

　ガロア拡大体Lに関するガロア拡大列をQ→M→Lとする。また、Lのガロア群をGとし、Mの固定群をHとする。

　このとき、「Q→Mのガロア群」と「剰余類群G／H」は同型である。

　証明）M、Lの原始元をα、θとし、α＝A（θ）とする。αにＧを作用させた際の軌道は、αの全Q上共役解に一致する。また、αの固定部分群はHである。

　したがって定理26より、Mのガロア群と剰余類群Ｇ／Hの各元には1対１の対応がつく。

具体的な対応関係は以下のようになる。

剰余類群G／Hの任意の類をFとし、Fに含まれる任意の元をｆとする。「剰余類群G／H」の元Fに対し、「α→ｆ’（α）」＝「A(θ)→A（ｆ（θ））」が成り立つよう「Q→Mのガロア群」の元ｆ’を対応させればよい。

　次にこの対応が演算の結果に保存されることを確認する。

　F₁・F₂とｆ’₁・ｆ’₂が対応していることを示すには、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））の成立を示せばよい。

　ｆ₁（A（θ））＝ｆ’₁（A（θ））にアーベルの既約定理を適用してθ→ｆ₂（θ）を施すと、　ｆ₁（A（f₂（θ）））＝ｆ’₁（A（f₂（θ））が得られる。A（ｆ₂（θ））＝ｆ₂（A（θ））より、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））が示された。　　　■

（定理25）

　ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ→M→Lとし、Mの固定群をHとする。このときM→Lのガロア群はHである。

証明）M、Lの原始元をそれぞれα、θとし、θのM上最小多項式をｆ（α　X）とする。このときM(θ)＝Lが成り立ち、θはM→Lの原始元でもある（※８参照）。

例によって、αのθ形式をα＝A（θ）とする。

定理20の証明でもみたように、θのQ上共役解θ’について、①「ｆ（α　θ’）＝０が成り立つこと」と②「A（θ）＝A（θ’）が成り立つこと」は同値である。①→②からＨ⊇「M→Lのガロア群」が、②→①からH⊆「M→Lのガロア群」が導かれ、あわせてH＝「M→Lのガロア群」が得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.6ガロア対応関連証明

§2.6　ガロア対応関連証明

（定理20）

ガロア拡大体Lとその中間体Mの拡大次数をそれぞれｌ、ｍとする。このとき、Mの固

定群の位数はｌ÷ｍになる。

　証明）M、Lの原始元をそれぞれα、θとする。このときM（θ）＝Lが成り立つ。

　また、αのQ上最小多項式をｆ（X）、θのM上最小多項式をｇ（α　X）とする。

　　αのQ上共役解を「α＝α₁　α₂　α₃…」として、以下の式をつくる。

　ｇ（α　X）ｇ（α₂　X）ｇ（α₃　X）…＝０…①

この①式は対称式の基本定理よりθを解にもつQ上の式である。次数の関係からこの式がθのQ上最小多項式であり、①式は重解をもたない。

さて、θのQ上共役解のうち、ｇ（α　ｘ）＝０の解となるものをθ’と表記することにする。

ｇ（A（θ）　θ）＝０にアーベルの既約定理を適用して、ｇ（A（θ’）　θ’）＝０と書き換えられる。ここでA（θ’）は「α＝α₁　α₂　α₃…」のいずれかであるが、上記の式のうちθ’を解にもつのはｇ（α　X）＝０のみである。したがってA（θ’）＝A（θ）が得られた。

次に、θのQ上共役解のうち、ｇ（α　ｘ）＝０の解でないものをθ”と表記することにする。

さきほどと同様にｇ（A（θ”）　θ”）＝０と変形すると、A(θ)≠A（θ”）が得られる。

あわせて、「A(θ)＝A(θ’)が成り立つこと」と「θ’がｇ（α　ｘ）＝０の解になること」が同値であることが示された。したがって「α＝A（θ）に不変に作用する置換の個数」と「ｇ（α　ｘ）＝０の次数」が一致する。

Mの固定群はαの固定部分群と一致するので、その位数はM→Lの拡大次数ｌ÷ｍである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　（定理21）

　ガロア拡大体Lの拡大次数をｌとし、そのガロア群をGとする。Gの部分群Hの位数をｈとするとき、Hの固定体となる中間体Mの拡大次数はｌ÷ｈである。

証明）M、Lの原始元をα、θとし、θのM上最小多項式をｆ（α　ｘ）＝０とする。MはHの固定体なので、Hはα＝A（θ）に不変に作用する。

定理20の証明でみたように、「A（θ）＝A(θ’)が成り立つこと」と「θ’がｆ（α　X）

＝０の解であること」は同値である。Hの元を「e＝h₁　h₂　h₃…」とすれば、「h₁（θ）　h₂（θ）　h₃（θ）…」はいずれもf（α　X）＝０の解である。

次に「h₁（θ）　h₂（θ）　h₃（θ）…」を解にもつ以下の式をつくる。

（ｘ－ｈ₁（θ））（ｘ－ｈ₂（θ））（ｘ－ｈ₃（θ））…＝０…①

この①式の係数は「e＝ｈ₁（θ）　ｈ₂（θ）　ｈ₃（θ）…」の基本対称式になってお

り、Hの作用で不変である（※58）。MにはHの作用で不変なすべての元が含まれているので、①式はθを解にもつM上の式である。

　アーベルの既約定理より、ｆ（α　X）＝０の解はいずれも①式の解となる。

あわせて、①式＝ｆ（α　x）が得られ、Hの位数とM→Lの拡大次数が一致することが

示された。次元の積公式（定理６）より、Mの拡大次数はｌ÷ｈである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

§2.5最小分解体関連証明

　§2.5　最小分解体関連証明

定理15～定理18、定理14の順に証明を述べる。

（定理15）

　有理数係数f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌはガロア拡大体である。

証明）　Lの原始元をθとする。その任意のQ上共役解θ’がLに含まれていることを示せばよい。

　ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁　α₂　α₃…」とし、各解のθ形式を「A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…」とする。

また原始元θは（α₁　α₂　α₃…）形式で表記される。θを表記する（α₁　α₂　α₃…）形式を｛α₁　α₂　α₃…｝と表記することにする。

このとき、以下の等式が成り立つ。

　θ＝｛α₁　α₂　α₃…｝＝｛A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}

このQ上の等式はアーベルの既約定理により以下のように書き換えられる。

　θ’＝｛A₁（θ’）　A₂（θ’）　A₃（θ’）…｝

ここで再びアーベルの既約定理を用いると「A₁（θ’）　A₂（θ’）　A₃（θ’）…」がいずれもｆ（ｘ）＝０の解であることが得られる。

したがってθ’はｆ（ｘ）＝０の解と有理数の式で表記できるのでLの元である。原始元θの任意のQ上共役解がLに含まれており、Lはガロア拡大体の十分条件をみたしている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

（定理16）

 有理数係数n次方程式f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群は、n次対称群の部分群と同型である。

　ただし対称群の演算については、ｆとｇの積をｆ・ｇ：（123…ｎ）→「（123…ｎ）にｆの置換を施した後、ｇの置換を施した結果」と定義する。

　証明）Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。

　定理15の証明のときと同様に、ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁　α₂　α₃…」とし、θ＝{α₁　α₂　α₃…}＝{A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}とする。

　Gの任意の元をgとする。このとき「A₁（ｇ（θ））　A₂（ｇ（θ））　A₃（ｇ（θ））…」はいずれも異なるｆ（X）＝０の解である（定理11証明参照）。したがってGの元の置換によって、解はシャッフルされることになる。

　次に、Gの元ｇ、ｈについてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方が異なることを背理法を用いて確認する。

ｇとｈによる解のシャッフルが同一ならば、｛A₁（g(θ）)　A₂（g(θ)）　A₃（g（θ））…}＝{A₁（h（θ））　A₂（h（θ））　A₃（h（θ））…｝が成り立つ。

一方θ＝｛A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…}にアーベルの既約定理を適用してθ→g（θ）、θ→ｈ（θ）の置換を施すと、ｇ（θ）＝｛A₁（g(θ）)　A₂（g(θ)）　A₃（g（θ））…}、ｈ（θ）＝{A₁（h（θ））　A₂（h（θ））　A₃（h（θ））…}がそれぞれ得られる。

あわせて、ｇとｈによる解のシャッフルが同一であるときｇ（θ）＝ｈ（θ）、すなわちｇ＝ｈであることが示された。対偶にかえてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方は異なる。

上記から、ガロア群の元とｎ次対称群の部分群の元に1対１の対応がつけられる。

たとえば、「A₁（ｇ（θ）　A₂（g（θ））　A₃（ｇ（θ））」＝「α₁　α₃　α₂」ならばｇと（123）→（132）を対応させることになる。

最後にこの1対１の対応が演算の結果に保存されることを示そう。

ガロア群Gの元ｇ、ｈに対して、これらと対応するｎ次対称群の元をｇ’、ｈ’とする。ｇ・ｈと、ｇ’・ｈ’が対応していることを示せばよい。

ｇ・ｈによりｆ（ｘ）＝０の解は「A₁（θ）　A₂（θ）　A₃（θ）…」→「A₁（ｇ（θ））　A₂（ｇ（θ））　A₃（ｇ（θ））…」→「A₁（ｇ（ｈ（θ）））　A₂（ｇ（ｈ（θ）））　A₃（ｇ（ｈ（θ）））…」とシャッフルされる。したがってｇ’の置換が施された状態で、さらにｈ’の置換が施されることになる。対称群の演算の定義によりこの結果はｇ’・ｈ’の結果に一致する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　（定理17）

有理数係数f（Ｘ）＝０が複素数θを解にもつとき、その複素共役θ’も解になる。

証明）複素数の計算については、次の①～③が成り立つ。

①    α・βとα’・β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）（c＋ｄi）と

（a－ｂi）（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。

②    実数ｃについてｃαとｃα’は複素共役関係にある。式にするとｃ（a＋ｂi）と

ｃ（a－ｂi）が複素共役関係ということになる。

③    α＋βとα’＋β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）＋（c＋ｄi）と

（a－ｂi）＋（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。

上記の①～③を用いて、ｆ（θ）＝０からｆ（θ’）＝０を導こう。①よりθのｎ乗とθ’のｎ乗が、②よりｆ（θ）とｆ（θ’）の各項が、③よりｆ（θ）とｆ（θ’）が、それぞれ複素共役関係にあることが得られる。

　０の複素共役は０なので、ｆ（θ’）＝０が示された。　　　　　　■

（定理18　コーシーの定理）

群Ｇの位数をnとし、その任意の素因数をpとする。このときGには位数pの元が含まれている。

証明）Gの元について、その積が単位元eとなるようなｐ個の元の選び方を数える。ただし同一の元を複数回選ぶことを認め、また選ぶ順序が異なるものは異なる選び方としてカウントするものとする。

　このとき（１）「選び方はｎの（ｐ－１）乗通りである」。ｎはｐの倍数なので、ｎの（p－１）乗はｐの倍数である。

　次にｐ個の元の選び方の中で、異なる複数の元を含む選び方を取り除いていく。（２）「異なる複数の元を含むような選び方は（ｐの倍数）通りである」。

　あわせて、単一の元をｐ乗して単位元eにする方法は、０通りもしくは「ｐの倍数」通りのいずれかであることが得られた。eのｐ乗がeであることから、このような選び方は０通りではありえない。したがってｐを位数とする元が、最少でもｐ－１個存在することになり、位数ｐの元の存在が示された。　　　　　　

なお、証明中の（１）、（２）については（※55）で補足している。　　　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　

（定理14）

　既約５次方程式f（ⅹ）＝０が実数解を3個もつとき、その最小分解体Ｌのガロア群Gは5次対称群S₅になる。

証明に用いる互換という用語については（※26）で述べている。また、（※56）では互換に関するいくつかの計算法則をまとめている。

証明）　証明の概要は以下のようになる。

→（１）「GにS₅の互換10個すべてが含まれていること」を示せばよい。

→（２）「Gに、5文字が２回ずつ出てくるような５個の互換が含まれていること」を示せばよい。

→（３）「Gに、１つの互換と位数５の元が含まれていること」を示せばよい。

　証明の変型過程について補足する。なお以下の説明は、「а　ｂ　ｃ　ｄ　ｅ」にあてはめる数字を問わず成立する。

→（１）（※57）で述べるように、S₅の任意の元は互換の積によって表記できる。したがって全10個の互換からGは生成される。

（１）→（２）互換については（аｂ）（ｂｃ）（аｂ）＝（аｃ）という等式変型が可能である。したがって（аｂ）、（ｂｃ）、（ｃｄ）、（ｄｅ）、（аｅ）という5個の互換から残る５個の互換も得られる。

（２）→（３）互換を（аｂ）、位数５の元をｇとする。このとき（аｂ）、ｇ（аｂ）ｇ⁻¹、ｇ（аｂ）ｇ⁻²、ｇ（аｂ）ｇ⁻³，ｇ（аｂ）ｇ⁻⁴が（２）の条件をみたす５個の互換となる。　　　　　　　　　　　　　　　　■