§2.7 可解群関連証明
定理23、定理26、定理24～25の順に証明を述べる。
（定理23）
ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ →M→Lとし、Lのガロア群をGとする。
このとき①「Q→Mがガロア拡大であること」と②「Mの固定群HがGの正規部分群であること」は同値である。
証明）Ｌ、Ｍの原始元をそれぞれθ、αとし、αのθ形式をα＝Ａ（θ）とする。またＧ、Ｈの任意の元をそれぞれｇ、ｈと表記することにする。
証明は以下の同値変型から得られる。
（１）「Ｍがガロア拡大体である」
⇔（２）「Ａ（ｇ（θ））∈Ｍ」
⇔（３）「Ａ（ｇ（θ））＝Ａ（ｇ（ｈ（θ）））が成り立つ」
⇔（４）「Ａ（θ）＝Ａ（ｇｈｇ⁻¹（θ））が成り立つ」
⇔（５）「ｇｈｇ⁻¹∈Ｈ」
⇔（６）「ＨがＧの正規部分群である」
各同値変形の詳細については（※59）で補足している。 ■
（定理26）
ガロア拡大体Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。Gの任意の２つの元をｆ、ｇとし、Lの任意の元αのθ形式をA（θ）とする。またαの固定部分群をHとする。
このとき、①「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つこと」と②「ｆ、ｇがHによる同一の（右）剰余類に含まれていること」は同値である。
したがって、A（θ）の軌道とHによる剰余類には１対１の対応がつく。
証明）証明は以下の同値変型による。
（１）「A （ｆ（θ））＝A （ｇ（θ））が成り立つ」
⇔（２）「A （θ）＝A （ｇ（ｆ⁻¹（θ））が成り立つ」
⇔（３）「ｇｆ⁻¹∈H」
⇔（４）「ｇ∈Hｆ」
⇔（５）「ｆ、ｇが同一の剰余類Hｆに含まれている」 ■
（定理24）
ガロア拡大体Lに関するガロア拡大列をQ→M→Lとする。また、Lのガロア群をGとし、Mの固定群をHとする。
このとき、「Q→Mのガロア群」と「剰余類群G／H」は同型である。
証明）M、Lの原始元をα、θとし、α＝A（θ）とする。αにＧを作用させた際の軌道は、αの全Q上共役解に一致する。また、αの固定部分群はHである。
したがって定理26より、Mのガロア群と剰余類群Ｇ／Hの各元には1対１の対応がつく。
具体的な対応関係は以下のようになる。
剰余類群G／Hの任意の類をFとし、Fに含まれる任意の元をｆとする。「剰余類群G／H」の元Fに対し、「α→ｆ’（α）」＝「A(θ)→A（ｆ（θ））」が成り立つよう「Q→Mのガロア群」の元ｆ’を対応させればよい。
次にこの対応が演算の結果に保存されることを確認する。
F₁・F₂とｆ’₁・ｆ’₂が対応していることを示すには、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））の成立を示せばよい。
ｆ₁（A（θ））＝ｆ’₁（A（θ））にアーベルの既約定理を適用してθ→ｆ₂（θ）を施すと、 ｆ₁（A（f₂（θ）））＝ｆ’₁（A（f₂（θ））が得られる。A（ｆ₂（θ））＝ｆ₂（A（θ））より、ｆ’₁（ｆ’₂（A（θ）））＝A（ｆ₁（ｆ₂（θ）））が示された。 ■
（定理25）
ガロア拡大体Lに関する代数的拡大列をQ→M→Lとし、Mの固定群をHとする。このときM→Lのガロア群はHである。
証明）M、Lの原始元をそれぞれα、θとし、θのM上最小多項式をｆ（α X）とする。このときM(θ)＝Lが成り立ち、θはM→Lの原始元でもある（※８参照）。
例によって、αのθ形式をα＝A（θ）とする。
定理20の証明でもみたように、θのQ上共役解θ’について、①「ｆ（α θ’）＝０が成り立つこと」と②「A（θ）＝A（θ’）が成り立つこと」は同値である。①→②からＨ⊇「M→Lのガロア群」が、②→①からH⊆「M→Lのガロア群」が導かれ、あわせてH＝「M→Lのガロア群」が得られる。 ■