§2.5 最小分解体関連証明
定理15～定理18、定理14の順に証明を述べる。
（定理15）
有理数係数f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌはガロア拡大体である。
証明） Lの原始元をθとする。その任意のQ上共役解θ’がLに含まれていることを示せばよい。
ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁ α₂ α₃…」とし、各解のθ形式を「A₁（θ） A₂（θ） A₃（θ）…」とする。
また原始元θは（α₁ α₂ α₃…）形式で表記される。θを表記する（α₁ α₂ α₃…）形式を｛α₁ α₂ α₃…｝と表記することにする。
このとき、以下の等式が成り立つ。
θ＝｛α₁ α₂ α₃…｝＝｛A₁（θ） A₂（θ） A₃（θ）…}
このQ上の等式はアーベルの既約定理により以下のように書き換えられる。
θ’＝｛A₁（θ’） A₂（θ’） A₃（θ’）…｝
ここで再びアーベルの既約定理を用いると「A₁（θ’） A₂（θ’） A₃（θ’）…」がいずれもｆ（ｘ）＝０の解であることが得られる。
したがってθ’はｆ（ｘ）＝０の解と有理数の式で表記できるのでLの元である。原始元θの任意のQ上共役解がLに含まれており、Lはガロア拡大体の十分条件をみたしている。 ■
（定理16）
有理数係数n次方程式f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群は、n次対称群の部分群と同型である。
ただし対称群の演算については、ｆとｇの積をｆ・ｇ：（123…ｎ）→「（123…ｎ）にｆの置換を施した後、ｇの置換を施した結果」と定義する。
証明）Lの原始元をθ、ガロア群をGとする。
定理15の証明のときと同様に、ｆ（ｘ）＝０の解を「α₁ α₂ α₃…」とし、θ＝{α₁ α₂ α₃…}＝{A₁（θ） A₂（θ） A₃（θ）…}とする。
Gの任意の元をgとする。このとき「A₁（ｇ（θ）） A₂（ｇ（θ）） A₃（ｇ（θ））…」はいずれも異なるｆ（X）＝０の解である（定理11証明参照）。したがってGの元の置換によって、解はシャッフルされることになる。
次に、Gの元ｇ、ｈについてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方が異なることを背理法を用いて確認する。
ｇとｈによる解のシャッフルが同一ならば、｛A₁（g(θ）) A₂（g(θ)） A₃（g（θ））…}＝{A₁（h（θ）） A₂（h（θ）） A₃（h（θ））…｝が成り立つ。
一方θ＝｛A₁（θ） A₂（θ） A₃（θ）…}にアーベルの既約定理を適用してθ→g（θ）、θ→ｈ（θ）の置換を施すと、ｇ（θ）＝｛A₁（g(θ）) A₂（g(θ)） A₃（g（θ））…}、ｈ（θ）＝{A₁（h（θ）） A₂（h（θ）） A₃（h（θ））…}がそれぞれ得られる。
あわせて、ｇとｈによる解のシャッフルが同一であるときｇ（θ）＝ｈ（θ）、すなわちｇ＝ｈであることが示された。対偶にかえてｇ≠ｈならば解のシャッフルのされ方は異なる。
上記から、ガロア群の元とｎ次対称群の部分群の元に1対１の対応がつけられる。
たとえば、「A₁（ｇ（θ） A₂（g（θ）） A₃（ｇ（θ））」＝「α₁ α₃ α₂」ならばｇと（123）→（132）を対応させることになる。
最後にこの1対１の対応が演算の結果に保存されることを示そう。
ガロア群Gの元ｇ、ｈに対して、これらと対応するｎ次対称群の元をｇ’、ｈ’とする。ｇ・ｈと、ｇ’・ｈ’が対応していることを示せばよい。
ｇ・ｈによりｆ（ｘ）＝０の解は「A₁（θ） A₂（θ） A₃（θ）…」→「A₁（ｇ（θ）） A₂（ｇ（θ）） A₃（ｇ（θ））…」→「A₁（ｇ（ｈ（θ））） A₂（ｇ（ｈ（θ））） A₃（ｇ（ｈ（θ）））…」とシャッフルされる。したがってｇ’の置換が施された状態で、さらにｈ’の置換が施されることになる。対称群の演算の定義によりこの結果はｇ’・ｈ’の結果に一致する。 ■
（定理17）
有理数係数f（Ｘ）＝０が複素数θを解にもつとき、その複素共役θ’も解になる。
証明）複素数の計算については、次の①～③が成り立つ。
① α・βとα’・β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）（c＋ｄi）と
（a－ｂi）（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。
② 実数ｃについてｃαとｃα’は複素共役関係にある。式にするとｃ（a＋ｂi）と
ｃ（a－ｂi）が複素共役関係ということになる。
③ α＋βとα’＋β’は複素共役関係にある。式にすると（ａ＋ｂi）＋（c＋ｄi）と
（a－ｂi）＋（ｃ－ｄi）が複素共役関係ということになる。
上記の①～③を用いて、ｆ（θ）＝０からｆ（θ’）＝０を導こう。①よりθのｎ乗とθ’のｎ乗が、②よりｆ（θ）とｆ（θ’）の各項が、③よりｆ（θ）とｆ（θ’）が、それぞれ複素共役関係にあることが得られる。
０の複素共役は０なので、ｆ（θ’）＝０が示された。 ■
（定理18 コーシーの定理）
群Ｇの位数をnとし、その任意の素因数をpとする。このときGには位数pの元が含まれている。
証明）Gの元について、その積が単位元eとなるようなｐ個の元の選び方を数える。ただし同一の元を複数回選ぶことを認め、また選ぶ順序が異なるものは異なる選び方としてカウントするものとする。
このとき（１）「選び方はｎの（ｐ－１）乗通りである」。ｎはｐの倍数なので、ｎの（p－１）乗はｐの倍数である。
次にｐ個の元の選び方の中で、異なる複数の元を含む選び方を取り除いていく。（２）「異なる複数の元を含むような選び方は（ｐの倍数）通りである」。
あわせて、単一の元をｐ乗して単位元eにする方法は、０通りもしくは「ｐの倍数」通りのいずれかであることが得られた。eのｐ乗がeであることから、このような選び方は０通りではありえない。したがってｐを位数とする元が、最少でもｐ－１個存在することになり、位数ｐの元の存在が示された。
なお、証明中の（１）、（２）については（※55）で補足している。 ■
（定理14）
既約５次方程式f（ⅹ）＝０が実数解を3個もつとき、その最小分解体Ｌのガロア群Gは5次対称群S₅になる。
証明に用いる互換という用語については（※26）で述べている。また、（※56）では互換に関するいくつかの計算法則をまとめている。
証明） 証明の概要は以下のようになる。
→（１）「GにS₅の互換10個すべてが含まれていること」を示せばよい。
→（２）「Gに、5文字が２回ずつ出てくるような５個の互換が含まれていること」を示せばよい。
→（３）「Gに、１つの互換と位数５の元が含まれていること」を示せばよい。
証明の変型過程について補足する。なお以下の説明は、「а ｂ ｃ ｄ ｅ」にあてはめる数字を問わず成立する。
→（１）（※57）で述べるように、S₅の任意の元は互換の積によって表記できる。したがって全10個の互換からGは生成される。
（１）→（２）互換については（аｂ）（ｂｃ）（аｂ）＝（аｃ）という等式変型が可能である。したがって（аｂ）、（ｂｃ）、（ｃｄ）、（ｄｅ）、（аｅ）という5個の互換から残る５個の互換も得られる。
（２）→（３）互換を（аｂ）、位数５の元をｇとする。このとき（аｂ）、ｇ（аｂ）ｇ⁻¹、ｇ（аｂ）ｇ⁻²、ｇ（аｂ）ｇ⁻³，ｇ（аｂ）ｇ⁻⁴が（２）の条件をみたす５個の互換となる。 ■