（※47）整数の割り算ａ÷ｂ＝ｃ…ｄにおいてｂ>ｄ≧０をみたす余りｄが必ず存在する
ことが除法の原理として知られている。同様に多項式の割り算ｆ（X）÷ｇ（X）についてもdegｇ（x）>deg ｈ（X）≧０をみたす余りｈ（X）の存在が保証されている。
多項式の割り算を行う際には係数の四則演算を繰り返すことで「割られる式」の次数を下げていき、「割られる式」の次数が「割る式」の次数を下回ったところで計算は終了する。このことが除法の原理が成り立つ要因である。
これらの操作はQ上の多項式のみならず、任意の拡大体M上の多項式でも可能なので、除法の原理は任意の拡大体において成り立つ。
（※48）定理２の証明中の（１）、（２）に補足を加える。
（１）については以下のようにして分かる。а÷ｂ=ｃ…ｄのとき、ｄ=ａ－ｂｃが成り立つ。ａⅩ+ｂＹ=１…①が整数解をもてば、ｄＸ+ｂＹ=（а‐ｂｃ）Ｘ＋ｂＹ＝１…②も整数解をもつ。①式の解を（ｓ ｔ）としたとき、（ｓ ｔ＋ｃｓ）などが②式の解となる。
またｂとｄが互いに素でなければ、ｂとｂｃ＋ｄ＝аも互いに素でない。対偶にかえてаとｂが互いに素ならば、ｂとｄも互いに素である。
上記の理屈は、а～ｄが整数であっても多項式でもあっても変わらない。
（※49）原始元の存在（定理４）の証明にいくつか補足を加える。
代数的単拡大列をQ→M₁→M₂→M₃とする。（１）「２回の代数的単拡大をへて構成された体が単拡大体であること」がみたされていれば、M₂は単拡大体であり原始元が存在する。Q→M₂→M₃に注目して再び（１）を用いると、M₃が単拡大体であることが得られる。
α、β∈Q（α＋qβ）とするとα、βはいずれも（α＋ｑβ）形式で表記できる。したがって、Q(α β)のすべての元は（α＋ｑβ）形式で表記され、Q（α β）⊆Q（α＋ｑβ）が導かれる。同様にα＋ｑβ∈Q(α β)ならば、Q(α＋ｑβ)の元はいずれも（α β）形式で表記でき、Q（α β）⊇Q（α＋ｑβ）が得られる。
ｇ（α＋qβ X）、ｆ（α＋qβ－qX）がβ以外に共通解をもてば、Ｘ＝β’と（α＋qβ－qX）＝α’を合わせて（α＋qβ－qβ’）＝α’。すなわちq＝（α－α’）÷（β－β’）となる。したがってこの等式をみたさないようなｑを選べばよい。
（※50）定理３の証明では「θ形式で表記できる数の集合」が体になっていることを確認した。その証明をＱ（α）上のβ形式におきかえると以下のようになる。
まず、Ｑ（α）上のβ形式の集合が四則演算で閉じていることを確認する。以下、βのQ上最小多項式をｆ（α X）＝０とする。
Ｑ（α）上のβ形式2数の和・差がＱ（α）上のβ形式になることは明らか。
Ｑ（α）上のβ形式2数の積ｈ（α β）は、βの次数がＱ（α）上のβ形式の定義からオーバーしている可能性がある。その場合、ｈ（α X）をｆ（α X）で割って、deg ｆ（α X）>deg ｈ’（α X）をみたす余りｈ’（α X）を求める。ｈ（α β）=ｈ’（α β）より、ｈ’（α β）が2数の積に等しいＱ（α）上のβ形式である。
最後にＱ（α）上のβ形式2数ｇ（α β）、ｈ（α β）について、ｇ（α β）÷ｈ（α β）の商となるＱ（α）上のβ形式が存在することを確認する。証明は以下のように変形できる。
→（１）「Yを未知数とする不定方程式ｇ（α β）=ｈ（α β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。
→（２）「１=ｈ（α β）Yが解となるＱ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。
→（３）「Y、Zを未知数とする不定方程式１=ｆ（α β）Z+ｈ（α β）Yが解となる
Ｑ（α）上のβ形式をもつこと」を示せばよい。
→（４）「１=ｆ（X）Z+ｈ（X）Yが解となるＱ（α）上の式をもつこと」を示せばよい。
したがって証明は定理2’に帰着する。
（※51）２変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ ｘｙ」の2式である。また、３変数の基本対称式は「ｘ＋ｙ＋ｚ ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ ｘｙｚ」の３式である。次数１の「ｘ＋ｙとｘ＋ｙ＋ｚ」、次数２の「ｘｙとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｙ」がそれぞれ対応している。
（※52）ｆ＝ｘ³＋ｙ³＋ｚ³とする。ｘに０を代入し、ｆ’＝ｙ³＋ｚ³＝（ｙ＋ｚ）³－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）を得る。ｙ＋ｚとｘ＋ｙ＋ｚ、ｙｚとｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚがそれぞれ対応しているので、ｇ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）³－３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ）（x＋ｙ＋ｚ）である。
（※53）対称式の基本定理の証明では、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを仮定して、ｆが基本対称式化可能であることを示した。すなわちｆが基本対称式化可能であることを示すには、ｆ’、ｈが基本対称式化可能であることを示せばよいことになる。このように証明すべき式を変数もしくは次数の低い式に変えていき、最終的には変数１もしくは次数１の式に証明を帰着させるというのが二重帰納法の真意である。
（※54）ｘ⁻¹ｘ＝ｅからｘｘ⁻¹＝ｅを導こう。両辺に左からｘをかけるとｘｘ⁻¹ｘ＝ｘ、すなわち（ｘｘ⁻¹）ｘ＝ｘが得られ、ｘｘ⁻¹＝ｅが分かる。この逆元との可換性はコーシーの定理（定理18）の証明に用いることになる。
（※55）コーシーの定理の証明中の（１）、（２）について補足する。
位数ｎの群Gから重複を許してｐ－１個の元を選ぶ方法はｎのｐ－１乗通りである。これらについてそれぞれ逆元をかけるとeになることから（１）が分かる。
また、（※54）で述べた逆元との可換性をふまえると、ｐ個の元の積（123…ｐ）がeならば、これをスライドさせた（23…p１）、（34…ｐ12）…の積もeになることが分かる。またｐが素数なので、（123…ｐ）の中に異なる複数の元に含まれていれば、ｐ回のスライドで異なるｐ個の選び方が得られる。あわせて（２）が示された。
（※56）互換２個の積について以下のように分類する。
２個の互換が同一の互換であるとき、その積は単位元ｅになる…①。また２個の互換
に同一の数字が含まれていないとき、その積は可換である…②。２個の互換が共通の数字を１個含んでいる場合は、共通する数字を変えてから積の順序を反転させる操作で不変である…③。
上記①～③を等式化すると以下のようになる。
① （аｂ）（аｂ）＝単位元ｅ
② （ａｂ）（ｃｄ）＝（ｃｄ）（аｂ）
③ （аｂ）（ｂｃ）＝（ｂｃ）（аｃ）＝（аｃ）（аｂ）
特に③の変形は以降何度も引用することになる。