§1.6　ガロア対応

ガロア拡大体Lの体の構造と、そのガロア群Gの群の構造には密接なつながりがある。（※27）ではガロア群が３次対称群の場合について、最小分解体とガロア群の構造を例示している。

体と群のつながりについて記述するため、中間体、群の作用、固定群、固定体という用語を導入する。

まず、Q⊂M⊂LをみたすMをLの中間体という。

またガロア拡大体Lの原始元をθとするとき、Lの元はθ形式によって表記される。各元のθ形式中のθに、ガロア群Gの置換をほどこしていくことを「Gを作用する」と表現することにする。また、このGのある元の作用によってθ形式の値が変化しない場合を「不変に作用する」と表現することにする。

ガロア群Gの元のうち、中間体Mの任意の元に不変に作用する置換の集合をMの固定群という。またガロア群Gの部分群Hの全置換によって不変である数の集合をHの固定体という。

（※28）では、これらの用語とアーベルの既約定理（定理１）の関係について述べている。また、固定群が群の公理をみたしていることと、固定体が四則演算で閉じていることについては（※29）で確認している。

固定体と固定群については以下の定理が成り立つ。

（定理19　ガロア対応）

ガロア拡大体Lのガロア群をGとする。Lの中間体をM、Gの部分群をHとする。

このとき①「Mの固定群がHであること」と②「Hの固定体がMであること」は同値である。

この定理19はLの中間体とGの部分群に1対１の対応がつくことを保証している。

定理19は必ずしも自明な定理ではない（※30）。証明には以下の定理20、21の証明が必要になる。

（定理20）

ガロア拡大体Lとその中間体Mの拡大次数をそれぞれｌ、ｍとする。このとき、Mの固

定群の位数はｌ÷ｍになる。

　（定理21）

　ガロア拡大体Lの拡大次数をｌとし、そのガロア群をGとする。Gの部分群Hの位数をｈとするとき、Hの固定体となる中間体Mの拡大次数はｌ÷ｈである。

　定理20と定理21を前提とすると、定理19の証明は以下のようになる。

　まず①から②を導く。

　Mの固定群Hの固定体をM’としてM=M’を示そう。

　まず、定理20よりHの位数はｌ÷ｍである。次に定理21より、M’の拡大次数はｌ÷（ｌ÷ｍ）＝ｍである。したがってMとM’の拡大次数は等しい。

　またMの元はHの作用で不変であるのに対し、M’にはHの作用で不変なすべての元が含まれている。したがってM⊆M’。

　あわせてM＝M’が得られた。

　次に②から①を導く。

　Hの固定体Mの固定群をH’としてH＝H’を示そう。

　Mの拡大次数は定理21よりｌ÷ｈである。定理20よりH’の位数はｌ÷（ｌ÷ｈ）＝ｈである。したがってHとH’は位数が等しい。

　またHはMのすべての元に不変に作用するのに対し、H’にはMのすべての元に不変に作用する全置換が含まれている。したがってH⊆H’。

　あわせてH＝H’が得られた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

　（※31）では定理19の証明について、ガロア群が３次対称群の場合を実例とした解説をしている。

　また定理20と定理21の証明では、任意の中間体Mについて原始元が存在することを前提としている。この点については（※32）で示した。