（※21）（※20）ではQ上既約な式が重解をもたないことを確認したが、この命題は任意の拡大体Mについて成立する。
M上既約な式ｆ（α X）＝０が重解θをもつとする。θのQ上最小多項式ｇ（ｘ）はM上においてｆ（α X）で割り切れる。したがってｇ（X）＝０も重解θをもつことになるが、これは（※20）の結果に反する。
（ガロア群の位数）＝（拡大次数）という等式は、任意の代数的拡大で成り立つことになる。
（※22）（123…n）というn個の数字をシャッフルする方法はn！通りである。これらn！通りのシャッフルからなる群をn次対称群という。
対称群の演算についてはｆ・ｇ：(123…ｎ)→ｆ（ｇ（123…ｎ））と定義するのが一
般的である。この定義に従えば、ｆ・ｇの結果は、「ｇの置換を施した後をｆの置換を
施した結果」と一致する。しかし、本書では対称群の演算についても、ｆ・ｇの結果
と「ｆの置換を施した後ｇの置換を施した結果」が一致するよう定めている。
本書の定義に従うと、たとえばｆ：（123）→（132）、ｇ（123）→（231）とすると
き、ｆ・ｇ：（123）→（213）である。
いずれの順序で演算を定義してもｎ次対称群は群の公理をみたし群となるが、その
確認は読者に任せる。
（※23）まず、f（x）＝Ｘ⁵－６Ｘ＋３がQ上既約であることを確認する。
ｆ（ｘ）がＱ上既約でなければ、（１次式）×（4次式）もしくは（２次式）×（３次式）いずれかの分解が可能である。
ｆ（X）＝（X＋а）（X⁴＋ｂX³＋ｃX²＋ｄX＋e）とすると、а＝±１、±３のいず
れかになる。ｆ（X）＝０が±１、±３を解にもたないことから、この分解が不可能で
あることが分かる。
また、ｆ（X）＝（X²＋аX＋ｂ）（X³＋ｃX²＋ｄX＋e）と分解できたとする。このときｂ＝±１、±３のいずれかである。
ｂ＝±３とするとe＝±１。１次係数を比較して－６＝аe＋ｂｄよりа≡０（mod ３）。２次係数を比較して０＝аｄ＋eとなるが、この等式は成り立ちえない。
ｂ＝±１とするとe＝±３。上と同様にｃ、ｄ、e≡０（mod３）が導かれる。３次係数の比較から得られる０＝аｃ＋ｄ＋ｂが成り立たちえない。
あわせてｆ（X）がZ上――整数係数上――既約であることが得られた。次にZ上で既約な式はQ上既約でもあることを確認する。対偶にかえてQ上既約でなければZ上でも既約でないことを示そう。
Q上でf（X）＝ｇ（X）ｈ（X）と分解できたとする。ただしｇ（X）、ｈ（X）の各係数に含まれる分数は既約分数とする。
ｇ（ｘ）、ｈ（ｘ）の分母各数の最小公倍数をそれぞれｍ、ｎとする。このときｍｎ・ｆ（ｘ）＝{ｍ・ｇ（ｘ）}{ｎ・ｈ（ｘ）}はZ上の分解である。分数の既約性より{ｍ・g（ｘ）}の係数の中にはｍの倍数でない数が、{ｎ・ｈ（ｘ）}の係数の中にはｎの倍数でない数がそれぞれ含まれている。
このとき、ｆ（ｘ）が整係数の式ならば次の①、②が成り立つ。
① {ｍ・ｇ（ｘ）}の係数はすべてｎの倍数である。
② {ｎ・ｈ（ｘ）}の係数はすべてｍの倍数である。
以下①を示そう。①がみたされていなければ、{ｍ・ｇ（ｘ）}、{ｎ・ｈ（ｘ）} の双方の係数にｎの倍数でない数が含まれる。ｎの倍数でない数が係数となる最小の項の次数をそれぞれа₁次、a₂次とする。このとき、ｍｎ・ｆ（ｘ）のа₁＋а₂次係数はｎの倍数にならない。したがってｆ（ｘ）はZ上の式ではない。対偶にかえて、ｆ（X）がZ上の式ならば①はみたされている。②についても同様である。
したがって{ｍ・ｇ（X）}÷ｎも{ｎ・ｈ（X）}÷ｍもZ上の式である。
ｆ（ｘ）＝[{ｍ・ｇ（X）}÷ｎ][{ｎ・ｈ（X）}÷ｍ]より、Q上既約でないｆ（X）がZ上既約でないことが示された。
最後に、f（x）＝０の実数解が３個であることを確認する。
実数解が３個以上であることは、f（－2）＝－17、f（０）＝３、ｆ（１）＝－２、ｆ（２）＝23から分かる。またｆ（X）を微分したｆ’（X）＝ｘ⁴－6＝０の実数解はｘ＝
±⁴√６の2個である。したがって、ｆ（X）はｘ＝±⁴√６でのみ、傾きが０になる。
あわせてｆ（x）＝０の実数解は３個であることが得られた。
（※24）実数でない数を虚数といい、実数と虚数をあわせて複素数という。複素数а＋ｂi（а、bは実数 iは√‐1）に対し、а－ｂiをその複素共役という。
（※25）群Ｇに含まれる元の個数をＧの位数という。これに対し、Ｇの元ｇについてｇⁿ＝eをみたす最小のnをgの位数という。
（※26）対称群の元のうち、ｎ個の元のみをサイクルさせる置換をｎサイクルの元という。たとえば（12345）→（12453）は3、4、5の３数をサイクルさせているので３サイクルの元である。ｎサイクルの元については、サイクルさせるｎ個の数字のみを取り出して表記することもある。「（12345）→（12453）」＝（345）がこの表記法の一例である。
ｎサイクルの元のうち、特に２サイクルの元を互換とよぶ。
（※27）３次対称群Ｓ₃の部分群は、「Ｓ₃（位数６）、Ｈ₁（位数３）、Ｈ₂～Ｈ₄（位数２）、単位群e（位数１）」の計６個であることが知られている。ガロア拡大体ＬがＳ₃をガロア群とするとき、Q→Lの間には拡大次数２の中間体Ｍ₁、拡大次数３の中間体Ｍ₂～ Ｍ₄が存在する。QとS₃、Ｍ₁とH₁、Ｍ₂～Ｍ₄とＨ₂～Ｈ₄、Ｌとｅがそれぞれ対応している。
（※28）θのＱ上共役解をθ’とする。Ｑ上の２式ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）についてｆ（θ）
＝ｇ（θ）ならばｆ（θ’）＝ｇ（θ’）が成り立つ。したがってｆ（θ）＝ｆ（θ’）ならばｇ（θ）＝ｇ（θ’）も成り立つ。
このことからｆ（θ）、ｇ（θ）が見かけ上異なる式であっても等号が成り立てば、これらに不変に作用するガロア群の元は一致することが分かる。したがってＭの元の表記のしかたによらず、Ｍの固定群が一意に定まることが保証されていることになる。
（※29）固定群が群の公理をみたしていることを確認する。
まずh₁、ｈ₂∈Hからｈ₁ｈ₂∈Ｈを導こう。（A（ｈ₁（θ））＝A（θ）にアーベルの既約定理を適用してθ→ｈ₂（θ）を施すと、A（ｈ₁（ｈ₂（θ）））＝Ａ（ｈ₂（θ））。Ａ（ｈ₂（θ））＝Ａ（θ）とあわせてA（ｈ₁（ｈ₂（θ）））＝Ａ（θ）よりｈ₁ｈ₂∈Ｈが示された。Ｈは①「定められた演算で閉じている」。
②「単位元ｅ∈Ｈ」は明らか。
次にｈ∈Ｈからｈ⁻¹∈Ｈを導こう。（A（ｈ（θ））＝A（θ）にアーベルの既約定理
を適用してθ→ｈ⁻¹（θ）を施すとＡ（θ）＝Ａ（ｈ⁻¹（θ））が得られ、③「逆元
ｈ⁻¹∈Ｈ」 が分かる。
また④「結合法則をみたしている」のは、ガロア群Ｇの部分集合であることから問題ない。
次にＨの固定体Ｍが四則演算で閉じていることを確認する。
Ｍの任意の元а、ｂについて「а＋ｂ а－ｂ аｂ а÷ｂ」∈Ｍを示せばよい。たとえばа÷ｂ∈Mは以下のようにしてわかる。
Ａ（θ）÷Ｂ（θ）＝Ｃ（θ）…①とする。このときа、ｂ∈ＭよりＨの任意の元ｈについてＡ（ｈ（θ））＝Ａ（θ），Ｂ（ｈ（θ））＝Ｂ（θ）…②が成り立つ。
またＢ（θ）Ｃ（θ）＝Ａ（θ）にθ→ｈ（θ）の置換を施しＢ（ｈ（θ））Ｃ（ｈ（θ））
＝Ａ（ｈ（θ））より、Ａ（ｈ（θ））÷Ｂ（ｈ（θ））＝Ｃ（ｈ（θ））…③。①～③あわせてＣ（θ）＝Ｃ（ｈ（θ））が得られる。ＭにはＨの作用で不変なすべての元が含まれていることからＣ（θ）∈Ｍが示された。
（※30）ガロア対応が必ずしも自明な対応関係でないことを説明する。
部分群Ｈの固定体がＭであるとき、Ｍのすべての元にＨは不変に作用する。しかしＭのすべての元に不変に作用する置換がＨの元であるとは限らない。Ｈに含まれない元もＭのすべての元に不変に作用する可能性が考えられる。
また中間体Ｍの固定群がＨであるとき、Ｍのすべての元はＨの作用によって不変である。しかしＨの作用によって不変である元がＭの元であるとは限らない。Ｍに含まれない元もＨの作用で不変である可能性が考えられる。
定理19を示すにはこれらの可能性を否定する必要がある。