§2.1 アーベルの既約定理証明

§2.1　アーベルの既約定理証明

定理２、定理１の順に証明を述べる。

（定理２）

　f（x）、g(x)をQ上互いに素な２式とする。

　Ｙ、Ｚを未知数とする方程式f（x）Y＋g（ｘ）Ｚ＝1には、解となるQ上の式が存在する。

証明には多項式の割り算における除法の原理を用いる。この除法の原理については（※47）で解説している。

　証明）仮にｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数ならば証明は容易である。たとえば、ｇ（ｘ）を有理数аに置き換えたｆ（X）Y＋аZ＝１はY＝０、Z＝１／аという自明な解を持つ。

　以下、定理２の証明がｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着することを示そう。

次数についてdeg ｆ（X）≧deg　ｇ（X）として一般性を失わない。

　ｆ（X）とｇ（X）は互いに素という仮定によりｆ（X）をｇ（X）で割ると余りがでる。除法の原理によりdeg ｇ（X）≧deg ｈ（X）をみたす余りｈ（X）が存在する。

　このとき、（１）「定理２を示すにはｈ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ ＝１の解となるＱ上の式が存在することを示せばよい」。ここで（２）「ｈ（X）とｇ（X）は再び互いに素になる」。したがってｇ（X）をｈ（X）で割って、さらに次数の低い余りを取り、ｇ（X）と置き換える操作が可能である。

　以下、同様に繰り返していくと、やがて余りは有理数になる。したがって、定理２の証明はｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着した。　　　　

　なお、証明中の（１）、（２）については（※48）で補足を加えている。　　　　■

（定理１　アーベルの既約定理）

　θを代数的数とする。θを解にもつQ上方程式は、θの全Q上共役解を解にもつ。

証明）θのQ上最小多項式をｆ（X）とし、θを解にもつ任意のQ上方程式をｇ（X）とする。このときｆ（θ）＝０かつｇ（θ）＝０である。したがって不定方程式ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ＝１の解となるQ上の式は存在しない。

定理２を対偶にかえると、ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Z＝１が解をもたないとき、ｆ（X）とｇ（X）は互いに素でない。

あわせてｆ（X）とｇ（X）は互いに素でないことが得られる。仮定によりｆ（X）はQ上既約なので、ｇ（X）はｆ（X）で割り切れる。ｆ（X）＝０の解はいずれもｇ（X）＝０の解になることが示された。　　

（※41）～（※46）

（※41）５次交代群Ａ₅が群の公理をみたしていることを確認する。

　　まず①「定めれた演算で閉じている」ことは、偶数∔偶数が偶数であることから分かる。すなわち「偶数個の互換の積の形に表記された元」を掛け合わせると、その積もやはり偶数個の互換の積で表記されている。

　　次に、②「単位元が含まれている」ことは、任意の互換（аｂ）について（аｂ）²＝ｅが成り立つことから分かる。

　　また、（аｂ）（ｃｄ）の逆元は（ｃｄ）（аｂ）である。このように偶数個の互換の積についてその順序を反転させる操作で、偶数個の互換の積で表記された③「逆元」をえることができる。

Ａ₅が④「結合法則をみたしている」ことについては５次対称群Ｓ₅の部分集合であることから自明。

（※42）代数的拡大Ｓ→Ｌについて、その原始元がＳの元のｎ乗根（ⁿ√ｓ）であるとき、Ｓ→Ｌをべき根拡大という。クンマー拡大というほうが一般的なのかもしれないが、本書ではべき根拡大で統一する。

（※43）ｘⁿ－１＝０の解となる数を１のｎ乗根という。１のｎ乗根のうち、ｎ乗してはじめて１になる数を１の原始ｎ乗根という。

　　１のｎ乗根については、ド・モアブルの公式とよばれる以下の式が知られている。

　（Cosθ∔iSin θ）ⁿ＝Cosｎθ∔Sinｎθ…①

この①式にθ＝「360°／ｎ、720°／ｎ…」を代入すると１のｎ乗根が「Cos（360／ｎ）°∔iSin（ 360／ｎ）°　Cos（720／ｎ）°∔iSin （720／ｎ）°…Cos（360ｎ／ｎ）°∔iSin（ 360ｎ／ｎ）°」であることが分かる。

　たとえば１の３乗根は「Cos120°＋iSin 120°　Cos240°＋iSin 240°　Cos360°＋iSin360°＝１」の３数であり、このうち「Cos120°＋iSin 120°　Cos240°＋iSin 240°」が１の原始３乗根である。

（※44）ωを１の原始ｎ乗根とする。このときｘⁿ－１＝０の解は「ω　ω²　ω³…ωⁿ＝１」と表記され、いずれもQ（ω）の元である。ωのQ上共役解はこの中の一部であることからいずれもQ（ω）の元であり、Q→Q（ω）はガロア拡大である。

　　ガロア群の元はω→ωªの形をしており、ｆ：ω→ωª¹、ｇ：ω→ωª²とすると、ｆ・ｇ＝ｇ・ｆ＝ω→ωª¹⁺ª²が成り立ち、ガロア群は可換群である。

（※45）代数的拡大列Ｑ→Ｍ→Ｌについて、Ｍ、Ｌの原始元をそれぞれα、βとする。

　Ｍ→Ｌがべき根拡大であれば、βを解にもつM上の式ｘⁿ－ｆ（α）＝０が存在する。

　この式の解は１の原始ｎ乗根ωを用いて「β　βω　βω²…」と表記できる。アーベルの既約定理より、βのM上共役解はこのうちの一部である。したがってω∈Mならば、M→Lはガロア拡大である。

またべき根拡大がガロア拡大であるとき、ガロア群が可換群であることは以下のようにしてわかる。ガロア群の元は１の原始ｎ乗根を用いてβ→β・ωªの形をしている。ｆ：β→βωª¹、ｇ：β→βωª²とすると、ｆ・ｇ＝ｇ・ｆ：β→β・ωª¹⁺ª²が成り立ち、ガロア群は可換群である。

（※46）{ｎ次}べき根拡大について補足する。S→Lを{ｎ次}べき根拡大とすると、その原

始元βはS上の式ｘⁿ－ｆ（α）の解になる。しかしこの式がβのS上最小多項式であ

るかは定かでない。したがって、{ｎ次}べき根拡大の拡大次数は必ずしもｎ次であると

は限らない。{}を用いて{ｎ次}と表記したのはそのためである。

（※31）～（※40）

（※31）（※27）で述べたように、３次対称群Ｓ₃は位数２の部分群Ｈ₂～Ｈ₄をもつ。Ｈ₂～Ｈ₄の固定体をそれぞれＭ₂～Ｍ₄とする。定理21よりＭ₂～Ｍ₄の拡大次数はいずれも３である。ガロア対応によりＭ₂～Ｍ₄の各固定群はＨ₂～Ｈ₄である。固定群を異にしていることからＭ₂～Ｍ₄は異なる３つの体である。

　　次にＭ₂～Ｍ₄のほかに拡大次数３の中間体がないことを示そう。Ｍ₂～Ｍ₄のほかに拡大次数３の中間体Ｍ₅があると仮定する。このときＭ₅の固定群Ｈ₅の位数は２であり、その固定体はＭ₅である。Ｈ₅はＨ₂～Ｈ₄と固定体を異にしていることから、Ｈ₂～Ｈ₄とは異なる位数２の部分群である。

Ｍ₅が存在すれば、位数２の部分群が４個以上存在することになる。対偶にかえて位数２の部分群が３個のみであることから、Ｍ₅が存在しないことが導かれた。

（※32）代数的拡大体Ｌの原始元をθとする。Ｌの任意の中間体Ｍが代数的拡大体であることを示そう。

　　以下、背理法を用いる。Ｍが代数的拡大体でないと仮定する。このときＱに有限個の代数的数を付加してもＭは構成できない。したがってＱに「Ｍの元をくわえていく操作」を繰り返してもＭの中間体にしかならない。この操作を繰り返すことで、拡大次数ではＬを上回り、Ｍ’⊂ＭをみたすＭ’を構成できる。

Ｍ’（θ）＝Ｌが成り立てば、拡大次数の一意性（定理５）もしくは次元の積公式（定理６）が成り立たなくなる。したがって定理５、６の成立からＭが代数的拡大体であることが導かれる。

（※33）まず正規部分群について説明する。Ｇの部分群Ｈが、Ｇの任意の元ｇについてｇＨ＝ＨｇをみたすときＨをＧの正規部分群という。ｇＨとは、Ｈの元ｈを用いてｇｈの形で表記できる元の集合を意味しており、この集合をＨによる剰余類という。

ｇH＝Hｇという等式はｇＨとＨｇが集合として一致することを意味する。すなわちＧの任意の元ｇとＨの任意の元ｈについてｇｈ＝ｈ’ｇをみたすＨの元ｈ’が存在することになる。

　　またG⊃H₁⊃H₂⊃…Hｎ⊃eついて、「Ｈ₁がＧの　Ｈ₂がＨ₁の　Ｈ₃がＨ₂の…」正規部分群であるとき、この列を正規列という。

（※34）剰余類群について説明する前にラグランジュの定理を証明する。「群Ｇの位数をｎとする。Ｇの任意の部分群Ｈの位数ｍはｎの約数である」というのがラグランジュの定理である。証明するには、（１）「Ｇのすべての元を重複なくｍ個ずつに分類できること」を示せばよい。

　　まず、各剰余類には異なるｍ個の元が含まれている。このことはa≠ｂならばaｃ≠ｂｃであることから分かる。

　　次に、ｇ’∈ｇＨならばｇ’Ｈ＝ｇＨが成り立つことを確認する。ｇ’∈ｇＨよりｇ’＝ｇｈをみたすＨの元ｈが存在する。代入してｇ’Ｈ＝ｇｈＨ＝ｇＨが得られる。

　　したがってｇ’∈ｇ₁Ｈ、ｇ’∈ｇ₂Ｈならば、ｇ’H＝ｇ₁Ｈ＝ｇ₂Ｈである。各元の含まれる剰余類が唯一つに定まることが分かる。

また、ｇ∈ｇＨより任意のｇを含む剰余類が存在する。

　　あわせて（１）が示された。

　　上記をふまえて剰余類群について説明する。

剰余類Ｆ₁、Ｆ₂の積、Ｆ₁・Ｆ₂を以下のように定義する。

ｆ₁∈Ｆ₁、ｆ₂∈Ｆ₂をみたすｆ₁、ｆ₂を選び、ｆ₁・f₂の含まれる剰余類をＦ₁・Ｆ₂と定める。

ＨがＧの正規部分群ならば、ｆ₁、ｆ₂の選び方によらず、Ｆ₁・Ｆ₂は一意に定まる。

したがって剰余類の集合にこの演算を導入し、剰余類群をつくることができる。剰余類群が群の公理をみたしていることの確認については省略する。

（※35）Ｇの任意の元ｘ、ｙについてｘｙ＝ｙｘが成り立つとき、Ｇを可換群という。

（※36）群Ｇの位数をｎとする。Ｇに位数ｎの元が含まれるとき、Ｇを巡回群という

　巡回群の各元は生成元аを用いて「а　а²　а³…аⁿ＝ｅ」の形で表記される。したがって巡回群は可換群である。

　　一方で可換群が巡回群であるとは限らない。このことのみをふまえれば、本書のガロア群の定義は、一般のガロア群の定義よりも多くの群を含むように思われる。しかし実際にはどちらの定義でもガロア群となる群は一致することが知られており、２つの定義に実質的な差はない。

　　可解でない５次方程式の存在を示すうえでは、各剰余類群が可換群であることを条件とした方が好都合と考え、この定義にした。

（※37）ガロア拡大列Ｑ→Ｍ→Ｌとは、Ｑ→Ｍ、Ｍ→Ｌともにガロア拡大であることを意味している。

（※38）ガロア拡大体Ｌの原始元をθとし、その中間体をＭとする。（※８）で示したようにＭ（θ）＝Ｌが成り立つ。θはＭ→Ｌの原始元でもあり、Ｍ→Ｌのガロア群はθからそのＭ上共役解への置換の集合である。したがって、Ｌのガロア群の部分群がそのままＭ→Ｌのガロア群となる。

（※39）Ｌの原始元θのＱ上共役解を「θ＝θ₁　θ₂　θ₃…」とする。Ｌの元α＝Ａ（θ）について「Ａ（θ₁）　Ａ（θ₂）　Ａ（θ₃）…」をαの軌道という。またα＝Ａ（θ）に不変に作用する置換の集合をαの固定部分群という。

（※40）以下の（１）、（２）が同値であることを主張するのがガロアの主定理である。

（１）Ｑ上方程式ｆ（Ｘ）＝０の解の1つが根号を用いて表記可能である。

（２）ｆ（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群が可解群である。

　本書では（１）→（２）のみを示しており、定理28は正確にはガロアの主定理のうちの半分である。