§2.1　アーベルの既約定理証明

定理２、定理１の順に証明を述べる。

（定理２）

　f（x）、g(x)をQ上互いに素な２式とする。

　Ｙ、Ｚを未知数とする方程式f（x）Y＋g（ｘ）Ｚ＝1には、解となるQ上の式が存在する。

証明には多項式の割り算における除法の原理を用いる。この除法の原理については（※47）で解説している。

　証明）仮にｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数ならば証明は容易である。たとえば、ｇ（ｘ）を有理数аに置き換えたｆ（X）Y＋аZ＝１はY＝０、Z＝１／аという自明な解を持つ。

　以下、定理２の証明がｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着することを示そう。

次数についてdeg ｆ（X）≧deg　ｇ（X）として一般性を失わない。

　ｆ（X）とｇ（X）は互いに素という仮定によりｆ（X）をｇ（X）で割ると余りがでる。除法の原理によりdeg ｇ（X）≧deg ｈ（X）をみたす余りｈ（X）が存在する。

　このとき、（１）「定理２を示すにはｈ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ＝１の解となるＱ上の式が存在することを示せばよい」。ここで（２）「ｈ（X）とｇ（X）は再び互いに素になる」。したがってｇ（X）をｈ（X）で割って、さらに次数の低い余りを取り、ｇ（X）と置き換える操作が可能である。

　以下、同様に繰り返していくと、やがて余りは有理数になる。したがって、定理２の証明はｆ（X）、ｇ（X）の一方が有理数の場合に帰着した。　　　　

　なお、証明中の（１）、（２）については（※48）で補足を加えている。　　　　■

（定理１　アーベルの既約定理）

　θを代数的数とする。θを解にもつQ上方程式は、θの全Q上共役解を解にもつ。

証明）θのQ上最小多項式をｆ（X）とし、θを解にもつ任意のQ上方程式をｇ（X）とする。このときｆ（θ）＝０かつｇ（θ）＝０である。したがって不定方程式ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Ｚ＝１の解となるQ上の式は存在しない。

定理２を対偶にかえると、ｆ（X）Ｙ＋ｇ（X）Z＝１が解をもたないとき、ｆ（X）とｇ（X）は互いに素でない。

あわせてｆ（X）とｇ（X）は互いに素でないことが得られる。仮定によりｆ（X）はQ上既約なので、ｇ（X）はｆ（X）で割り切れる。ｆ（X）＝０の解はいずれもｇ（X）＝０の解になることが示された。　　