§1.5 最小分解体
ｆ（ｘ）＝０の解をすべて含む最小の体をｆ（X）＝０の最小分解体という。
Lにｆ（ｘ）＝０の解がすべて含まれており、Q→Lの間にｆ（X）＝０の解のみを原始元とする体の拡大列が存在すれば、Lはｆ（X）＝０の最小分解体である。
以下、L’をｆ（X）＝０の最小分解体としてL＝L’を示そう。Lにはｆ（ｘ）＝０の解をすべて含んでいるのでL⊇L’。またLの元は有理数とｆ（ｘ）＝０の解の四則演算の結果になりうるのでL⊆L’。あわせてL＝L’が得られた。
この最小分解体に関する十分条件は、ガロアの主定理（§1.8）の証明で用いることになる。
さて本節では、最小分解体に関する以下の定理14の証明を俯瞰する。
（定理14）
既約５次方程式f（ⅹ）＝０が実数解を3個もつとき、その最小分解体Ｌのガロア群は5次対称群S₅になる。
n次対称群については（※22）で補足している。また、定理14の条件をみたすf（x）＝０の例としては、ｘ⁵－６ｘ＋３＝０が挙げられる。この点については（※23）で確認している。
さて定理14ではf（x）＝０の最小分解体がガロア拡大体であることを前提としている。まずこの点がみたされていることを確認しよう。
（定理15）
有理数係数f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌはガロア拡大体である。
定理15の証明では、ガロア拡大体の十分条件（定理８）を用いて、原始元θの全Q上共役解がＬに含まれていることを確認する。
次に、n次方程式の最小分解体については以下の定理が成り立つ。
（定理16）
有理数係数n次方程式f（Ｘ）＝０の最小分解体Ｌのガロア群は、n次対称群の部分群と同型である。
ただし対称群の演算については、ｆとｇの積をｆ・ｇ：（123…ｎ）→「（123…ｎ）にｆの置換を施した後、ｇの置換を施した結果」と定義する。
なお、「～群の部分群」という用語には「～群」自身も含まれているので注意されたい。定理16からは、５次方程式f（X）＝０の最小分解体Lのガロア群が5次対称群の部分群であることが導かれる。
定理15、定理16を前提としたうえで、定理14の証明にはさらに以下の２つの定理が必要になる。
（定理17）
有理数係数f（Ｘ）＝０が複素数θを解にもつとき、その複素共役θ’も解になる。
（定理18 コーシーの定理）
群Ｇの位数をnとし、その任意の素因数をpとする。このときGには位数pの元が含まれている。
定理17にある複素共役については（※24）で補足している。また定理18では、位数という用語を２通りの意味で用いている。２つの用法の区別については（※25）で説明している。
5次方程式ｆ（X）＝０が実数解を３個もつとき、残る２解は虚数解である。したがって、その最小分解体の原始元θは虚数になる。θの複素共役をθ’とすると、定理17よりθ’はθのQ上共役解である。
このとき有理数係数の式ｇ（ｘ）について、ｇ（θ）とｇ（θ’）は複素共役関係になる(定理17証明参照)。したがって虚数を表記するθ形式は、θ→θ’の置換で複素共役へ変わり、実数を表記するθ形式はθ→θ’の置換で不変である。θ→θ’によりｆ（ｘ）＝０の５解のうち虚数２解のみ入れ替わることになる。
ｎ次対称群の元のなかで、２個の数字のみ入れ替える置換を互換という（※26）。定理17からはＬのガロア群の中に互換が含まれていることが導かれる。
一方、ｆ（ｘ）＝０の解の一つをαとすると、ｆ（ｘ）の既約性よりQ→Q（α）の拡大次数は５である。次元の積公式から、Lの拡大次数が５の倍数であることが導かれる。したがってコーシーの定理より、Lのガロア群には位数５の元が含まれる。
定理14の証明では、１つの互換と位数５の元の存在から、Lのガロア群がＳ₅であることを導くことになる。
なお、本節で紹介した定理15、定理16は方程式の既約性の如何をとわず成立する。ガロアの主定理（§1.8）の証明では、定理15をQ上可約な方程式について用いることになるので留意されたい。