§1.2 単拡大体
単拡大体Q（θ）とは有理数体Qに１つの数θを付加した体をさしている。Q（θ）には有理数とθの四則演算の結果になりうるすべての数が含まれている。
θを代数的数とし、そのQ上最小多項式の次数をnとする。このとき「１ θ θ² θ³…θⁿ⁻¹」の各数に有理数をかけて足し合わせた式をθ形式とよぶことにする。（※５）でθ形式の実例を挙げている。
このθ形式に関しては以下の定理３が成り立つ。
（定理３）
「θ形式で表記できる数の集合」は体になっており、Q（θ）とは同一の集合である。
また、Q（θ）の元のθ形式による表記は一意に定まる。
この定理３の証明にも、定理２が用いられる。
さて、Ｑに有限個の代数的数を加えた拡大体を代数的拡大体という。（※６）では代数的拡大体と代数体の違いについて補足している。代数的拡大体については以下の定理４が成り立つ。
（定理４ 原始元の存在）
代数的拡大体は単拡大体である。
複数個の代数的数をくわえて作った拡大体も、実は１個の代数的数の付加によって構成できるというのが定理４の主張である。この１個の代数的数を原始元という。
定理４の証明では、この原始元の存在を示すことになる。第２章で述べる証明から分かるように、各拡大体について原始元は一意に定まらない（※７）。
代数的拡大体Ｌの原始元をθとすると、定理３によりＬの元はθ形式によって一意的に表記される。θ形式の項数――θのＱ上最小多項式の次数と一致する――をＬの拡大次数という。
拡大次数については、以下の定理５が成り立つ。
（定理５ 拡大次数の一意性）
原始元の選び方によらず、代数的拡大体Ｌの拡大次数は一意に定まる。
この定理５の証明からは、次の定理６の成立も導かれる。
（定理６ 次元の積公式）
Q→M→Lを代数的拡大列とする。Q→Mの拡大次数をｍ、M→Lの拡大次数をｎとするとき、Q→Lの拡大次数はｍｎである（※８）。