第1章 証明俯瞰
§1.1 アーベルの既約定理
代数的数とは、有理数係数の方程式（Q上方程式）の解になりうる数をさしている。θが代数的数ならば、θを解にもつQ上方程式が存在する。その中で、最も次数が低い式をθのQ上最小多項式という。代数的数θのQ上最小多項式はQ上既約な式であり、定数倍を除いて一意に定まる（第３章※１参照）。
また、θのQ上最小多項式の解になる数をθのQ上共役解という。
これらの用語に関連して、以下の定理が成り立つ。
（定理１ アーベルの既約定理）
θを代数的数とする。θを解にもつQ上方程式は、θの全Q上共役解を解にもつ。
この定理には以下のような応用がある。
有理数係数の２式ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）についてｆ（θ）＝ｇ（θ）が成り立つとする。このときθの任意のQ上共役解θ’について、f（θ’）＝g（θ’）も成り立つ（※２）。したがって、f（θ）＝g(θ)をｆ（θ’）＝ｇ（θ’）と書き換えることが可能である。以降、この手法を度々用いることになる。
アーベルの既約定理の証明には以下の定理が必要になる。
（定理２）
f（x）、g(x)をQ上互いに素な２式とする（※３）。
Ｙ、Ｚを未知数とする方程式f（x）Y＋g（ｘ）Ｚ＝1には、解となるQ上の式が存在する。
互いに素な整数а、bについて、不定方程式аＸ＋bＹ＝１が整数解を持つことが知られているが、定理２はその多項式版にあたる。
この定理１と定理２は、有理数体のみならず、一般の拡大体においても成立する（※４）。
（定理１’）
θを代数的数とし、Ｌを任意の拡大体とする。θを解にもつＬ上方程式は、θの全Ｌ上共役解を解にもつ。
（定理２’）
Ｌを任意の拡大体としf（x）、g(x)をＬ上互いに素な２式とする。
Ｙ、Ｚを未知数とする方程式f（x）Y＋g（ｘ）Ｚ＝1には、解となるＬ上の式が存在する。