極限2:直接収束値を求める。

昨日に続けて、極限の話をしたいと思います。

今回は２例挙げたいと思います。

まず、１例目は単位円（半径１の円）の円周が

2πであることを極限で示したいと思います。

まず、考えるのが円周の長さを正n角形の

長さに近似し、n個の三角形を考えます。

このとき１辺の長さは、中心の角度αをもちいて

以下のようになり、n→∞のとき2*πになります。








２例目はロピタルの定理とよばれ、

微分して収束したら、元の値もその収束値に

収束します。ただし、証明は大学で習うため

検算程度に使ってください。








では、御機嫌よう。

極限１：比較判定法（挟み撃ちの原理）

皆さん、こんにちは。

今回は極限について、常套手段である比較判定法

（挟み撃ちの原理）についてお話します。

上に発散と収束の例を示しました。



いずれも代表的な例です。

ちなみに(1/n)のp乗の和はp>=1のとき

発散し0<p<1のとき収束することが知られています。



sinx/x→1（x→0）の場合も同じ比較判定法

で分かります。

ちなみに、ロピタルの定理でsinx/x→1を

証明するのは無意味です。

なぜなら微分の根拠となるのが上式だから

です。



それでは、また。御機嫌よう。

円錐の体積の不思議～1/3の純情な感情～

小学校６年頃不思議に思っていた疑問。

円錐（または四角錘）の体積は

円柱（または直方体）の体積の1/3になる。

これをまさか、高校３年でやるとは思ってませんでした。

証明は上に示したとおりですが、

まさか、積分で分かるとは。。。



それでは、また御機嫌よう。

オイラーの式と三角関数

皆さんご存知の平均値の定理ですが、

これを用いると(2)式に示したテイラー展開

と呼ばれる非常にパワフルなツールが証明されます。

例えば、以下に示すeと三角関数の関係が示されます。






実は複素平面幾何は数学的に

eと結びついているんですね。



では、また御機嫌よう。

数式の問題

一般的な数列の計算をUPしました。

宜しければどうぞご利用ください。

数の不思議～数の集合～

1,2,3,5,8,...

よく見かける数列フィボナッチ数列ですね。

では、一般的にはどう表されるかやってみると

なかなか大変で特性方程式でまず引いてから

変形するパターンですね。

そして解くと複雑な解になってしまいます。

ともかく、数とは不思議なものですね。

ちなみに、１次式を使うパターンは後ほど

アップします。

うっかり

まだ慣れていなくて、画像を間違えてしまいました。再アップします。

では、御機嫌よう。

自然界と数学の不思議な関係～オイラーの定理～

みなさんお久しぶりです。

今回は不思議な定理を話そうと思います。

オイラーの定理というのですが、

自身を掛けると-1になる虚数と

e,そして円周率πが密接に絡んでいて、

しかも結果が実数となるのは不思議ですね。

まあ、解説すると実数軸の1から虚数軸をこえ

実数軸の-1になるといったところでしょうか。

詳しくは吉田武著の「オイラーの贈り物」

を読んでみてください。

きっと、世界が変わると思います。

（－１）×（－１）＝１の不思議

２週間ぶりのご無沙汰です。
さて、最初の話題は何にしようか考えました。
そして、中学のときに習ったマイナスかけるマイナスは
プラスになることが本質的にわかったときの衝撃を
皆さんと共有したいと思います。
証明は上の画像に示したとおりですが、
要点は
１．ゼロの概念＋１と反対の数（－１）を
足すとゼロになる。
２．１に何をかけても自身の数
３．分配法則a(b+c)=ab+ac
が成立することです。
詳しくはアーベル群を調べてください。
では、またごきげんよう。

初ブログです。

初めてブログを書きます。
なれないことが多くて、
戸惑っていますが数学の
知識について少し書こうと
思います。
宜しくお願い申し上げます。