e^(ix)の魅力～ようやく復活しました～

　皆さん、ご心配かけましてすみません。

なんとか回復してブログがかける状態に

なりました。やった～。

　それはさておき私が考えられる高校数学を

お話しするのも最後になりました。

今回はe（ネイピア数）が強力なツールである

ことをお示ししたいと思います。

cosを実部、sinを虚部とみるとすっきり

式が求められますね。

　では、また御機嫌よう。

ベクトルの驚異II：回転行列による変換(今回で一区切り)

今回は実際に回転させてグラフをプロットすることをお話したいと思います。

この楕円を図示すると


ところで、

とすると、u-v空間では放物線になるとは、不思議ですね。


毎日更新してきましたが、ネタが尽きましたので、
今回を機に隔週更新にしようと思います。

また、こんなことが分からないと思うことがあれば、
なんでもおっしゃってください。

では、また御機嫌よう。

ベクトルの驚異：回転行列、円錐面

こんにちは今回はグラフ表示する上で重要なベクトルについて、
お話したいと思います。
周知のとおり、斜交座標、内分点、外分点、内積での射影、外積など様々な
ことができる強力なツールです。
今回は回転行列をもちいたベクトルの回転についてお話したいと思います。


あと、つまらないことですが極座標z=θで表される円錘面を様々な面で切ると放物線、双曲線、楕円、円が
不思議なことに現れます。


それでは、また御機嫌よう。

階差数列について

今回は等差数列と等比数列が混合した階差数列に
関してお話したいと思います。
証明は等比数列と同じ手法を用います。


一般的に、一般項を求める方法として
(i)教科書の方法を用いる。
(ii)特性方程式を用いる。
(iii)何項か求めてみて、一般項を予測し
数学的帰納法で求めます。
以上の３つがあります。

それでは、御機嫌よう。

ぐるぐる～：極座標と媒介変数表示

今回は極座標r=tの螺旋状のグラフを考えます。

これをr=0から、r=2πに関して



このときの曲線の長さは


こうみると、三角関数と双曲線関数は密接につながっているんですね。

では、御機嫌よう。

少し息抜きに。

少し、息抜きにきれいな曲線を描いてみました。
x=a*cos^3t, y=a*sin^3tのグラフですが、漫画に出てくるぴか～の様で
面白いですね。


それでは、また御機嫌よう。

sin ～その先にあるもの～part 2/2:双曲線関数

こんにちは。今回は双曲線関数と呼ばれる関数
についてお話したいと思います。
この関数は非常に三角関数とよく似た性質を持っています。
まず、どんな関数かをy=cosh(x)を例に述べたいと思います。
y=cosh(x)は懸垂線（カテナリー）とよばれ、y=x^2+1とx=0近傍では
似た挙動を示します。

詳しく説明しますと


少し難しかったですね。
でも、これらを理解できれば
きっと役に立つと思います。

それでは、皆さんの幸運を信じて。
御機嫌よう。

sin～その先にあるものは～ part1/2

こんにちは。今回は三角関数に関してお話しようと思います。
周知のとおり、正弦定理、余弦定理が基礎にあり、
そこから加法定理、和と積の定理などが派生していることを
知っておくべきだと思います。詳しくはお手持ちの教科書や
「オイラーの贈物」を参照してください。
（数学は暗記で解ける学問ではありませんが、加法定理は覚えていても損はありません）
やはり、イメージが大切でしょう。例えば私は単位円(半径1の円)を思い浮かべて、x=cost, y=sint
としてsin(π/2-t)=cos(t)を覚えていました。

前置きが長くなりましたが、最後に１つ面白いことをお話します。余弦定理をベクトルで書くと、




となります。なにかすっきりしますね。
次に、三角関数の関数論をお話したいと思います




高校生時代はなんでsinなどに置き換えるといいか分かりませんでしたが、
上の式を見ると納得ですね。

次回はsinのpart2をお話したいと思います。

それでは、御機嫌よう。

極限：十分条件と必要条件

こんにちは。
今回は、一般項anが∞で収束するからといって、
その和Snが収束しない例をお示ししました。
これに限らず、必要条件と十分条件の
両方を数学では証明する必要があります。

では、また御機嫌よう。

積分比較法：オイラーの定理

皆さんこんにちは。
前回はΣ(1/n)は極限で発散することを示しましたが、
今回はlogと組み合わせると収束することを示したいと思います。
まず、積分の定義を用いて長方形の和で近似します。
すると、１と０の狭間で収束しそうなことが分かります。
そこでSnを調べると単調減少し収束する。
こんな流れでオイラー定数γは導き出されます。
しかし、オイラー定数γ、円周率π、ネイピア数eは、
有理数なのか無理数なのか良く分からないそうです。

少し長かったですね。
それでは、御機嫌よう。