極座標と極形式のうち極座標に焦点を絞った内容の動画編です。
動画シリーズの再生リストは極座標でr<0を考えるメリットにあります。
もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。
今回は、双曲線の極方程式と概形の書き方をテーマにr<0を考えるメリットを↓で紹介しています。
前半は、r<0に拡張して、双曲線の一方を仮想曲線化することで、二つに分かれた極方程式を一つにまとめることが可能となり、その結果すべての2次曲線が一つの式にまとまることをやっています。後半は双曲線を極方程式から仮想曲線を描き実体化することで描くことができる様子を見せています。
離心率とか楕円とか放物線とか詳細に触れるとテーマがぶれそうだったので、双曲線のみに絞り、本筋を掴んでもらうことを優先した内容にしたつもりです。
本動画のダイジェスト
最初に前回動画でいただいたご指摘によって訂正をさせていただきました。
仮想点と実体点の相互関係を(r,θ)＝(-r, θ+π)で表すと意味がおかしくなるので、相互変換というイメージで(r,θ)→(-r, θ+π)に今後は統一させていただきます（これも適切かは微妙ですが。。。）。
貴重なコメント本当にありがとうございました。心より感謝しております。
その後2次曲線の極を焦点とする極方程式を準線の左右に分けて計算し、
r<0が準線の右側の曲線を仮想曲線化したものなので、それを利用すれば極方程式を一つにまとめられることを述べ、
【補足】動画なので、初見ではくどくない方が理解しやすいだろうと判断して、(r_3,θ_3+π)=(r_2,θ_2)とおいて説明してあります。
僕自身最初にこれについて考えていたときは、(r_3,θ_3+π)=(r,θ)とおいて、式変形した結果が上から二番目の(r_2,θ_2)の関係式と一致しているからこう考えて問題ないはずだ、と納得した記憶があります。添字が定数にみえて気になる方は、最初は(r,θ)とおいて変数を強く意識して軌跡を求めるのとき同じような感覚で考えた方がわかりやすいかもしれません。
θの変域を実数全体にすると良いのもこういう変形が自在にできることにあります。例えば0≦θ≦2πに絞ると変換過程ですぐにこの変域からはみ出してしまいます。
（ここは普通は(-r,θ+π)が同じ点を表すからの一言で片付けられがちですが、昔「問題はとりあえず解けるし、わかったような気もするがどうも芯をとらえた理解に届いていないような。。」と感じていました。自分自身に対して「多分こういうことなんだろう」と納得させるために、色々試行錯誤した結果仮想点を持ち出すことが一番スッキリした理解に繋がりそうだと思い、そのときにまとめた内容のうち細かいところをバッサリカットしたものを動画にしています。
本当はr_1,r_2どちらにもまとめられるることにそのとき気付き、ここを広げることも面白い(入試には全く役に立たないと思いますが、負の動径を用いて仮想楕円なんかも考えられます。もう少し踏み込んだ本音を書かせてもらうと、高校生にわかりやすいように、あくまで「高校で習うものを」実体点と定義しましたが、真面目な話、そもそもどっちが実体点でどっちが仮想点かも本質的には決められないというのがおそらく数学の人にとっては正しい感覚なんじゃないかなぁ？などと思っています。)のですが、本筋からそれて無駄に長くなりそうなのでバッサリカットし、本動画シリーズではよく知られているr_1の方を採用しました。
極座標は同じ点をいろんな表現が可能なので、同じ曲線を複数の極方程式で表せるんですよね。。。)
その後に、2次曲線全体と離心率の関係に軽く触れ、2次曲線全体の極方程式がまとまることをメリットとしています。
以降は双曲線の具体例用いて概形の描き方についてやっています。
まず変域について復習し
r>0となる偏角領域と漸近線方向の様子(漸近線方向は軽く触れただけ)
r<0の変域領域について同様に処理し
【補足】いろんな偏角で動径を求めた方が良いのですが、スペースの都合でバッサリカットしました。いろんな偏角で動径(特に負の動径)を求めてみると、良い練習になり、本質を掴む助けになるはずです。一度いいので、是非挑戦してみてください！
最後に仮想曲線を実体曲線に変換して、偏角を実数全体に拡張して
双曲線を繰り返し描いている様子を映像にしています。
最後にこれからやろうと思っている内容に軽く触れて終わります。
しばらく休んでいる間に、今後の動画の構想を練っていたのですが、そのとき「話を中点のみに絞れば高校課程の範囲外の極座標のベクトルを避けられるジャン！」とやっと気づけたので、少し方針を変更してまとめるつもりです。
お時間ある方は是非一度ご覧になってください。
結構面倒なので忙しいとなかなかやる時間と気力がないのですが、やっと再開できました。今後もそんなに動画を作る余裕がないので、のんびり更新になるかと思いますが、やれる範囲で続けていくつもりです（実は動画の下書きはもう10回分くらいできているのですが、とにかく解説録画が緊張するのと編集が面倒で。。。）。なんとなくですが、逆像とこっちを交互くらいにやろうかな？なんて考えています。
一応組み立ては、自分の頭で組み立てたものばかりなので、おそらくオリジナルの（多分ですが。。。）役に立ちそうな動画ネタのつもりですが、所詮僕が思いつく程度のことは、他の方がやっている可能性もあります。被った際はご容赦ください。それでも結構ネタはあるのに、仕事と動画制作の掛け持ちはなかなか大変ですね。
YouTubeにいただくコメントは全て励みになっています。前期試験直前にもう少し早く見つけていればと言うコメントを見て、「なんとか必要としている人にだけでも、すっと見つかりやすくできないものか。。。」とは思うのですが、何をすれば良いものか？あまり面倒ではない良い方法ないものでしょうか？？
今までコメントいただいた全ての方に感謝しています。ありがとうございました。続きの動画を気長にお待ちください。
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