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「極方程式の正しい定義」(検証報告用ページ)4/20更新

極座標と極形式のうち極座標に焦点を絞った内容の動画編です。

動画シリーズの再生リストは極座標でr<0を考えるメリットにあります。

もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。

【重要なお知らせ】

本動画シリーズでは、極方程式の定義(高校生用)を以下の通りとして、r, θ は特異な条件を除き、実数全体を動けるという前提で制作しました。

「極座標 (r, θ) において、r と θ の間に r = f(θ) または f(r, θ) = 0 という関係式が成り立つとき、点 (r, θ) の集合は一般に一つの曲線となる。この関係式を、この曲線の極方程式という。」

動画制作時、極座標、極方程式の大学の座標幾何における数学として正しい定義を十分に認識していなかったため、厳密に考えると誤解を招く可能性のある表現が含まれているかもしれません。現時点では、r, θ が実数全体を動くという前提自体に問題はないと考えていますが、「r,θの定義域を適切に制限せずに極方程式を扱うと、役に立たない極方程式を切り捨てられない可能性がありそう」です。以下の調べたい内容のまとめに具体例を示しておきました。

また、「一つの曲線に対して複数の極方程式が対応する」場合が多々あります。そのため、実際の問題を扱う際には、「r と θ に適切な変域を設定し、一つの曲線に対して一つの極方程式が対応するように意識する」ことが非常に重要です。

上記の内容を念頭に置いて、動画をご視聴ください。

また、極座標と極形式も同じ認識で書いたブログですので、動画と同様厳密に考えると誤解を招く可能性のある表現が含まれているかもしれません。その点を踏まえブログをご覧ください。

以降に、コメント欄で教えていただいた内容や僕自身の検証の過程などを、今後学ぶ方の参考になるように全て残しておきます。記事の内容の性質上、どうしても大学の内容が含まれるので、高校生のみなさんは、全部を理解しようとしなくても大丈夫です。もし将来、数学や物理の道に進みたいと考えていて、内容に興味を持てる部分があれば、ぜひ参考にしてみてください。(以前本ページに載せていた引用部分は調査アーカイブの方に移しました)。（4/2更新）

とりあえず洋書や海外のサイト含め色々調べたのですが、極に対する厳格な極方程式の扱い方は見つからないので、「極方程式を"〇〇（図形の名前）の極方程式"と統一」「(x,y)=(rcosθ,rsinθ)を軸にする」「θr平面を導入して、問題の残る可能性までを含めて明確に映像化できるようにする」の3点を主に変更して、1から作り直すことにしました。Goodnoteのバグが治り次第、生配信をハサミながらゆったりとやる予定です(4/11更新)。Goodnoteのバグは治りましたが、仕事が少し忙しくなったので、やれる時間できたらやるので、少し時間かかりそうです。（4/20更新）

YouTubeコメント欄にいただいた内容の転載

↑は僕が簡単にまとめたため、コメント欄のJohn Smithさんの意図が不正確に伝わる可能性があります。なので、以下に、自分の認識不足に気づくきっかけとなった動画のコメント欄の内容を読みやすいように挨拶を省いて転載しておきます。

【いただいたコメント】

今の高校では写像を教えないのが致命的ですが，数学としては，極方程式とは極座標変換の定義域を与える方程式のこと，極方程式の表す図形とはその像のことであり，今の教科書で扱う概念で述べるなら，図形の媒介変数表示における媒介変数が満たす条件が極方程式ですね．

【↑に対する僕の返信】

極座標変換の定義域を与える方程式を極方程式というのですね。浅学で知りませんでした。時間のある時に勉強して、理解できたと思えたら改めて返信いたします。

高校数学における定義だと認識していたものを以下に転記します。

* 方程式: 式中の文字に特定の数値を代入したときのみ成立する等式を、それらの文字に関する方程式という。

* 極方程式: 極座標(r,θ)において、rとθの間に r=f(θ)またはf(r,θ)=0 という関係式が成り立つとき、点(r,θ)の集合は一般に一つの曲線となる。この関係式をこの曲線の極方程式という。

上記を踏まえ、直線の方程式などから以下ように解釈しても高校数学においては問題ないと捉えていました。

* xy平面における曲線の方程式: 直交座標(x,y)において、xとyの間に y=f(x)またはf(x,y)=0 という関係式が成り立つとき、点(x,y)の集合は一般に一つの曲線となる。この関係式をこの曲線の方程式という。

一度しっかりと勉強し、問題がないか検証してみます。

【↑に対する返信】

数学としての定義を述べるなら，２次元実数空間Ｘから２次元実数空間Ｙへの極座標変換とは，（ｒ，θ）∈Ｘに（ｒcosθ，ｒsinθ）∈Ｙを対応させる写像のことで，それをＦとおくとき，（ｘ，ｙ）∈Ｙの極座標とは，Ｆ（（ｒ，θ））＝（ｘ，ｙ）を満たす（ｒ，θ）∈Ｘのことです．よって，（ｘ，ｙ）の極座標は一意ではなく，座標の成分についての距離，角度といった意味付けは，極座標変換の定義域を相応に制限した場合の話ですね．

＞ * xy平面における曲線の方程式:

＞ * 極方程式:

確かに，直交座標の方程式の表す図形はその方程式の解集合ですが，極（座標の）方程式の表す図形はその方程式の解集合の極座標変換による像です．よって，ひとつの図形を表す直交座標の方程式はすべて同値ですが，その図形が極座標変換の像（値域）となる定義域は一意とは限らないので，それを解集合とする極方程式も同値とは限りません．

例えば，同値ではないｒ（cosθ＋１）＝１とｒ（cosθ－１）＝１の解集合は異なりますが，極座標変換の像（各極方程式の表す図形）は同じ放物線です．実際，像の定義により，複合同順で次が成り立ちます．

（ｘ，ｙ）∈その像

⇔∃ｒ∃θ（ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ（cosθ±１）＝１）

⇔∃ｒ∃θ（ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ＝±（１－ｘ））

⇔∃θ（ｘ＝±（１－ｘ）cosθ∧ｙ＝±（１－ｘ）sinθ）

⇔ｘ^２＋ｙ^２＝（１－ｘ）^２ ⇔ｙ^２＝１－２ｘ

【↑に対する返信】

自分の理解が正確かはわかりませんが、「ひとつの図形を表す直交座標の方程式はすべて同値ですが、その図形が極座標変換の像（値域）となる定義域は一意とは限らないので、それを解集合とする極方程式も同値とは限りません。」という部分は、 2次元実数空間をR^2と略記して

(r,θ)∈R^2,(x,y)∈R^2において

X={(r,θ)|f(r,θ)=0⊆R^2}

Y={(x,y)| g(x,y)=0⊆R^2}

Xの各要素一つに対してYの要素を1つ対応させる極座標変換Fを「x=r cosθ,y=r sinθ」とすると、「極座標変換Fの定義域Xを与える方程式f(r,θ)=0を極方程式という」が、g(x,y)=0の解集合を表す図形は一意だが、同じ図形を表すf(r,θ)=0の解集合とする極方程式は一意ではないため、ここで同値性が崩れていることが重大な問題を含んでいるとのご指摘いただいたのだと思います。

すると、数学的に厳密な極方程式は、「曲線と一意に対応するようにr,θの範囲を制限した」f(r,θ)=0と定義すべきであり、動画の内容は根本的な訂正が必要になります。

いずれにせよ、極方程式の定義を前回のコメントのように捉えていたため、「極方程式の変域をざっくり捉えて、何重にも描いているという風に理解していれば、それぞれ各問題ごとに処理しやすいようにr,θの範囲を処理前に適当に絞って解けば大丈夫だろう」くらいに甘く考えていました。

色々な文献で「極方程式をどう定義してるか」を再度調べ直して、整合性を検証しておきます。

【↑に対する返信】

＞ここで同値性が崩れていることが重大な問題を含んでいる

わけではなく，極座標や極方程式が一意でないことは，ｘ^2の原始関数が一意でない，cosθ＝１を満たす実数θが一意でない，といったことと同じく基本的な性質です．

極座標や極方程式はそうした自由度を持った概念であり（例えば，ｆ（ｒ，θ＋２ｎπ）＝０，ｆ（－ｒ，θ＋π＋２ｎπ）＝０（ｎ∈Ｚ）はすべて同じ図形の極方程式），何らかの目的でｒ＞０，０≦θ＜２πのように制限を与えると一意になりますが，原点の極座標や原点を含む図形の極方程式はｒ，θの範囲をどのように制限しても一意にはなりません．

【↑に対する返信】

原点を通る極方程式r=2cosθを直交座標の方程式x^2-2x+y^2=0から求めるとき、r=0またはr=2cosθとなり、原点の極座標は一意では表せ表せないということですか。。。極座標や極方程式が一意でないのが基本的な性質で、極方程式が一意であることを要請されていないのであれば、r,θの変域を特異な条件を除き実数全体と考えたことは問題なかったのかもしれません。

数学的な極方程式の定義

↑のコメントをいただいたJohn Smithさんから、以下の4つの段落に分けて「座標平面、点、図形の定義」「極座標変換の定義」「極座標の定義」「極方程式の定義」の数学的に正確な定義を教えていただきました。以下に転記します。(以降簡単のため『JS定義』と略記させていただきます。)

現代的な座標幾何の議論では，実数体Ｒ上の計量線形空間としての直積集合Ｒ^2 を座標平面，Ｒ^2 の要素を点，Ｒ^2 の部分集合を図形と呼ぶ．

以下，２つの座標平面Ｅ_1，Ｅ_2 を固定し，Ｅ_1 からＥ_2 への写像 Φ を

　Φ(ｒ, θ)＝(ｒ cosθ，ｒ sinθ)

で定め，極座標変換と呼ぶ．

点Ｑ(∈Ｅ_2) に対して，Φ(Ｐ)＝ＱとなるＰ(∈Ｅ_1) を点Ｑの極座標と呼ぶ．ここで，極座標の成分に対する距離，角度といった意味付けは，極座標変換の定義域を相応に制限した場合にのみ有効であり，それがなければ極座標の成分はあくまで実数であることに注意．

図形Ｔ(⊆Ｅ_2) に対して，Φ(Ｓ)＝ＴとなるＳ(⊆Ｅ_1) を解集合とする方程式を図形Ｔの極方程式と呼ぶ．つまり，

　Ｔ＝Φ({(ｒ, θ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ})

　　＝{(ｒcosθ，ｒ sinθ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ}

となる f(ｒ, θ)＝０が図形Ｔの極方程式．

このコメントでいただいた定義を参考に、集合や写像の基本的な知識がある高校生向けに、具体例を交えながら僕なりに考えた内容を補足します。写像の像は一番定番の状況(極と原点が一致してx軸正領域と始線一致させた場合)を(x,y)として具体例を示しました。ただし、僕の解釈には誤りがある可能性も十分に考えられます。そのため、正確な定義はあくまでも『JS定義』のみを参照し、以下の内容は参考程度にご覧ください。

線形計量空間は計量線型空間とも呼ばれます。線形代数の教科書には必ず載っているはずですので、興味があればぜひご覧になってみてください。高校で習う座標やベクトルは、空間内の点や図形の位置を表すのに使えますが、計量空間はそれをもっと一般的に考えたものです。

また、高校生のうちはrθ平面について深く考える必要はなく、rとθが実数全体を動くことを理解しておけば大丈夫です。将来、数学や物理の分野に進みたいと考えている人は、『二つの座標系を変換で結びつける考え方』に軽く触れておくと、後々理解がスムーズになるはずです。

大学レベルの定義の検証作業について(4/2更新)

大学レベルの定義についてですが、まず極座標の定義は

【極座標】

東京大学出版会解析入門Ⅰ 第30刷(杉浦光夫著)p136

「転置をt_で表すとして

Φ(r,θ)=t_(r cosθ,r sinθ)=t_(x,y)

で定義されるR^2からR^2への写像t_(r,θ) |→t_(x,y)はC^♾️級である。Φ(r,θ)=t_(x,y)=zのとき(r,θ)をzの極座標という」

これは『JS定義』から、さらに(x,y)座標を明記したものになっています。

【方程式】

解析幾何学(朝倉数学講座3 矢野健太郎著)1975年出版p22

平面上に一つの図形Fが与えられているとき、この図形上のすべての点の座標（x,y）は関係式f(x,y）=0を満足し、逆にこの方程式を満足する（x,y）を座標とする点はすべて与えられた図形上にあるならば、われわれは、この方程式を与えられた図形Fの方程式、この図形を，この方程式f(x,y）=0の表わす図形とよぶ

(この書籍には直線の極方程式といった定義しかなく、極方程式自体はなかった。)

これは「図形Ｆ(⊆Ｅ_2) に対して，Ｆ(⊆Ｅ_2) を解集合とする方程式を図形Ｆの方程式と呼ぶ」というのを文章化したものと読み取れます。ここから極方程式についての定義を考えるときに、難しいのが、極方程式は「rθ平面」の図形を表すのではなく「xy平面」図形をrθを用いて表すことにあります。つまり上の定義を例えば以下のように置き換えると極方程式にならなくなります。

「平面上に一つの図形Fが与えられているとき、この図形上のすべての点の座標（r,θ）は関係式f(r,θ)=0を満足し、逆にこの方程式を満足する（r,θ）を座標とする点はすべて与えられた図形上にあるならば、われわれは、この方程式を与えられた図形Fの方程式、この図形を，この方程式f(r,θ)=0の表わす図形とよぶ」

こうすると図形Fはrθ平面上の図形になり、r=2cosθが、円ではなく、波打った形の図形を表すことになってしまいます。（下のヤバそうな例の図を合わせて参照してください。）なのでこれは極方程式ではなくrθ平面の方程式の定義にすぎません。

そこで、それを図形Fをxy平面に置き換えるため、極座標変換を組み込んで図形の記号をSやTに置き換えて極方程式を言語化するとこんな感じになるでしょうか？

「xy平面上に一つの図形Tが与えられているとき、この図形上のすべての点の座標（x,y）を x=r cosθ、y=r sinθで変換したrθ平面の図形S上のすべての点の座標（r,θ）は関係式f(r,θ)=0を満足し、逆にこの方程式を満足する（r,θ）を座標とする点をx=r cosθ、y=r sinθで変換した（x,y）を座標とする点はすべてxy平面上の図形T上にあるならば、われわれは、この方程式を与えられた図形Tの極方程式、この図形Tを，この極方程式f(r,θ)=0の表わす図形とよぶ」

図形Ｔ(⊆Ｅ_2) に対して，Φ(Ｓ)＝ＴとなるＳ(⊆Ｅ_1) を解集合とする方程式を図形Ｔの極方程式と呼ぶ．つまり，

　Ｔ＝Φ({(ｒ, θ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ})

　　＝{(ｒcosθ，ｒ sinθ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ}

となる f(ｒ, θ)＝０が図形Ｔの極方程式．

下に、『JS定義』を並べてみました。いかがでしょうか？E_2をxy平面、E_1をrθ平面に読み替えると、無駄のない正確な定義がされていることが、高校生にもなんとか伝わるといいのですが……。

本来であれば、他の文献を参照し、正確な記述をいくつか確認してから議論を進めるべきですが、現時点では適切なものが見つかっていません。ただ、

数学シリーズ微分積分学(難波誡著)2016年1月15日第17版8刷発行p125

「方程式f(x,y)=0で表される曲線Cは、極座標系(r,θ)で方程式

g(r,θ)=f(r cosθ, r sinθ)=0

で表される。これはCの極座標表示または極方程式とよばれる。」

↑の大学生向けの書籍の定義と前述の理由を合わせて、自分の主観ではありますが「どう考えても『JS定義』が数学として正しいとしか思えない」ため、当面は『JS定義』が正確なものと仮定しつつ、参考資料を探しながら試行錯誤を続ける予定です。

現時点で調べるべき内容の整理(4/2更新)

今、最も悩んでいるのは 赤字で記した「図形S上のすべて」 の部分です。実数全体を動かす意味で正しくあってほしいのですが、一方で、余計な部分を適切にカットしないと、高校生向けに問題を解く際に役立つ極方程式へと絞れません。以下の内容の整理の中にその具体例を載せておきます。

また、以下のまとめは、僕がさまざまな問題を自力で解く前に理解できた範囲で、疑問点や検証したいことをまとめたものにすぎません。そのため、誤りや不十分な点がある可能性があります。

↓ rθ平面を考えていなかったので、そこを修正しました。(3/28)

極座標変換が全単射ではないため、問題点を指摘される可能性があると懸念していた部分でもあり、大変助かりました。今後の検証についてですが、数学としての定義と高校生向けの定義がほぼ一致しているのは間違いないものの、『完全に』一致しているか、逆変換を考えるときの条件、複数の極方程式があるときのr, θの範囲の絞り方（ここはもともとアイディアがあったので、それで問題ないかの検証です）などが調査すべきポイントのまとめになります。

現時点で不安があるところは、本動画シリーズでは「極座標の成分に対する距離，角度といった意味付けを，極座標変換の定義域を相応に制限せずに有効と考えてもまあ大丈夫だろう」としているので、ここに問題を含んでいる可能性が高い（原点を通る曲線が特にやばそう）ことにあります。例を下に示しておきます(3/29更新)。

xy座標の原点を表す極座標は(0,θ)でθには不定性(どんな実数でも良いということ)があります。

高校数学の基本問題において、例えばr(r-2cosθ)=0とした後に「r=0またはr=2cosθ に続いて、r=0は極を表し、r=2cosθは極を通る」と解説されているのですが、「 x=r cosθ、y=r sinθで変換したrθ平面の図形S上のすべての点の座標（r,θ）は関係式f(r,θ)=0を満足する」ならば、勝手に上の青い部分を除去して極方程式を求めたことになり、本当に問題ないだろうか？と思ったわけです。（除去しないと数学的に役に立たない方程式になるので、除去しないといけないのは当たり前なのですが。。。）

その後John Smithさんより、さらに

直交座標の方程式がＧ(ｘ，ｙ)＝０である図形の極方程式が(ｒ＝０∨Ｆ(ｒ，θ)＝０)つまりｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０の形で，さらに∃θ(Ｆ(０，θ)＝０)が成り立つならば，Ｆ(ｒ，θ)＝０単独で同じ図形の極方程式になっています．

というコメントをいただきました(3/31更新)。

こちらに上の事実の証明があります。

これでようやく、自分の脳内にあったぼんやりとした不安の正体が、「r(r-2cosθ)=0 も定義上、極方程式として扱うべきではないか？」という疑問だったことに気づきました。

ですが、前述したように、これがナンセンスなのも、r-2cosθ=0を円の極方程式として扱うべき理由も理解しています。現在のテーマは、この事実と定義との整合性をどうとるか、という点にあります。

現時点で自分の中の推定(4/2更新)

生徒から無邪気な質問をされたときに、「今のところ、これが一番妥当な答えかな？」と考えているものを、以下にまとめました。ぜひ批判的な目で、参考程度にご覧ください。

もしお気づきの点があれば、遠慮なくコメントしてください。答えられるかはわかりませんが、高校生の質問も大歓迎です！

「r が実数全体を動き、r≠0 のとき θ=π/6、r=0 のとき θ=π/2 は、極方程式ですか？」

おそらく「極方程式ではある」が、偏角が方向を表すと考えると、原点では直線とは無関係な方向を点なので、見かけが同じに見えるだけで、「直線の極方程式とは言えない」。つまり、原点を除く直線の極方程式と、変な原点の合わさった数学的に役に立たない(計算とかに使えない)極方程式と思われる。僕にはわからないけど、極方程式ですらない可能性もあるので、少なくとも受験生は全く考える必要はない。

「r(θ-π/6)=0は極方程式ですか？」

おそらく「極方程式ではある」が、「直線の極方程式とは言えない」」。r=0は直線に無関係な方向の偏角も含むので、直線の極方程式はθ=π/6でなければならない。

「r(r-2cosθ)=0は極方程式ですか？」

おそらく「極方程式ではある」が、「円の極方程式とは言えない」。r=0は円の原点における接線と無関係な偏角も含むので、円の極方程式はr-2cosθ=0でなければならない。

おそらく、高校生に教えるときは、「直線の極方程式」「円の極方程式」「カージオイドの極方程式」と図形の名前を必ず言うようにすると、将来困ることがないように思います。こうした準備がものをいう仕事なので、家庭教師をしている学生の一助になれば、これ以上の喜びはありません。長く続けていますが、本当に責任のある大変な仕事だと、時々心の底から実感します。

現時点ではこのような状況です。検証と確認作業が終わり、高校生向けの解説にどう組み込むかがまとまれば、動画制作の続きや修正を進める予定です。また、大きな問題が見つかった場合は、その都度こちらで報告いたします。

こちらの僕の考えや試行錯誤を随時更新していきたいので、調査に用いた自分の主観を含まない引用やJohn Smith さんの定義や人工知能の定義やWikipediaの定義などは

『「極方程式の正しい定義」(調査アーカイブ)』こちらは、以下のホームページの中から、主観を入れずに調べたデータをまとめたアーカイブです。「極座標や極方程式の正確な定義ってどれなんだろう？」と迷ったときに、…

ameblo.jp

の方にまとめさせていただきました(4/2)。

プロフィールなどの詳細は↓

katekyo424さんのプロフィールページ早稲田大学理工学部物理学科卒、家庭教師歴約25年。関東圏在住の医学部東大の受験生中心に数学物理(たまに化学英語など)を指導してきました。何かご質問や指導のご相談などはtorukun424@yahoo.co.jpの方に遠慮なくメールしてください。時給は学年や科目、回数などによって相談に応じますが、今まではだいたい8000円を基本に10000円(医学部超難関校や…

profile.ameba.jp

に詳しくあります。質問や仕事の御依頼などなにかありましたら遠慮なくこちらへメールして下さい^_^

↓内容が良いなと思っていただければご協力お願いします。

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ぐち　一言

Goodnoteのラグが凄くて、動画も作れないし、仕事もやりづらい。。。なんとかしてほしいです。。。

「極方程式の正しい定義」(調査アーカイブ)

こちらは、以下のホームページの中から、主観を入れずに調べたデータをまとめたアーカイブです。
「極座標や極方程式の正確な定義ってどれなんだろう？」と迷ったときに、少しでも比較検討するお役に立てれば嬉しいです。太字が引用部分です。

『「極方程式の正しい定義」(検証報告用ページ)4/2更新』極座標と極形式のうち極座標に焦点を絞った内容の動画編です。動画シリーズの再生リストは極座標でr 線形計量空間は計量線型空間とも呼ばれます。線形代数の教科書には…

ameblo.jp

高校生向けの極座標、極方程式の定義

【極座標】

科学振興新社のモノグラフ公式集5訂版(矢野健太郎著)のp380

「平面上に定点Oと定半直線OXをとると、平面上の点Pの位置は

　OP=r,∠XOP=θ（θは弧度法）

となる2つの数の組（r,θ）によって定まる。

これを点Pの極座標といい。rを動径、θを偏角という。またOを極、OXを始線という。

極はr=0で表され、この場合のθは任意とする。」

大学への数学　1対1対応の演習／数学III（曲線・複素数編）［新訂版］

平成26年4月10日第1刷発行p31

「平面上の点を、（極からの）距離と（始線からの）偏角の組を用いて表す表し方のことである。平面上に点Oと半直線 OXを定める。Oを極、OXを始線という。平面上の各点Pに対し、距離 OPをr、OXからOPまでの回転角をθとするとき、rとθの組(r,θ)を点Pの（Oを極、OXを始線とする）極座標という。このθを点Pの偏角という。

通常，偏角θの範囲は（0≦θ<2πなど）制限せず、全実数とする。従って、(r,θ+2nπ)（nは整数）はすべて同じ点を表す。極Oの極座標は（0,θ）（θは任意）である。」

数研出版新課程チャート式基礎からの数学Ⅲ(青チャート)第2刷(H25年8月発行)p109

「極O，始線OXに対し、OP=r、OXから半直線OPへ測った角をθとすると点Pの極座標は（r,θ）で表される。極の極座標は、θを任意の実数として（0,θ）と定める。また、極O以外の点に対して、例えば0≦θ<2πと制限すると。点Pの極座標は1通りに定まる。」

【極方程式】

科学振興新社のモノグラフ公式集5訂版(矢野健太郎著)のp381

「極座標(r,θ)において、rとθの間に r=f(θ)またはf(r,θ)=0 という関係式が成り立つとき、点(r,θ)の集合は一般に一つの曲線となる。この関係式をこの曲線の極方程式という。」

大学への数学　1対1対応の演習／数学III（曲線・複素数編）［新訂版］

平成26年4月10日第1刷発行p31

「Cを平面上の曲線とし、C上の点Pの極座標を(r,θ)とするとき、rとθが満たす関係式をCの極方程式という。極方程式は、r=f(θ)［θの値に応じてrが決まる］の形で表すことが多い。

極方程式では、r<0になる場合、(r, θ)と(-r, θ+π)が同じ点を表すと考えることがある。」

数研出版新課程チャート式基礎からの数学Ⅲ(青チャート)第2刷(H25年8月発行))p112

「ある曲線が極座標（r,θ）に関する方程式r=f(θ)やF(r,θ)=0で表されるとき、この方程式を曲線の極方程式という。なお、極方程式ではr<0の場合も扱う。すなわち、r>0のときの点（-r,θ）は点（r,θ+π）と同じものと考える。」

John Smithさんよりいただいた極座標、極方程式の定義など

John Smithさんから、

1.以下の4つの段落に分けて、高校生向けではない座標幾何の議論における「座標平面、点、図形の定義」「極座標変換の定義」「極座標の定義」「極方程式の定義」を教えていただきました。

2.極方程式からrを取り除いても同じ図形になる理由も教えていただきました。

1.現代的な座標幾何の議論では，実数体Ｒ上の計量線形空間としての直積集合Ｒ^2 を座標平面，Ｒ^2 の要素を点，Ｒ^2 の部分集合を図形と呼ぶ．

以下，２つの座標平面Ｅ_1，Ｅ_2 を固定し，Ｅ_1 からＥ_2 への写像 Φ を

　Φ(ｒ, θ)＝(ｒ cosθ，ｒ sinθ)

で定め，極座標変換と呼ぶ．

図形Ｔ(⊆Ｅ_2) に対して，Φ(Ｓ)＝ＴとなるＳ(⊆Ｅ_1) を解集合とする方程式を図形Ｔの極方程式と呼ぶ．つまり，

　Ｔ＝Φ({(ｒ, θ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ})

　　＝{(ｒcosθ，ｒ sinθ) | f(ｒ, θ)＝０ ∧ ｒ∈Ｒ ∧ θ∈Ｒ}

となる f(ｒ, θ)＝０が図形Ｔの極方程式．

2.直交座標の方程式がＧ(ｘ，ｙ)＝０である図形の極方程式が(ｒ＝０∨Ｆ(ｒ，θ)＝０)つまりｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０の形で，さらに∃θ(Ｆ(０，θ)＝０)が成り立つならば，Ｆ(ｒ，θ)＝０単独で同じ図形の極方程式になっています．

　∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０)

⇔Ｇ(ｘ，ｙ)＝０

が成り立ち，さらに

∃θ(Ｆ(０，θ)＝０)

が成り立つならば

　∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧Ｆ(ｒ，θ)＝０)

⇔∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧Ｆ(ｒ，θ)＝０∧ｒ≠０)∨∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧Ｆ(ｒ，θ)＝０∧ｒ＝０)

⇔∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０∧ｒ^2≠０)∨∃θ(ｘ＝０∧ｙ＝０∧Ｆ(０，θ)＝０)

⇔∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０∧ｘ^2＋ｙ^2≠０)∨(ｘ＝０∧ｙ＝０)

⇔(Ｇ(ｘ，ｙ)＝０∧ｘ^2＋ｙ^2≠０)∨(ｘ＝０∧ｙ＝０)

⇔Ｇ(ｘ，ｙ)＝０

が成り立ちます．

最後の部分を端折らずに書くと，Ｇ(０，０)＝０により

　(Ｇ(ｘ，ｙ)＝０∧ｘ^2＋ｙ^2≠０)∨(ｘ＝０∧ｙ＝０)

⇔(Ｇ(ｘ，ｙ)＝０∧ｘ^2＋ｙ^2≠０)∨(Ｇ(０，０)＝０∧ｘ＝０∧ｙ＝０)

⇔(Ｇ(ｘ，ｙ)＝０∧￢(ｘ＝０∧ｙ＝０))∨(Ｇ(ｘ，ｙ)＝０∧ｘ＝０∧ｙ＝０)

⇔Ｇ(ｘ，ｙ)＝０

といった具合です．

※高校生向けに記号の意味を補足しておきます。

Ｆ(ｒ，θ)＝０→極方程式を表す

Ｇ(ｘ，ｙ)＝０→直線や曲線の方程式を表す

Ｆ(０，θ)＝０→極方程式がｒ＝０を通る

Ｇ(０，０)＝０→ 直線や曲線の方程式が(ｘ，ｙ) ＝(０，０)を通る

∃ｒ→実数ｒが少なくとも1つ存在する

∧ かつ

∨または

⇔同値記号(A⇔B はAならばBかつBならばAの意味)

例えば

∃ｒ∃θ(ｘ＝ｒcosθ∧ｙ＝ｒsinθ∧ｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０)

⇔Ｇ(ｘ，ｙ)＝０

一例ですが、これを日本語で表すと、

「(ｘ＝ｒcosθ)かつ(ｙ＝ｒsinθ)かつ(ｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０)をみたす、実数rと実数θの組み(ｒ，θ)が少なくとも1組存在するならばＧ(ｘ，ｙ)＝０であり、また、逆に

Ｇ(ｘ，ｙ)＝０ならばｘ＝ｒcosθかつｙ＝ｒsinθかつｒ×Ｆ(ｒ，θ)＝０をみたす、実数rと実数θの組み(ｒ，θ)が少なくとも1組み存在する」となります。

大学レベルの極座標、極方程式の定義

【極座標】

東京大学出版会解析入門Ⅰ 第30刷(杉浦光夫著)p136

「転置をt_で表すとして

Φ(r,θ)=t_(r cosθ,r sinθ)=t_(x,y)

で定義されるR^2からR^2への写像t_(r,θ) |→t_(x,y)はC^♾️級である。Φ(r,θ)=t_(x,y)=zのとき(r,θ)をzの極座標という」

数学シリーズ微分積分学(難波誡著)2016年1月15日第17版8刷発行p124

「一般に、原点Oから点P＝(x,y)までの距離をr、直線OPとがx軸の間の角をθとおくとき、

r=√(x^2+y^2), θ=Arctan(y/x)

x=r cosθ, y=r sinθ

である。r>0とし、例えば0≤θ<2πとしておくと、平面上の原点O以外の点Pと実数の組(r,θ)とは1対1に対応する。rを点Pの動径、θを偏角とよび，(r,θ)を点Pの極座標とよぶ。（原点Oをこの極座標の極、x軸を始線とよぶ)なお、P=Oの場合。r=0だがθは不定とする。」

【方程式】

解析幾何学(朝倉数学講座3 矢野健太郎著)1975年出版p22

(この書籍には直線の極方程式といった定義しかなく、極方程式自体はなかった。)

【極方程式】

＃＃

「解析学の本で大学レベルの極方程式の定義を調べて追記する用スペース」

＃＃

数学シリーズ微分積分学(難波誡著)2016年1月15日第17版8刷発行p125

「方程式f(x,y)=0で表される曲線Cは、極座標系(r,θ)で方程式

g(r,θ)=f(r cosθ, r sinθ)=0

で表される。これはCの極座標表示または極方程式とよばれる。」

人工知能やWikipediaの極座標、極方程式の定義

【極座標】

Google Gemini

極座標の数学的に厳密な定義は、以下の通りです。

極座標の厳密な定義

平面上の点Pの位置を、以下の2つの実数を用いて表す座標系を極座標といいます。

動径 (r): 原点Oから点Pまでの距離
偏角 (θ): 始線OX（通常はx軸の正の部分）から半直線OPまでの反時計回りの角度

点Pの極座標は、(r, θ)と表されます。

補足

原点Oの極座標は、(0, θ)と表されます。ここで、θは任意の値をとることができます。
動径rは、通常は0以上の実数としますが、負の値をとることもあります。rが負の値をとる場合、点Pは半直線OPの反対側に位置します。
偏角θは、通常は0以上2π未満、または-π以上π未満の範囲で表されますが、任意の値をとりえます。
極座標は一意に定まるとは限りません。例えば、点(r, θ)と点(-r, θ + π)は同じ点を表します。

wikipedia

Polar coordinate system - Wikipedia

en.wikipedia.org

In mathematics, the polar coordinate system specifies a given point in a plane by using a distance and an angle as its two coordinates. These are

the point's distance from a reference point called the pole, and
the point's direction from the pole relative to the direction of the polar axis, a ray drawn from the pole.

The distance from the pole is called the radial coordinate, radial distance or simply radius, and the angle is called the angular coordinate, polar angle, or azimuth.^[¹^] The pole is analogous to the origin in a Cartesian coordinate system.

【極方程式】

Google Gemini

「極方程式の数学的に厳密な定義を聞いた場合の答え」

極方程式の数学的に厳密な定義は、以下の通りです。

極方程式の厳密な定義

平面上の点集合Cに対して、以下を満たす関数fが存在するとき、Cは極方程式r = f(θ)を持つといいます。

C上の任意の点Pの極座標を(r, θ)とすると、r = f(θ)が成り立つ。
任意のθに対して、点(f(θ), θ)はC上の点である。

補足

ここで、rとθは極座標であり、rは原点からの距離、θは始線からの偏角を表します。
関数fは、θの値に対応するrの値を定める関数です。
極方程式は、点集合Cを極座標を用いて表現する一つの方法であり、直交座標における方程式と同様に、図形を特定するために用いられます。
極方程式は、r=f(θ)の形式で表されることが多いですが、F(r, θ)=0の形式で表されることもあります。
極方程式の定義域は、θの範囲によって決まります。例えば、θが0から2πまでの範囲で定義される場合、曲線は一周します。

重要な注意点

極座標(r, θ)は一意に定まらないため、極方程式も一意に定まるとは限りません。
例えば、点(r, θ)と点(-r, θ + π)は同じ点を表します。
そのため、極方程式を扱う際には、rとθの範囲に注意する必要があります。

より「範囲に制限を設けるべきかなどを具体的に質問した場合」

数学的に厳密な極方程式の定義

ご指摘の通り、数学的に厳密な極方程式を定義するためには、r と θ の範囲を適切に制限し、「曲線と一意に対応させる必要があります。」
具体的には、以下のような定義が考えられます。「曲線 C を表す極方程式とは、r と θ の範囲を明示した上で、C 上の全ての点 (x, y) に対して、x = rcosθ, y = rsinθ を満たす (r, θ) の組を与える方程式 f(r, θ) = 0 である。」
この定義により、極方程式と曲線の間の同値性が確保され、数学的な厳密性が向上します。

Wikipedia

Polar coordinate system - Wikipedia

en.wikipedia.org

The equation defining a plane curve expressed in polar coordinates is known as a polar equation. In many cases, such an equation can simply be specified by defining r as a function of φ. The resulting curve then consists of points of the form (r(φ), φ) and can be regarded as the graph of the polar function r. Note that, in contrast to Cartesian coordinates, the independent variable φ is the second entry in the ordered pair.

Different forms of symmetry can be deduced from the equation of a polar function r:

If r(−φ) = r(φ) the curve will be symmetrical about the horizontal (0°/180°) ray;
If r(π − φ) = r(φ) it will be symmetric about the vertical (90°/270°) ray:
If r(φ − α) = r(φ) it will be rotationally symmetric by α clockwise and counterclockwise about the pole.

Because of the circular nature of the polar coordinate system, many curves can be described by a rather simple polar equation, whereas their Cartesian form is much more intricate. Among the best known of these curves are the polar rose, Archimedean spiral, lemniscate, limaçon, and cardioid.

For the circle, line, and polar rose below, it is understood that there are no restrictions on the domain and range of the curve.

書籍の内容から定義部分のみを転載しました。問題がある場合は、速やかに削除しますので、ご連絡ください。参考として、人工知能による回答と海外版Wikipediaの情報も併せて掲載します。

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検算と得点のバランス(東京大学2025年文系数学第3問省略改題) 3/29 21:00から生配信

YouTubeに「東大の今年の文系過去問の解説をしてほしい」というコメントをいただきました。過去問をただ解いていく動画自体は、あまり作る意味がないと思いますが、生配信自体、頻度や内容を特に決めずに始めたため、せっかくいただいたリクエストに応え、受験生の役に立ちそうなテーマの問題を抜粋・改題して解説動画を作成してみようと思います。