半正タイル貼りの配置行列1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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各タイル貼りの名称の右に、次の画像のどこに位置しているかを載せているので、画像をご覧になりながら説明をお読みください。
Semiregular Tessellation -- from Wolfram MathWorld
（正タイル貼りに離面を行ってできるもの）
離面とは、{p,q} の各面を切り離して辺の隙間に正方形を挿入し、頂点の隙間に正ｑ角形を挿入する操作です。
もともとの正タイル貼りを {p,q} とすると、[p4q4] となります。
{p,q} と双対 {q,p} に離面を行った結果は、一致します。
また、正方形タイル貼り {4,4} に離面を行ったものは再び正方形タイル貼りとなるため、新たにできるのは1種類のみです。
４．[3464]：斜方3･6角形タイル貼り 最上段右
面は、正3角形、正方形、正6角形の3種類です。
稜も2種類で、aが正3角形と正方形に挟まれ、bが正方形と正6角形に挟まれています。
正3角形の辺はa3本、正方形の辺はaとb2本ずつ、正6角形の辺はb6本です。
頂点は4価で、aとbが2本ずつ出ており、正3角形1枚、正方形2枚。正6角形1枚に囲まれています。
[ 6 4 4 ] [ 6 2+2 1+2+1 ]
[ 2 12 2 ] =< [ 2 6+6 1+1+0|0+1+1 ]
[ 3|4|6 3|4|6 2+3+1 ] [ 3|4|6 3+0|2+2|0+6 2+3+1 ]
（正タイル貼りに二重切りを行ってできるもの）
二重切りとは、正タイル貼りに中点切りを行った後、続けて切頂を行う操作です。
（ただし、辺の長さを揃える必要がある。）
もともとの正タイル貼りを {p,q} とすると、[4,2p,2q] となります。
{p,q} と双対 {q,p} に二重切りを行った結果は、一致します。
また、正方形タイル貼り {4,4} に二重切りを行ったものは切頂正方形タイル貼りとなるため、新たにできるのは1種類のみです。
５．[4,6,12]： 切頂3･6角形タイル貼り 最下段左
面は、正方形、正6角形、正12角形の3種類です。
稜も3種類で、aが正方形と正6角形に挟まれ、bが正方形と正12角形に挟まれ、cが正6角形と正12角形に挟まれています。
正方形の辺はaとb2本ずつ、正6角形の辺はbとc3本ずつ、正12角形の辺はbとc6本ずつです。
頂点は3価で、abcが1本ずつ出ており、正方形、正6角形、正12角形各1枚に囲まれています。
[ 12 3 3 ] [ 12 1+1+1 1+1+1 ]
[ 2 18 2 ] =< [ 2 6+6+6 1+1+0|1+0+1|0+1+1 ]
[ 4|6|12 4|6|12 3+2+1 ] [ 4|6|12 2+2+0|3+0+3|0+6+6 3+2+1 ]
これだけ関係式も示しておきます。
12×3 ＝ 2×18 ＝ 4×3＋6×2＋12×1 ＝ 36，
3×2＋2×3＋1×0＝6×2＝12，3×2＋2×0＋1×6＝6×2＝12，
3×0＋2×3＋1×6＝6×２＝12．
（正タイル貼りに捩(ねじ)り切りを行ってできるもの）
捩り切りとは、正タイル貼りの面を切り離してそれらの間に正3角形を挿入する操作です。
その際、正p角形の辺に正3角形が1枚、頂点に正3角形が2枚、接するようにします。
もともとの正タイル貼りを {p,3} とすると、[3333p] となります。
捩り切りは、もともとの頂点の位置に正3角形を挿入するため、頂点が3価の正タイル貼りつまり {6,3}＝[6,6,6] にのみ適用されます。
６．[33336]：ねじれ6角形タイル貼り（キラル） 最下段右
面は正3角形と正6角形ですが、正3角形にはAとBの2種類あるので、合計3種類となります。
Aは正3角形Bのみに囲まれていますが、Bは正3角形A、Bと正6角形に囲まれています。
稜は、AとBに挟まれたa、B2枚に挟まれたb、Bと正6角形に挟まれたcの3種類あります。
正3角形Aは稜a3本に囲まれ、同じくBは稜abcに囲まれ、正6角形はc6本に囲まれています。
頂点は5価でa2本、b1本、c2本が出ており、正3角形A1枚、B3枚、正6角形1枚に囲まれています。
[ 6 5 5 ] [ 6 2+1+2 1+3+1 ]
[ 2 15 2 ] =< [ 2 6+3+6 1+1+0|0+2+0|0+1+1 ]
[ 3|6 3|6 8+1 ] [ 3|3|6 3+0+0|1+1+1|0+0+6 2+6+1 ]
（その他2種類）
残りの2種類のタイル貼りは、半正多面体には対応するものがありません。
７．[33434]：3角形対･正方形タイル貼り 第2段右
面は、正3角形と正方形の2種類です。
稜も、正3角形2枚に挟まれたaと、正3角形と正方形に挟まれたbの2種類があります。
正3角形はa1本とb2本に囲まれ、正方形はb4本に囲まれています。
頂点は5価でa1本とb4本が出ており、正3角形3枚と正方形2枚に囲まれています。
[ 4 5 5 ] [ 4 1+4 3+2 ]
[ 2 10 2 ] =< [ 2 2+8 2+0|1+1 ]
[ 3|4 3|4 4+2 ] [ 3|4 1+2|0+4 4+2 ]
８．[33344]：3角形列･正方形列タイル貼り 第3段右
面は、正3角形と正方形の2種類です。
稜は、正3角形2枚に挟まれたa、正3角形と正方形に挟まれたb、正方形2枚に挟まれたcの3種類があります。
正3角形の辺はa2本とb1本、正方形の辺はbとc2本ずつです。
頂点は5価でa2本、b2本、c1本が出ており、正3角形3枚と正方形2枚に囲まれています。
[ 2 5 5 ] [ 2 2+2+1 3+2 ]
[ 2 5 2 ] =< [ 2 2+2+1 2+0|1+1|0+2 ]
[ 3|4 3|4 2+1 ] [ 3|4 2+1+0|0+2+2 2+1 ]
新しい情報が配置行列だけでは寂しいので、半正タイル貼りの“複雑性”の比較を行いたいと思います。
多面体の場合と同様に考えると、タイル貼りの“複雑性”は構成要素数の比の合計に反映します。
ν0＋ν1＋ν2
この値はオイラーの公式のタイル貼り版 ν0－ν1＋ν2 ＝ 0 により
ν0＋ν1＋ν2 ＝ 2ν1
となるので、稜の本数の比 ν1 を“複雑性”の指標とするのが良さそうです。
ただ、対角要素の定数倍の任意性があります。
以前平行多面体のブロック積みに関して同様の考察をしたときは、右下の ν33＝1 という制限を課していました。
平行多面体とそのブロック積みの配置行列 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
今回も基本的には同様に考えればよいはずですが、半正タイル貼りでは構成する多面体が複数種類存在する点が異なります。
そこで、そのうちの少なくとも1種類が1個であるという条件を付けると、上で見た１～８のうち７以外の7種類は条件を満たします。
７だけは「4+2」ですが、画像を見れば分かるように、これを2で割ってしまうと埋め尽くすのに平行移動だけでなく回転も組み合わせる必要が出てきます。
回転が必要というのも複雑性の一種と考えて、７だけはそのままにします。
“複雑性”の順に、表にまとめます。
正タイル貼りと半正タイル貼りの“複雑性”比較
番号 記号 名称 稜の本数の比
β．{4,4} 正方形タイル貼り 2
α．{3,6} 正3角形タイル貼り 3
γ．{6,3} 正6角形タイル貼り 3
８．[33344] 3角形列･正方形列タイル貼り 5
１．[3636] 3･6角形タイル貼り 6
３．[488] 切頂正方形タイル貼り 6
２．[3,12,12] 切頂6角形タイル貼り 9
７．[33434] 3角形対･正方形タイル貼り 10
４．[3464] 斜方3･6角形タイル貼り 12
６．[33336] ねじれ6角形タイル貼り 15
５．[4,6,12] 切頂3･6角形タイル貼り 18
一般論として、より多くの種類の多角形を含む方が複雑、より大きな多角形を含む方が複雑、より多数の多角形を含む方が複雑となっています。
まず、「半正タイル貼りが正タイル貼りより複雑」だというのは正しいですね。
ただ、半正タイル貼りのなかでは、準正タイル貼りである「１．[3636] 3･6角形タイル貼り」よりも「８．[33344] 3角形列･正方形列タイル貼り」の方が単純というのは、予想外でした。
まあ、８に関しては以前次のような感想を記したことがありますけど。
＞正3角形だけが並ぶ列と正方形だけが並ぶ列が交互に来るというのは、他の半正タイル貼りと比べて美しくないと感じます。
その次に単純なのが「１．[3636] 3・6角形タイル貼り」と「３．[488] 切頂正方形タイル貼り」だというのは、私の予想通りです。
逆に、一番複雑なのが「５．[4,6,12] 切頂3・6角形タイル貼り」、次が「６．[33336] ねじれ6角形タイル貼り」、3番目が「４．[3464] 斜方3・6角形タイル貼り」となっています。
いずれも面が3種類あり、さらに５は12角形を含むから、６は３角形の数が多いから、と説明できます。
★ 昨日と本日（5月26・27日(日月)）、藤井聡太名人に豊島将之九段が挑戦する第82期名人戦七番勝負の第5局が北海道紋別市「ホテルオホーツクパレス」で行われました。後手豊島九段の作戦で四間飛車となりましたが、藤井曲線を描く展開となり、99手で藤井名人の勝利となりました。これで、名人から見て4勝1敗と見事初防衛を果たしました。次は、31日(金)の叡王戦五番勝負第4局で、伊藤匠七段との戦いとなります。
★★ 今日のロジバン 不思議の国のアリス205
.i la .londn. cu raltca la .paris. .i la .paris. cu raltca la .romas. .i la .romas. si si la’e di’u naldrani ju’o
ロンドンはパリの首都で、パリはローマの首都で、ローマは――全然違うな、絶対。
raltca ： 首都/主要都市だ，x1は x2の <- ral+tca, ral<- ralju, tca<- tcadu
ralju ： 主要/大本だ，x1は x2(集合)･x3(性質)において。-ral- [構造･ｾｯﾄ,ｸﾞﾙｰﾌﾟ,群]
tcadu ： 都市/都会/みやこ/メトロポリスだ，x1は x2(地域)･x3(政体)･x4(ヒンターランド)の。-tca- [生命･地理] x4は「港」など
naldrani ： 違う <- nal+drani, nal<- na’e, na’e 以外
drani ： 正しい/正確だ，x1は x2(性質)に関して x3(状況)のとき x4(基準)において。-dra- [生命･評価]
ju’o ： 確かに。よく知っている/確信できる。心態詞(修飾系)UI5類
{ la’e di’u } は「今言ったこと」ですが、もし la’e がないと、話された内容ではなくその言語音声や文字列を指すことになります。
出典は、