以前、平行多面体とそのブロック積みについて解説しました。
平行多面体のご紹介1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp) 3回連載
定義：ある多面体が平行移動により空間を埋め尽くす（充填する）ことができるとき、それを平行多面体という。
詳細については上の連載をご覧ください。
そのときは配置行列を知る前だったので文章と表で説明しましたが、配置行列（簡略形と展開形）によってこのときの連載のかなりの部分をまとめることができます。
ここでは、次の基本平行多面体5種類を取り上げます。
立方体、正6角柱、菱形12面体、長菱形12面体、切頂8面体
（この順序は、簡単なものから複雑なものへとなっています。最後に解説します）
ブロック積みの配置行列では対角要素に任意性がありますが、胞が1個になるように揃えています。
１．立方体
立方体は正多面体であるため、頂点、稜、面のいずれも1種類しかありません。
このため、それ自体の配置行列もブロック積みの配置行列も単純であり、展開形は存在しません。
なお、ブロック積みは自己双対（胞心を新たな頂点としても同種のブロック積みのまま）ですが、これはその配置行列が180°回転しても不変であることと対応しています。
立方体 C＝{4, 3}
[ 8 3 3 ]
[ 2 12 2 ]
[ 4 4 6 ]
立方体のブロック積み {4, 3, 4}
Partial cubic honeycomb - Parallelohedron - Wikipedia
[ 1 6 12 8 ]
[ 2 3 4 4 ]
[ 4 4 3 2 ]
[ 8 12 6 1 ]
これを例に、ブロック積みの配置行列について復習しておきます。
ブロック積みでは、0～2次元までの構成要素は頂点、稜、面ですが、3次元の構成要素は多面体であり、これを胞(ほう)と呼びます。
4行目の [ N41 N42 N43 ] ＝ [ 8 12 6 ] は、単体 {4, 3} の配置行列の対角要素と同じです。
したがって、オイラーの多面体公式 N41－N42＋N43 ＝ 2 が成り立ちます。
1行目の [ N12 N13 N14 ] は、頂点図形となる多面体（この場合は正8面体 {3, 4} ）の頂点、稜、面の数なので、N12－N13＋N14 ＝ 2 が成り立ちます。
（頂点図形とは、1つの頂点につながる稜でその頂点から一定距離の点どうしを結んでできる図形のこと。）
N21 ＝2 は、稜の両端が頂点であることを意味しており、多面体単体と同じで、すべてのブロック積みで共通です。
また、N34 ＝2 もすべての面が2個の胞に挟まれているので、共通です。（こちらは多面体単体において、1本の稜が2枚の面に挟まれていることに相当）
N31 と N32 は面が何角形かを意味し、単体の配置行列における同位置の要素と同じになります。（この場合は 4 ）
最後に対角要素です。
ブロック積みは空間の全方向に無限に広がっているため、多面体の3×3の配置行列とは異なり、構成要素の数を対角要素とすることはできません。（無限大になってしまう）
その代わりに、構成要素の比率を対角要素とすることとします。
比率の表示には定数倍の任意性がありますが、右下の胞の比率を1とするように調整することとします。
胞1個に対し、頂点1個、稜3本、面3枚となります。
多面体の構成要素数に関してはオイラーの多面体公式が成り立ちますが、ブロック積みの構成要素比率の交代和に関しては次の公式が成り立ちます。
ν0－ν1＋ν2－ν3 ＝ 0． （ヴィーに見えますが、ギリシア文字小文字のニューです）
立方体ブロック積みでは
1－3＋3－1 ＝ 0．
ブロック積みの関係式は5本存在しますが、多面体単体の場合とは異なりすべて独立です。
1×6 ＝ 2×3 ＝ 6， 1×12 ＝ 4×3 ＝ 12， 1×8 ＝ 8×1 ＝ 8，
3×4 ＝ 12×1 ＝ 12， 3×2 ＝ 6×1 ＝ 6．
２．正6角柱
正6角柱では、面と稜がどちらも2種類ずつあります。
正6角形の面を“水平”に置くと、8枚の面のうち2枚が水平(正6角形)、6枚が垂直(正方形)です。
また、18本の稜のうち12本が水平、6本が垂直です。
そのブロック積みでも、面と稜がどちらも2種類ずつあります。
1個の胞に対して、水平な面が1枚、垂直な面が3枚あります。
同じく、水平な稜が3本、垂直な稜が2本あります。
正6角柱 6=
[ 12 3 3 ] [ 12 2+1 2+1 ]
[ 2 12+6 2 ] =< [ 2 12+6 1+1|2+0 ]
[ 4|6 4|6 6+2 ] [ 4|6 2+2|6+0 6+2 ]
正6角柱のブロック積み
Hexagonal prismatic honeycomb - Parallelohedron - Wikipedia
[ 2 5 9 6 ] [ 2 2+3 6+3 6 ]
[ 2 2+3 3|4 3|4 ] =< [ 2 2+3 3+0|2+2 3|4 ]
[ 4|6 4|6 3+1 2 ] [ 4|6 2+2|0+6 3+1 2 ]
[ 12 18 8 1 ] [ 12 12+6 6+2 1 ]
３．菱形12面体
この立体は、名称の通り面が菱形（白銀菱形）であって、正多角形ではありません。
菱形12面体では、計14個の頂点のうち3価のもの(a) 8個と4価のもの(b) 6個あります。
しかし、稜や面は1種類です。
そのブロック積みも同様に頂点のみ2種類あり、1個の胞につきaが2個、bが1個で計3個です。
そのため、配置行列はどちらも大して複雑ではありません。
菱形12面体 daC
Rhombicdodecahedron - Rhombic dodecahedron - Wikipedia
[ 8+6 3|4 3|4 ] [ 8+6 3|4 3|4 ]
[ 2 24 2 ] =< [ 1+1 24 2 ]
[ 4 4 12 ] [ 2+2 4 12 ]
菱形12面体のブロック積み
Rhombic dodecahedra - Rhombic dodecahedral honeycomb - Wikipedia
[ 2+1 4|8 6|12 4|6 ] [ 2+1 4|8 6|12 4|6 ]
[ 2 8 3 3 ] =< [ 1+1 8 3 3 ]
[ 4 4 6 2 ] [ 2+2 4 6 2 ]
[ 14 24 12 1 ] [ 8+6 24 12 1 ]
４．長菱形12面体
この立体は馴染みのない方が多いと思うので、復習しておきます。
長菱形12面体とは、菱形12面体の白銀菱形の面4枚を“引き伸ばして”6角形としたものです。
したがって、長菱形という多角形が存在するわけではありません。
また、6角形は正6角形ではありませんが、辺の長さはすべて同じです。
面は、菱形と6角形の2種類です。
それを含め、長菱形12面体は頂点が3種類(うち2種類は3価)、稜が3種類、面が2種類といずれも複数あります。
したがって、配置行列の展開形はかなり複雑になります。
そのブロック積みも同様ですが、3種類だった頂点と稜がいずれも2種類に統合されて簡単になるなどの変更があります。
長菱形12面体
Rhombo-hexagonal dodecahedron - Elongated dodecahedron - Wikipedia
[ 16+2 3|4 3|4 ] [ 8+8+2 1+2+0|0+2+1|0+0+4 1+2|2+1|4+0 ]
[ 2 28 2 ] =< [ 2+0+0|1+1+0|0+1+1 4+16+8 0+2|1+1|2+0 ]
[ 4|6 4|6 8+4 ] [ 1+2+1|4+2+0 0+2+2|2+4+0 8+4 ]
長菱形12面体のブロック積み
Rhombo-hexagonal dodecahedron tessellation - Elongated dodecahedron - Wikipedia
[ 2+2 4|5 6|8 4|5 ] [ 2+2 4+0|4+1 4+2|4+4 4|5 ]
[ 2 8+1 3|4 3|4 ] =< [ 1+1|0+2 8+1 2+1|0+4 3|4 ]
[ 4|6 4|6 4+2 2 ] [ 2+2|2+4 4+0|4+2 4+2 2 ]
[ 18 28 12 1 ] [ 8+10 4+24 8+4 1 ]
最も複雑な単体について、関係式を示します。
8×1＋8×0＋2×0＝8， 8／2＝4． 4×2＋16×1＋8×0＝24，24／3＝8．
8×2＋8×2＋2×0＝32，32／2＝16． 4×0＋16×1＋8×1＝24，24／3＝8．
8×0＋8×1＋2×4＝16，16／2＝8． 4×0＋16×0＋8×1＝8，8／4＝2．
8×1＋8×2＋2×4＝32，32／4＝8． 8×1＋4×4＝24，24／3＝8．
8×2＋8×1＋2×0＝24，24／6＝4． 8×2＋4×3＝28，28／3＝8．
8×1＋4×0＝8， 8／4＝2．
4×0＋16×1＋8×2＝32，32／4＝8． 8×0＋4×2＝8，8／2＝4．
4×2＋16×1＋8×0＝24，24／6＝4． 8×2＋4×4＝32，32／2＝16．
8×2＋4×0＝16，16／2＝8．
まあ好き好んで計算したくなるものではありませんね(^^;
次は、ブロック積みの1行目に関するオイラーの公式「N12－N13＋N14 ＝ 2」ですが、「|」の左と右に分けて計算します。
4－6＋4＝ 2， 5－8＋5＝2．
５．切頂8面体
切頂8面体は、頂点は1種類ですが、稜と面は2種類ずつあります。
面は、正方形が6枚、正6角形が8枚です。
稜は、正方形と正6角形に挟まれるものが24本、正6角形どうしに挟まれるものが12本です。
しかし、そのブロック積みでは稜も1種類となり、面だけ2種類となります。
切頂8面体 tO=tdC
Truncated octahedron - Wikipedia
[ 24 3 3 ] [ 24 2+1 1+2 ]
[ 2 36 2 ] =< [ 2 24+12 1+1|0+2 ]
[ 4|6 4|6 6+8 ] [ 4|6 4+0|3+3 6+8 ]
切頂8面体のブロック積み
HC-A4 - Bitruncated cubic honeycomb - Wikipedia
[ 6 4 6 4 ] [ 6 4 2+4 4 ]
[ 2 12 3 3 ] =< [ 2 12 1+2 3 ]
[ 4|6 4|6 3＋4 2 ] [ 4|6 4|6 3＋4 2|2 ]
[ 24 36 14 1 ] [ 24 36 6+8 1 ]
最後に、各立体の“複雑性”を表す指標として単一の数値を作ることを考えます。
まず、配置行列の対角要素を比較して、5つの平行多面体の順序が簡単なものから複雑なものへと並んでいることを確認しておきます。
平行多面体の対角要素など
単体 ブロック積み
N0 N1 N2 ν0 ν1 ν2 ν3 指標
立方体 8 12 6 1 3 3 1 4
正6角形 12 18 8 2 5 4 1 6
菱形12面体 14 24 12 3 8 6 1 9
長菱形12面体 18 28 12 4 9 6 1 10
切頂8面体 24 36 14 6 12 7 1 13
ここで、N0，N1，N2 は各平行多面体単体における頂点、稜、面の個数、
ν0，ν1，ν2 は各ブロック積みにおける胞1個(ν3＝1)に対する頂点、稜、面の比率。
「指標」についてはこの後で説明する。
それぞれにおけるオイラーの多面体公式は、次のようになります。
N0－N1＋N2 ＝ 2．
ν0－ν1＋ν2 －ν3 ＝ 0．
それでは、各立体の“複雑性”を表す指標としてどのような数値が適当でしょうか。
単体については、全構成要素の合計が適当に思えます。
ただ、この数値はオイラーの公式により次のように変形できます。
N0＋N1＋N2 ＝ 2 N1＋2．
したがって、より簡単な数値として、稜の本数 N1 をとることができます。
次に、ブロック積みについても同様に構成要素の比率の合計をとることが考えられます。
ν0＋ν1＋ν2＋ν3
ただ、この数値はオイラーの公式から必ず偶数となることが分かるので、その1／2を“複雑性”を表す指標とします。
表最右端の「指標」がそれに当たります。
単体とブロック積みとで異なる指標を採用することになりますが、それはし方ないでしょう。
これらを用いると、単体とブロック積みのどちらについても複雑性の順序となっていることが分かります。
C 6= daC 長 tO
単体 ： 12，18，24，28，36
ブロック積み： 4， 6， 9， 10，13
なお、ブロック積みについては比率の任意性があるため胞1個当たりとしている点がポイントであり、平行多面体ごとにこの値を変えてしまうと比較ができません。
★ 本日、沖縄と奄美が梅雨入りしたと発表されました。全国的には最高気温30°以上の真夏日となった場所も多かったようです。季節が前に進んでいくのを実感します。
私自身は、土曜からお腹の具合が悪く、食欲がなくてスープくらいしか食べられません。名人戦で藤井聡太名人が負けたこともあり、全然元気が出ないです。
★★ 今日のロジバン 不思議の国のアリス202
.i mi mi cipygau lo ka ca djuno ro da poi mi pu djuno
前に知ってたことをちゃんと知ってるか、試してみよう。
cipygau ： 試す，g1は c3を c1で <- cip+gau, cip<- cipra, gau<- gasnu, ,
cipra ： 試験/実験/テストだ，x1(過程/事)は x2(性質)を x3について。-cip- [言語･認知] x3は「受験者」や「製品」など
gasnu ： する，x1(者)は x2(事)をする。-gau- [プロセス･因果] 「zukte」が意志に基づき目的を見据えた振舞いであるのに対し、「gasnu」は単に行動の主体性を表す。
djuno ： 知る，x1は x2(命題)・x3(題目)を x4(認識体系)で。-jun-, -ju’o- [言語･認知]
主述語は cipygau で、そのg1(試す者)とc3(試される者)がどちらも mi 、c1(試験内容)が { lo ka } 以降の性質抽象節です。
抽象節内の主述語は { ca djuno } 「今知っている」で、そのx1は mi でしょうがしつこいので省略されており、x2が { ro da } 「すべて」です。
{ ro da } には、後ろから限定関係節 { poi mi pu djuno } 「私が以前知っていた」が掛かっています。
出典は、
lo selfri be la .alis. bei bu'u la selmacygu'e (lojban.org)