ジョンソン立体第1類の構成要素のつながり方1 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
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２．対称式と子午線による記述（承前）
そこで、対称式とは別の記述方法を考えることにします。
先に定義した子午線と赤道は、いずれも各構成要素(の中心、中央)を通るので、構成要素により記述することができます。
たとえば、先の3種類の立体であれば、子午線は次のようになります。
J5 5c p1 d e1 p2 e2 c
5x 5 | 4 | 10 | 3・4 (5)
J30 5cc p d e1 d p c e2 c
5x 5 |4 | 4| 5 ・43 | 3・4 (5)
────┴───────┴───
c c (c)
J31 5cc* p d e c p d e c
5x 5 |4 | 3・4 5 |4 | 3・4 (5)
────┴───────┴───
c c (c)
子午線は多面体を一周しているので、どこから始めるか、またどちらの向きに向かうかにより見た目がずいぶんと違ってきます。
それでは、一目で異同を見極めることができません。
ここでは、次のルールで記述することにします。
・両極の一方（p1とp2があればp1）から始める。
・極の両側に接しているのが稜 | と頂点・であれば、稜の方向に進む。これにより向きが生じる
・両極は、太字（ゴシック）にする
・一周したら最後に ( ) を置き、( ) 内に最初と同じ記号を入れる。これで一周したことが分かる
・単位立体以外、つまり複数の立体を組み合わせて作られる立体については、子午線の構成要素記述の下に組み合わせ方を記す
・その子午線が全部でn本存在するとき、左側に「nx」と書く。
この「x」は、掛ける「×」記号の半角版のつもり。
これらのルールに従えば、J44～J48の5種類を除く第1類については子午線の記述は一意的となります。
また、5cc* のような新記号法の示す組合せ方の解説ともなっています。
第1類の Cnv ，Dnh ，Dnd という3種類の対称性において、nの取り得る範囲は 3≦n≦5 です。
（例外は J26異相双3角柱で、対称性は D2d 、位数は8です。ついでにこの和名ですが、以前の私の記事では「双側正3角柱」となっています。多分、wikiの訳語の方が変更されたのだと思いますが、ここでは現在の和名に従うことにします。）
ただ、子午線に関しては、nが3と5という奇数の場合と4という偶数の場合とで事情が異なります。
nが奇数の場合、
・子午線は必ず1種類となる
・子午線には必ず向きがある
・隣り合う子午線は互いに逆向きになっている
nが偶数(n＝4)の場合、
・3種類とも、子午線は極に関して対称的。つまり、どちら向きに進んでも同じ
・C4v と D4h では子午線が2種類に分かれて、2本ずつとなる
・C4v と D4h では、隣り合う子午線の種類は異なる。しかし、子午線の構成要素数は同じ
Square orthobicupola - List of Johnson solids - Wikipedia J28同相双4角台塔
J28 p d e1 d p d e1 d p c e2 c p c e2 c
2x 4 |4 | 4| 4 |4 | 4 (4)， 2x 4 ・43 | 3・4 4 ・43 | 3・4 (4)
──┴────┴─ ───┴──────┴──
c c (c) c c (c)
これに対して、
・D4d では子午線は1種類となる
・隣り合う子午線は、交互に天井と底面を出発点としている
Square gyrobicupola - List of Johnson solids - Wikipedia J29異相双4角台塔
J29 p d e1 d p c e2 c
4x 4 |4 | 3・4 4 ・43 | 4| (4)
──┴──────┴───
c c (c)
子午線の解説が一通り終わったので、赤道についても触れます。
J28, J29, J30, J31では、赤道は次のように記述されます。
(eb)^n
(-・4)^n
ただし、( )^n は ( )内をn回繰り返すことを意味します。
ただ、一目で分かるようにこれでは情報量が少なすぎてわざわざ記述するメリットがありません。
このため、以下では赤道は扱いません。
子午線には、p, e, d, c の情報が含まれます。
そこで、子午線の記述に加えて、残りの b項とa項の情報を付加することにします。
Cnv 対称性をもつ多面体では、b項とa項を区別できずまた区別するメリットもないので、ba項とします。
b項が記載されていれば、赤道は当然不要ですね。
また、b項とba項の前には「2nx」、a項の前には「4nx」を付けます。
３．ジョンソン立体第1類の子午線による記述
ここからは、ジョンソン立体第1類に属す多面体について、その子午線を使って構成要素の並びの記述を行います。
取り上げる順序は、
(1) 5角（n＝5）のうち、台塔・丸塔を含まないもの
(2) 5角（n＝5）のうち、台塔・丸塔を含むもの
(3) 4角（n＝4）のうち、台塔・丸塔を含まないもの
(4) 4角（n＝4）のうち、台塔・丸塔を含むもの
(5) 2cc* 異相双3角柱
です。
3角（n＝3）についてはn＝5の場合から類推できるので、省略します。
基本的には5を3に変えれば良いだけです。
(5)の 2cc* はn＝2という例外的場合です。
各多面体について、次の項目を記載します。
1行目は、ジョンソン立体の通し番号、新記号法、和名、対称性、その位数、稜係数、子午線の構成要素数、ba項・b項・a項の構成要素数
2行目の「子」は「子午線」の頭文字、「mx」は子午線がm本あることを意味する。
その後は、子午線の構成要素による表示。これが本体であり最重要。
3行目の「ba」は「ba項」、「b」は「b項」、「a」は「a項」を意味する。
稜係数は E／n で定義されます。（このブログ独自の命名です）
稜係数を載せているのは、次のような理由によります。
オイラーの多面体公式から「V＋F＝E＋2」が成り立つため、全構成要素数「V＋E＋F」は、V＋E＋F＝2E＋2 と表すことができます。
一方で、稜の本数Eはジョンソン立体第1類の範囲内では必ずnの倍数となっています。
そのため、稜係数 E／n と対称性が分かれば、全構成要素数が簡単に（暗算で）計算できるというわけです。
前回の記事に載せた下の方の表「角柱、反角柱とジョンソン立体第1類の構成要素数」中、Eはすべて mn の形をしていますが、このmが稜係数です。
角柱、反角柱、ジョンソン立体第1類の構成要素数 | 宇宙とブラックホールのQ&A (ameblo.jp)
全構成要素の数は、子午線の構成要素数とb項、a項の構成要素数からも次のように計算できます。
子午線の構成要素のうち、両極だけはすべての子午線に含まれています。
それ以外の構成要素は1回ずつしか含まれていません。
そこで、子午線の構成要素数から2を引いて、それに子午線の本数nを掛けます。
その積に両極の2を足したものが、全子午線に含まれる構成要素の数です。
次に、子午線に含まれていない構成要素の数は、b項、a項、ba項から分かります。
b項とba項についてはその構成要素数に2nを掛けます。
a項については、その構成要素数に4nを掛けます。
それらを合計すれば、全構成要素数が得られます。
全構成要素数を稜係数と子午線等から別々に計算すれば、それらに関する検算となります。
全構成要素数 ＝ [稜]×2n＋2 ＝ ([子]－2)×n＋2 ＋[b]×2n ＋[a]×4n．
面と稜の関係式、頂点と稜の関係式による検算も可能ですが、今回は省略します。
(1) 5角（n＝5）のうち、台塔・丸塔を含まないもの
J2 5> 正5角錐 C5v 10 稜2 子6 ba 0
子 5x ・5 3|5・-(・5)
ba なし
全構成要素数 ＝ 2×5×2＋2 ＝ (6－2)×5＋2 ＝ 22．
J13 5<> 双5角錐 D5h 20 稜3 子8 b 0 a 0
子 5x ・5 3 | 3・5- ・4 -(・5)
───┴───┴─
> > (>)
b なし， a なし
全構成要素数 ＝ 3×5×2＋2 ＝ (8－2)×5＋2 ＝ 32．
5= 正5角柱 D5h 20 稜3 子8 b 0 a 0
子 5x 5|4|5・-・(5)
b なし， a なし
5z 正5角反柱 D5d 20 稜4 子8 b 1 a 0
子 5x 5|3・45|3・4(5)
b 10x |， a なし
全構成要素数 ＝ 4×5×2＋2 ＝ (8－2)×5＋2 ＋10 ＝ 42．
J9 5=> 正5角錐柱 C5v 10 稜4 子9 ba 0
子 5x ・5 3 | 4|5・- ・4 - (・5)
───┴────┴─
> = (>)
ba なし
J11 5z> 正5角錐反柱 C5v 10 稜5 子10 ba 1
子 5x ・5 3 | 3・45|3 ・5 - (・5)
──┴────┴─
> z (>)
ba 10x |
全構成要素数 ＝ 5×5×2＋2 ＝ (10－2)×5＋2 ＋10 ＝ 52．
J16 5<=> 双5角錐柱 D5h 20 稜5 子12 ba 0
子 5x ・5 3 | 4 | 3・5- ・4 - ・4 - (・5)
──┴┴────┴─┴──
> = > = (>)
ba なし
全構成要素数 ＝ 5×5×2＋2 ＝ (12－2)×5＋2 ＝ 52．
I 5<z> 双5角錐反柱 D5d 20 稜6 子12 b 1 a 0
（正20面体） (Ih 120)
子 5x ・5 3 | 3 ・5 -・53 | 3 ・5-(・5)
──┴─┴───┴─┴──
> z > z (>)
b 10x |， a なし
全構成要素数 ＝ 6×5×2＋2 ＝ (12－2)×5＋2 ＋10 ＝ 62．
---------------------------- 続 く --------------------------
★ 今日は晴れて気温は上がったものの、北風が非常に強い一日でした。おかげで洗濯物はよく乾きましたが。
★★ 今日のロジバン 不思議の国のアリス165
.i .ue mi bebna tavla li’u»
[驚嘆] あたし、なんてばかげたことを言ってるんだろ！」
.ue ： 驚嘆。予期していなかったそれに驚く気持。心態詞(純粋感情)UI1類
bebna ： 愚か/馬鹿げている/思慮が無い，x1は x2(性質)に関して；x1は阿呆/馬鹿。-beb-
tavla ： 語る/話す，x1(者)は x2(者)に x3(題目)について x4(言語)で。-tav-, -ta’a-
音声的とは限らず、手話も
アリスが自分の右足宛に出す手紙の表書きの文面を口頭でまとめた後、それについての感想を述べた文章です。
出典は、
lo selfri be la .alis. bei bu'u la selmacygu'e (lojban.org)