超準解析入門の入門1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12538313977.html
超準解析入門の入門6：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12541254822.html
---------------------------------
６ 超ベキ
2つの集合ＸとＹの直積Ｘ×Ｙは、両者の元の順序対から成る集合 ｛ (ｘ, ｙ)｜ｘ∈Ｘ，ｙ∈Ｙ｝ として定義されるのでした。
それを3つ以上の集合の直積に拡張するためには、(Ｘ×Ｙ)×Ｚのように繰り返していけばよいのですが、この方法では有限個の範囲では何とかなっても、無限個の集合の直積は作れません。
任意の個数の集合の直積は、次のように定義します。
直積の定義 ： 集合族 Ｘi （ｉ∈ Ｉ ） に対して、元の族の集合 Πｉ∈Ｉ Ｘi ＝ ｛(ｘi) ｉ ∈ Ｉ ｜ｘi∈Ｘi，∀ｉ∈ Ｉ ｝ をその直積(direct product)という。
さて、ここからフィルターが活躍します。
集合族 Ｘi （ｉ∈ Ｉ ）と Ｉ 上のフィルターＦに対して、直積 Πｉ∈Ｉ Xi 上の2項関係≡を次のように定義します。
ａ≡ｂ ⇔ ｛ｉ∈ Ｉ ｜ａi＝ｂi ｝∈Ｆ
これは、 ａ と ｂ とがＦの基準で十分多くの ｉ について一致する、つまり両者が十分近いことを意味します。
（“十分近い”というのは位相空間論で近傍により定義される概念でしたが、フィルターは近傍概念の拡張となっています。）
・ 上で定義された直積 Πｉ∈Ｉ Ｘi 上の2項関係≡は、同値関係である。
証明：反射律と対称律は自明。 ｛ｉ∈ Ｉ ｜ａi＝ｂi ｝∈Ｆ かつ ｛ｉ∈ Ｉ ｜ｂi＝ｃi ｝ ∈Ｆ とする。フィルターの性質から、｛ｉ∈ Ｉ ｜ａi＝ｂi ｝∩｛ｉ∈ Ｉ ｜ｂi＝ｃi ｝∈Ｆ なので、 ｛ｉ∈ Ｉ ｜ａi＝ｂi ｝∩｛ ｉ∈ Ｉ ｜ｂi＝ｃi ｝ ⊂ ｛ｉ∈ Ｉ ｜ａi＝ｃi ｝∈Ｆ となり、推移律も成り立つ．／／
約積の定義 ： 集合族 Ｘi （ｉ∈Ｉ） と Ｉ 上のフィルターＦに対して、直積 Πｉ∈Ｉ Ｘi を上で定義された同値関係≡で割って得られる商集合を、集合族Ｘi の約積(reduced product)と呼び、
Πｉ∈Ｉ Ｘi／Ｆ
と書く。
超積の定義 ： Ｕが自由超フィルターであるとき、約積 Πｉ∈Ｉ Ｘi／Ｕを超積(ultraproduct)という。
超ベキの定義 ： 集合族 Ｘi （ｉ∈Ｉ） が、すべての ｉ について Ｘi＝Ｘ であるとき、超積 Πｉ∈Ｉ Ｘi／Ｕ を超ベキ(ultrapower)と呼び、 Ｘ Ｉ ／Ｕ で表す。
演算＋，・ や関係＜が定義された構造Ａに対し、その台集合Ａの超ベキ上でも演算＋，・ や関係＜が同様に定義されます。
この点の確認は面倒なので省略します(^^;
第1節後半でフレシェ・フィルターＦを使った約積で「有限個の項を除き」という議論を行いましたが、それと同様です。
------------ 続 く -----------
超準解析入門の入門8：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12541524136.html