超準解析入門の入門1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12538313977.html
超準解析入門の入門5：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12539815799.html
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５ 自由超フィルター
フィルターの定義 ： 与えられた集合 Ｉ に対して次の性質をもつ集合Ｆを、 Ｉ 上のフィルター(filter)という。
Ｆ1．Ｘ∈Ｆ → Ｘ⊂ Ｉ ． （Ｆの元は Ｉ の部分集合）
Ｆ2．Ｉ ∈Ｆ， ￢φ∈Ｆ． （ Ｉ はＦの元だが、空集合はＦの元ではない）
Ｆ3．Ｘ∈Ｆ ∧ Ｘ⊂Ｙ⊂ Ｉ → Ｙ∈Ｆ．（Ｆの元を含む Ｉ の部分集合は、Ｆの元）
Ｆ4．Ｘ，Ｙ∈Ｆ → Ｘ∩Ｙ∈Ｆ． （Ｆの元どうしの共通部分もＦの元）
有理数集合Ｑを完備化して実数集合Ｒを作るときに、コーシー列ではなくフィルターを使うやり方がありますが、実質的には同じです。
フレシェ・フィルターの定義 ： ある集合において、有限部分集合の補集合全体からなる集合はフィルターとなる。このフィルターをフレシェ・フィルター(Frëchet filter)という。
証明：集合 Ｉ とその有限部分集合の補集合全体からなる集合Ｆを考える。Ｆの元ｘ，ｙに対して、ｚ⊃ｘ と ｗ＝ｘ∩ｙ がいずれもＦの元であることを証明すればよい。Ｉ∖ｚ は有限集合 Ｉ∖ｘ の部分集合なので、Ｉ∖ｚ も有限集合。Ｉ∖ｗ＝Ｉ∖(ｘ∩ｙ)＝(Ｉ∖ｘ)∪(Ｉ∖ｙ)．Ｉ∖ｘ も Ｉ∖ｙ も有限集合なので、Ｉ∖ｗ も有限集合。／／
単項フィルターの定義 ： ある集合において特定の元ｘを含む部分集合の全体は、フィルターとなる。このようなフィルターをｘで生成される単項フィルター(principal filter)という。
ここでの話題とは直接関係ありませんが、位相空間論で出てくる近傍系はフィルターの典型的な例です。
・どのような位相であっても、点ｘの近傍系はｘで生成される単項フィルターに包含される。
超フィルターの定義 ： 集合 Ｉ 上のフィルターＵが次の性質をみたすとき、超フィルター(ultrafilter)という。
∀Ｘ⊂ Ｉ (Ｘ∈Ｕ ∨ Ｉ∖Ｘ∈Ｕ)
つまり、「 Ｉ のすべての部分集合Ｘについて、ＸかＸの補集合のいずれかはＵの元である」
・超フィルターは、集合 Ｉ 上のフィルター全体が包含関係で作る順序集合における極大元である。
証明：背理法で証明する。超フィルターＵが極大元でないとすると、Ｕを真に含むフィルターＦが存在する。Ｆに含まれＵに含まれない Ｉ の部分集合をＸとする。ＵはＸを含まないので、Ｉ∖Ｘを含む。 したがって、Ｆも Ｉ∖Ｘ を含むが、Ｘと Ｉ∖Ｘ の両方を含むならば、空集合 φ＝Ｘ∩Ｉ∖Ｘ も含むことになり、フィルターの定義に矛盾する。／／
この結果から、超フィルターのことを極大フィルター(maximal filter)ということもあります。
・単項フィルターは超フィルターである。
証明： Ｉ の元ｘから生成される単項フィルターをＦとする。 Ｉ の部分集合はｘを元とするならばＦに含まれ、ｘを元としないならばＦに含まれないので、超フィルターの定義をみたす。／／
・集合 Ｉ 上の任意のフィルターＦに対して、Ｆを包含する超フィルターＵが存在する。
この定理の証明には選択公理が必要ということです。
自由超フィルターあるいは非単項超フィルターの定義 ： 単項フィルターでない超フィルターを自由超フィルター(free ultrafilter)あるいは非単項超フィルター(nonprincipal ultrafilter)という。
自由超フィルターの“自由”のニュアンスは、単項フィルターのように特定の元に束縛されない、ということかと思います。
『数学基礎論序説』では「非単項超」しか出てこず、「自由超」はwikiによります。
「自由超」の方が積極的な意味をもつこと、また一文字短いことから、ここでは「自由超」を採用することとします。
・任意の無限集合上には、自由超フィルターが存在する。
・超フィルターが、自由超フィルターであることとフレシェ・フィルターを包含することは同値である。
単項フィルターは分かりやすいのですが、自由超フィルターは後でみる重要性にも関わらず具体的なイメージが湧きにくいのが難点です。
ただ、「フレシェ・フィルターを包含する」という点は多少の助けになります。
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