A family of compact complex manifolds

[BHPV p.35～]

A family of compact complex manifolds X = (X,p S) とは，

(i) X と S は連結なcomplex spaces

(ii) p: X →S は，全射なproper holomorphic map で flat なもので，

　　fiber X_sは，すべて，連結なcompact manifolds なるものをいう．

このとき，S を，このfamilyの base という．

X と S がsmoothのときには，flatnessより，p は(holomorphic) submersion となる．

このとき，X はsmoothであるという．

Ehresmannの定理より，

smooth family は，differentiablyにはfiber bundleの構造を持つ．

family X = (X,p S)，complex space S'，holomorphic map f: S' → S に対し，

fibred product は自然にS'上のfamilyである．これを，fによるXのpull-backという．

family X_1 からX_2 へのmorphismとは，

holomorphic map g: X_1 →X_2 と f: X_1 → f_2 で，p_2 g = f p_1 なるものをいう．

V をconnected compact complex manifold とするとき，

Vのdeformation over the complex space S とは，

family X = (X,p S)，s_0 ∈ S，および

V から s_0上のfiber への(analytic) isomorphismからなるものをいう．

（"deformation"　と言ったときには，base point s_0 が重要であり，s_0 でのgermと考える．つまり，s_0 のある近傍で一致していれば，同じdeformationsとみなす）

deformations間のmorphismは，

family間のmorphismで，base points を保ち，

V から s_0上のfiber へのisomorphisms とcompatible なものをいう．

deformationは，base point s_0でのgermと考えるので，

s_0 でbase space S がsmooth であれば，その"family"はsmoothと考えてよい．

重要な概念（局所的な概念）：

Vのdeformationがcompleteであるとは・・・

Vのdeformationがuniversalであるとは・・・

Vのdeformationがversalであるとは・・・

定義から，Vのuniversal deformationは，存在すれば一意的である．

一般には，存在するとは限らない．

complex analytic family

参考文献

小平邦彦「複素多様体論１」（岩波講座　基礎数学）

定義(p.69～p.70)

m次元（コンパクトとは限らない）連結複素多様体Bと，

コンパクト複素多様体 M_t の族

{M_t | t ∈ B }

が与えられたとする．このとき，

複素多様体（これはコンパクトとは限らない）V と，全射正則写像

　　　p: V → B

が存在して次の条件を満たすとき，

M_t は t に正則に依存するといい，

{M_t | t ∈ B } （あるいは，p: V → B）を，

コンパクト複素多様体の複素解析族(complex analytic family)と呼ぶ．

Bをパラメーター空間という．

p^{-1}(t)はMのコンパクトな（複素）部分多様体

M_t = p^{-1}(t)

Mの各点でpの階数はmである（つまり，submersion）

定義

コンパクト複素多様体MとNがひとつの複素解析族に属するとき，

NはMの変形(deformation)であるという．

定理2.3

コンパクト複素多様体の複素解析族において，

すべてのt ∈ Bに対し，M_t は微分同相(diffeomorohic)である．

（つまり，微分構造は一定）

この定理は，次の定理の系として得られる．

定理2.5

コンパクト複素多様体の複素解析族 p: V → B に対し，

Bの任意の点cに対し，cを中心とする座標多重円板U(c)を十分小さくとれば，

微分同相写像 Ψ_c : M_c ×U(c) → p^{-1}(U(c)) で，

p o Ψ_c = π_c なるものが存在する．

（ここで，M_c ×U(c) から U(c) への標準射影をπ_cとする）

定理2.5の証明(p.73の下～)は，微分トポロジーの手法（ベクトル場を考えて，その積分曲線により微分同相写像を得る）による．

p.78より

複素解析族{M_t | t ∈ B }において，パラメーターを連続的に動かしたとき，

M_tの複素構造が連続的に変わる場合と，不連続に変わる場合がある．

例2.15

Hopf曲面の変形{M_t | t ∈ C } において，

M_0だけ，複素構造が他と異なる．

複素構造が異なることは，その上のholomorphic vector fields で，

１次独立なものの最大個数が異なることからわかる．

追記：

特異ファイバーを持つ変形の場合は，「非特異→特異」の変形だから，当然，位相的にも全く変わってしまうわけですが，上の例2.15の変形は，微分同相なままで，M_0だけ複素構造が異なるのですから，不思議です・・・・

base space が「複素解析空間」（特異点を持つかも知れない）である場合の複素解析族の定義は，[BHPV]などにあります．とてもおもしろい例も書いてあります．

K3曲面の例

まず，向井茂先生の論説（「数学」）より引用すると，

例1.3 P^3 の中の非特異4次曲面

　π_1(X)={1}であることは，Lefschetz theorem on hyperplane sectionsより．

　Lefschetz theorem on hyperplane sectionsの証明は，ミルナー「モース理論」にある．

例1.4 P^4の中の2次超曲面と3次超曲面が横断的に交わり，共通部分が非特異なとき．

例1.5 P^5の中で3つの2次超曲面が横断的に交わり，共通部分が非特異なとき．

例1.6　P^2の中の非特異6次曲線を分岐に持つP^2の２重被覆．

　　　　　これが単連結であることは，初等的に証明できる（G.Wilsonの論文参照）

　　　　　２重被覆の定義についても，[BHPV]を参考にするとよい．

例1.7 Kummer曲面

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K3 surfaces with non-symplectic holomorphic involutions 　(Nikulin, Alexeev)

non-symplectic holomorphic involution を持つK3曲面である．

involution の fixed point がない場合は，商空間はEnriques曲面となり，fixed point がある場合は，商空間は有理曲面となる．例えば，P^2, P^1×P^1, F_1, F_2, F_3, F_4 など．（ここで，F_n は n-th Hirzebruch曲面）　もとのK3曲面は，商空間の２重被覆になっていることになる．

K3 surfaces with non-symplectic holomorphic involutionsの「type」が<2>の場合は，商空間はP^2であり，２重被覆のbranch locus (すなわち，holomorphic involutionのfixed point set)は，非特異6次曲線であり， 上の例1.6の場合である．

「type」が<2>+<-2>の場合は，商空間は F_1となり，そのexceptional section を contract することにより，F_1 は P^2 となり，branch locusは，丁度１個の２重点を持つ6次曲線となる．(→Itenbegが1992年に研究)

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（松本圭司氏，吉田正章氏による）

P^2における６本の直線配置の２重被覆の特異点解消

（Last Updated 1/31/2009）

K3曲面に関する日本語の文献

浪川幸彦

「K3曲面の周期の逆問題とKaehler性」

代数幾何学城崎シンポジューム，1980

向井 茂,
『K3曲面上のベクトル束のモジュライとシンプレクティック多様体』,
数学 39-3 (1987), 216--235.

　　　K3曲面の定義，例がまずきちんと書かれています．

金銅誠之,
『二次形式と$K3$曲面・Enriques 曲面』,
数学 42-4 (1990), 346--360.

　　　K3曲面に関するいろいろな事実の筋道，状況がわかりやすい．

塩田徹治,
『Mordell-Weil Lattice の理論と応用  -- 代数, 幾何,・・・・, 計算機の一つの接点 -- 』,
数学 43-2 (1991), 97--114.

吉川謙一,

『解析的トーションとモジュライ空間上の保型形式』，

数学 52 (2000), 142--158.

反シンプレクティック正則対合を持つK3曲面（2-elementary K3 surface）に関する基本がよくわかる．

compact complex surface が Kaehler であるための必要十分条件

[BHPV]より引用

ケーラーとは限らないcompact complex surface に対し，

(1) 2h^{1,0}≦h^{0,1}+h^{1,0}≦2h{0,1}

(2) b_1(X)=h^{0,1}+h^{1,0}

(3) b_1(X):even ならば，h^{1,0} = h^{0,1}

(4) b_1(X):odd ならば，h^{1,0} = h^{0,1} -1

p.144

定理3.1

compact complex surface がケーラーであるための必要十分条件は，

b_1 が偶数なることである．

（この証明のうち，ケーラーならばb_1 が偶数であることの証明は，もしケーラーならばh^{0,1}=h^{1,0}であることから，上の(2)を用いてわかる．逆に，b_1 が偶数ならばケーラーであることを示すのが大変難しい）

注意：

この定理によれば，K3曲面（⇒b_1=0）はケーラーである．

（Siuの結果との関連はどうなっているのか？）

Chowの定理

[川又]p.73

GAGAの原理　の系として，

系1.10.6

射影空間の複素解析的閉部分空間には，

自然に，代数的閉部分スキームの構造がはいる．

参考：

[BHPV]p.57

Theorem 19.2

P^nのclosed analytic subspace は，algebraic subvariety である．

特に，complex manifold が，P^nに，複素解析的部分多様体として埋め込めるならば，

それは，(projective-)algebraic である．

したがって，P^nのFubini-Study計量を制限することにより，ケーラーである．

Chowの定理については，以下の文献も参照：

Gunning Rossi

Analytic functions of several complex variables, Prentice Hall (1965)

一松信

多変数函数論

Kaehler manifolds の性質

[GH] p.116

[BHPV] p.43　参照

コンパクトケーラー多様体 X に対しては，Hodge decompositionが可能である．

また，

H^{p,q}(X) は， H^{q,p}(X)の共役である．

よって，

h^{p,q}(X) = h^{q,p}(X)

b_k(X)=Σh^{p,q}(X)　（p+q=k）

Kollarの予想 ほか

J. Kollar,
Real algebraic surface,

alg-geom/9712003 2Dec 1997.

J. Kollar,
Real algebraic threefolds I (Terminal singularities),
Collectanea Math.,

Real algebraic threefolds II (Minimal model program) ,

Journal of Amer. Math. Soc., 12-1 (1999), 33--83.

Real algebraic threefolds III (Conic bundles),

Real algebraic threefolds IV (Del Pezzo fibraitons)

Kollar の予想

「実数体上定義された非特異射影代数多様体で強い意味でFanoであるものの実部は負の曲率の計量を許容しないであろう」

　→Viterboが部分解決とのこと

Itenberg, Counter-examples to・・・

I. V. Itenberg,
Counter-examples to Ragsdale conjecture and T-curves,
in

Real algebraic geometry and topology (ed. S.Akbulut),
A conference on real algebraic geometry and topology,
December 17-21, 1993, Michigan State University,
Contemporary Math., 182 (1995), 55--72.

I. V. Itenberg,
Viro's method and T-curves,
in
Algorithms in algebraic geometry and applications (Santander, 1994),
Progress in Math. 143 (1996), pp. 177--192.

I. Itenberg, O. Ya. Viro,
Patchworking algebraic curves disproves the Ragsdale conjecture,
Math. Intelligencer 18-4 (1996), 19--28.

Symplectic and Real Algebraic Geometry

2004年2月に，Berkeley のMSRI でのワークショップTopology and Geometry of Real Algebraic Varieties に参加．Viterbo氏が，Symplectic and Real Algebraic Geometry というような題名で講演．

以下は，これに関係する参考資料：

Kenji Fukaya ,

『シンプレクティック幾何学』, 岩波講座現代数学の展開, 岩波書店.

Kaoru Ono,

J-正則写像とsymplectic topology,

数学, 51-4，1999年10月．

Kaoru Ono,

シンプレクティック幾何学におけるFloer理論，

数学，58-2，2006年4月．

Claude Viterbo

Symplectic topology and Real Algebraic geometry (1999) 　（講演）

Topology and Geometry of Real Algebraic Varieties (Berkeley MSRI，2004年2月)

Claude Viterbo の講演 "Symplectic and Real Algebraic Geometry"

Jake Solomon

Intersection theory on the moduli space of holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions, math.SG/0606429 .

J.-Y. Welschinger

　Real pseudo-holomorphic discs in symplectic 4-manifolds (?)

　arXiv:math/0502358

　Towards relative invariants of real symplectic 4-manifolds

　arXiv:math/0502355
　Invariants of real symplectic 4-manifolds out of reducible and cuspidal curves

　arXiv:math/0303145
　Invariants of real symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry,

　Invent. Math., 162 (2005), 195--234.

Claude Viterbo

Summer School in

Symplectic and Real Algebraic Geometry

/École d'été de Géométrie symplectique et algébrique réelle/
PARIS, Institut Henri Poincaré, June 30-July 11, 2008

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MSRI November 16, 2009 to November 20, 2009

The theory of holomorphic curves in symplectic manifolds leads to rich algebraic structures.

The study of these structures is increasingly important both for understanding the theory itself, and for actual computations and applications.

The aim of the workshop is to survey ongoing developments in the area.

Some of the topics of interest are:
* cohomological field theories;
* relative and tropical Gromov-Witten invariants;
* Symplectic Field Theory (SFT) and connections with string topology;
* theories of holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions, such as relative SFT, open Gromov-Witten theory, and Fukaya categories.

Kenji Fukuya

Counting pseudo-holomorphic discs in Calabi-Yau 3 fold, August, 2009

http://arxiv.org/abs/0908.0148