[BHPV]p.358
LをK3 latticeとし，l \in L with l^2>0 をprimitive vector とするとき，l に直交するdでd^2=-2なるベクトル（roots）全体△_lを考える．
K3surfacesのthe period domain Ωは，P(L_C)のisotropic linesからなるthe quadric の複素20次元のopen subsetであった．
P(L_C)においてLのnonzero element λの直交超平面H_λを考える．
Ω_l := Ω ∩ H_l
とおき，さらに，
Ω_l＾{pol} := Ω_l ＼ ∪ (H_d ∩ Ω_l)
d\in △_l
とおく．
On real anti-bicanonical curves with one double point on the 4-th real Hirzebruch surface
Sachiko Saito
Journal of Singularities volume 11 (2015), 1-32
Received 21 August 2013. Received in revised form 14 July 2014.
Abstract: We list up all the candidates for the real isotopy types of real anti-bicanonical curves with one real nondegenerate double point on the 4-th real Hirzebruch surface RF_4 by enumerating the connected components of the moduli space of real 2-elementary K3 surfaces of type (S,\theta) \cong ((3,1,1),- \id). We also list up all the candidates for the non-increasing simplest degenerations of real nonsingular anti-bicanonical curves on RF_4. We find an interesting correspondence between the real isotopy types of real anti-bicanonical curves with one real nondegenerate double point on RF_4 and the non-increasing simplest degenerations of real nonsingular anti-bicanonical curves on RF_4. This correspondence is very similar to the one provided by the rigid isotopic classification of real sextic curves on RP^2 with one real nondegenerate double point by I. Itenberg.
Mathematical Subject Classification:
14J28, 14P25, 14J10
Kulikovによる周期写像の全射性(1977)は，Pjateckii-Shapiro and Shafarevich の論文で定義された領域 Ω(l) （ここで，Ω(l)は，領域Ωにおける l の直交補空間）への周期写像の全射性を主張している．
その証明を見ると，最終的に，Ω(l)の任意の点が，あるmarked偏極解析的K3曲面の周期となっていることを言っている．
そのK3曲面は，fiberがmarked偏極代数的K3曲面でないかも知れない1-parameter family (``degeneration") のdegenerate fiber として得られるのだが，それが実は，非特異解析的K3曲面であるという論法．
（しかし，そのK3曲面は，Pic に l を含むので，positive line bundleを持つことになるので，代数的．[BPV, Chapt4, Th. 5.2]参照．）
しかし，それがなぜ「marked polarized algebraic K3 surface of type l 」であると言えるのかの部分の証明が難しい．（理解できない）
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Barth-Hulek-Peters-Van de Ven では，
p.338，14節に，周期写像の全射性に書いてありますが，
これは，代数的とは限らないK3曲面に対するもの．
Nikulin and Saito (Proc. of LMS 2005) http://plms.oxfordjournals.org/content/90/3/591.short
の主定理であるTheorem 1は，"DR-non-degenerate" なreal 2-elemntary K3 surfacesの周期領域の連結成分 と 対合付き格子の同型類 の１対１対応 を主張する定理である．
他方，I. Itenbergのthesis (L.N. of math 1524, 1991)におけるreal 2-elementary K3 surfaces の分類では，対合付き格子の１つの同型類に対し，モジュライ（周期領域）の複数の連結成分(polytopes)が対応している．
これは，（real cuspを持つという意味で）退化したreal 2-elmentary K3 surfacesをモジュライから除外しているからである．これらの退化したreal 2-elmentary K3 surfacesは，Nikulin-Saitoの論文の意味では"DR-非退化"であるため取り除かれていない．（"DR-non-degenerate"だから）
この「退化したreal 2-elmentary K3曲面」というのは，Alexeev-Nikulinの著書(2006)に述べられている「IIb型のexceptional curve」を持つ2-elementary K曲面である．
文献：
V.V. Nikulin,
Involutions of integral quadratic forms and their applications to real algebraic geometry,
Izv.-Akad.-Nauk-SSSR-Ser.-Mat. 47-1 (1983), 109--188.
= Math.USSR Izv., 22 (1984), 99--172.
この論文では，ある指定された対合付き格子 (Ｓ，θ) をPicard格子（対合付き）のsublatticeとして持つような実K3曲面のモジュライ空間を定式化し，その連結成分と，条件(Ｓ，θ)付き対合付きK3格子の同型類 と 基本多角形 の対の間のbijectiveな対応を主張している．（定理2.3.1）
（この論文では，(Ｓ，θ) は「条件(condition)」と呼ばれているが，後には，単に「type」と呼ばれる）
また，対合付き格子 (Ｓ，θ) をsublattice（条件）として持つ対合付きK3格子の「種」を決定する不変量系を見出し，その不変量系を用いて，条件(Ｓ，θ)付き対合付き格子の存在のための必要十分条件を，合同式や不等式によって表している（定理1.8.3）．
このarithmeticな結果は，上の定理2.3.1と合わせることにより，
real lattice polarized K3 surfaceの位相的分類などのための道具となる．
この論文の8年前に，Burns-Rapoportの論文が出ている：
Burns and Rapoport,
On the Torelli problem for kählerian K-3 surfaces.
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure,
Sér. 4, 8 no. 2 (1975), p. 235-273 (NUMDAM から入手可能)
Burns-Rapoportの論文では，algebraic とは限らないK3曲面を扱っている．（[BHPV]も，この論文からかなり引用している）
p.236
Torelli theoremの証明を(ケーラー)K3曲面に拡張するときの主たる困難は，(ケーラー)K3曲面のモジュライ空間がnon-Hausdorffなことにある．
この論文におけるモジュライの構成が，unpolarized surfacesに対しては重要である．
V.V.Nikulin,
Finite automorphism groups of Kaehler K3 surfaces (1979)
=Trans. Moscow Math Soc (1980)
も参照すべき．
http://arxiv.org/abs/1004.0956
大栗博司さんのブログ(2010/4/10)より：
「K3の楕円指標は、私の博士論文の主題でもあり、昔から興味を持っていました。
最近では江口さんと樋上和弘さんが、展開係数の漸近評価や、またK3の対称積の楕円指標について研究されています。
昨年の夏にアスペンで江口さんと立川さんとお会いしたとき、
楕円指標をN=4超対称共形代数の既約指標で展開したときに係数がどのような構造を持っているのだろうか
という話題になりました。
K3は，モジュライ空間の特別な点で自己同型群を持ちますが、
これらの自己同型群はすべてマシュー群の中で最大のM24の部分群になっている
という向井茂さんの観察があります。
これが楕円指標に現れていないだろうかという話になりました。
私はたまたま岩波の『数学辞典』のPDFファイルをコンピュータで持ち歩いていたので、
マシュー群の表を開けてみたら、
楕円指標の展開係数の最初の５つが、マシュー群の既約表現の次元とぴったり一致することがわかりました。
これには何か理由があるはずだということで、３人でいろいろ調べて、
秋に京都に行ったときには江口さんと一緒に向井さんを訪問して相談したりもしました。
まだ本質的な理解に達したわけではありませんが、
この段階でいろいろな人の意見を聞いてみよう
というわけで、論文にすることにしました」
とのこと．
参考文献：
I..V. Itenberg,
Groups of monodromy of non-singular curves of degree 6,
Real Analytic and Algebraic Geometry, Proceedings, Trento (Italy) 1992, Walter de Gruyter 1995, 161--168.
この論文には，非特異実６次曲線の「モノドロミー群」の一覧表があります．（p.162～p.163）
非特異実６次曲線のモノドロミー群の定義は以下のとおり(p.161)：
実６次曲線全体の空間を RC_6 とする．（実６次斉次多項式の係数の組全体をR^* で割ったもの）
これは，実27次元の実射影空間である．その中で，特異点（imaginaryな特異点も考える）を持つ曲線の全体を D とする．
A を非特異実6次曲線，RAをその実部とする．RAの連結成分は「ovals」ばかりからなることが知られている．
空間 RC_6 において A に対応する点を a とする．a を含む RC_6 - D の連結成分を U_a とし，
基本群 π_1(U_a, a)
を考えると，π_1(U_a, a) の元は，RAのovalsのpermutationを定める．
S_A を RAのovalsのpermutations全体の群とすると，homomorphism
π_1(U_a, a) → S_A
を得る．このとき，π_1(U_a, a) の S_A における像（部分群）を，the monodromy group of a curve A と呼ぶ．
計算結果は以下のとおり：
<1<1>∪9> のモノドロミー群は，S_3
<1<5>∪5> 自明
<1<9>∪1> Z_2
（ここまではKharlamovの仕事である）
(M-1)-curvesの場合
<10> のモノドロミー群は，A_5
<1<1>∪8> D_3
<1<4>∪5> 自明
<1<5>∪4> 自明
<1<8>∪1> Z_2
<1<9>> S_3
ここまでは，real isotopy class と rigid isotopy class が一致している(by Nikulin, 1979)が，
(M-2)-curves になると，
<9> には，dividing (type I) と non-dividing (type II) の ２つのrigid isotopy classes がある．
しかし，両者とも，モノドロミー群は，S_9 であるらしい．
<1<8>>も，２つの rigid isotopy classes があるが，
<1<8>>, dividing のモノドロミー群は，D_4 であるのに対し，
<1<8>>, non-dividing は，D_2 となる．
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非特異実６次曲線のモノドロミー群については，論文：
Ilia Itenberg,
Curves of degree 6 with one nondegenerate double point
and groups of monodromy of nonsingular curves,
Lecture Notes in Math., 1524, 267--288, 1992.
にも，M-curves と (M-1)-curvesについての結果だけ紹介されている．
モノドロミー群を計算するために，定理3.6を用いるようであるが，詳細は不明である．
すぐには読み取れない．
