参考文献:
I..V. Itenberg,
Groups of monodromy of non-singular curves of degree 6,
Real Analytic and Algebraic Geometry, Proceedings, Trento (Italy) 1992, Walter de Gruyter 1995, 161--168.
この論文には,非特異実6次曲線の「モノドロミー群」の一覧表があります.(p.162~p.163)
非特異実6次曲線のモノドロミー群の定義は以下のとおり(p.161):
実6次曲線全体の空間を RC_6 とする.(実6次斉次多項式の係数の組全体をR^* で割ったもの)
これは,実27次元の実射影空間である.その中で,特異点(imaginaryな特異点も考える)を持つ曲線の全体を D とする.
A を非特異実6次曲線,RAをその実部とする.RAの連結成分は「ovals」ばかりからなることが知られている.
空間 RC_6 において A に対応する点を a とする.a を含む RC_6 - D の連結成分を U_a とし,
基本群 π_1(U_a, a)
を考えると,π_1(U_a, a) の元は,RAのovalsのpermutationを定める.
S_A を RAのovalsのpermutations全体の群とすると,homomorphism
π_1(U_a, a) → S_A
を得る.このとき,π_1(U_a, a) の S_A における像(部分群)を,the monodromy group of a curve A と呼ぶ.
計算結果は以下のとおり:
M-curvesの場合
<1<1>∪9> のモノドロミー群は,S_3
<1<5>∪5> 自明
<1<9>∪1> Z_2
(ここまではKharlamovの仕事である)
(M-1)-curvesの場合
<10> のモノドロミー群は,A_5
<1<1>∪8> D_3
<1<4>∪5> 自明
<1<5>∪4> 自明
<1<8>∪1> Z_2
<1<9>> S_3
ここまでは,real isotopy class と rigid isotopy class が一致している(by Nikulin, 1979)が,
(M-2)-curves になると,
<9> には,dividing (type I) と non-dividing (type II) の 2つのrigid isotopy classes がある.
しかし,両者とも,モノドロミー群は,S_9 であるらしい.
<1<8>>も,2つの rigid isotopy classes があるが,
<1<8>>, dividing のモノドロミー群は,D_4 であるのに対し,
<1<8>>, non-dividing は,D_2 となる.
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非特異実6次曲線のモノドロミー群については,論文:
Ilia Itenberg,
Curves of degree 6 with one nondegenerate double point
and groups of monodromy of nonsingular curves,
Lecture Notes in Math., 1524, 267--288, 1992.
にも,M-curves と (M-1)-curvesについての結果だけ紹介されている.
モノドロミー群を計算するために,定理3.6を用いるようであるが,詳細は不明である.
すぐには読み取れない.