6個のケーキの分け方

以前の記事の続きです。

同じ6個のケーキを分けるにしても条件がちがうと答えも変わってくるという場合の数の問題です。

今日はAさんの誕生日です。BさんとCさんの2人でケーキを6個買い、Aさんの家で誕生日パーティーをすることになりました。このケーキを3人で分けるとき、次の問いに答えなさい。ただし、誕生日のAさんは必ずケーキを1個以上もらえるものとします。（江戸川学園取手2024）
⑴ ケーキの種類がすべて異なるとき、6個のケーキを2個ずつ3人に分ける分け方は何通りありますか。

よって15×6＝90通り

「ケーキの種類がすべて同じ」だからいわゆる「重複組合せ」の問題。仕切りを使う有名な考え方（たとえばこちら）でしらべると

まず「誕生日のAさんは必ずケーキを1個以上もらえる」からはじめにAさんが1個を取り、残り5個のケーキを3人に分ける分け方（1個ももらえない人がいても良い）と考える
そこでケーキ5個（〇〇〇〇〇）を仕切り2つ（／／）を使って3つの組に分け、左からAさん、Bさん、Cさんが取っていくものとして「〇〇〇〇〇／／」の並べ方をしらべる（たとえば「〇／〇〇〇／〇」だとAさんが1個（はじめに取った1個をのぞく）、Bさんが3個、Cさんが1個と考える）
すると並べる場所が合計7か所あるうちどの2か所に仕切りをおくかの決め方だから7×6÷2＝21通り

よって21通り

まず6個のケーキを3つの山に分けることを考えると

（4，1，1）（3，2，1）（2，2，2）

の3つの場合がある。場合分けしてしらべると

❶（4，1，1）と分ける場合

したがって 15×6＝90通り

❷（3，2，1）と分ける場合

どのケーキを3個セットにするかで6個のケーキから3個を選ぶ選び方で6×5×4÷(3×2×1)＝20通り。残ったケーキ3個のうちどの2個をセットにするかで3個から2個を選ぶ選び方（＝選ばない1個の決め方）で3通り。つまりケーキの組分けのしかたが20×3＝60通り
こうしてできた3つのケーキ（セット）をA、B、Cの誰が取るかで3×2×1＝6通り

したがって 60×6＝360通り

❸（2，2，2）と分ける場合…小問⑴で求めた90通り

よって90+360+90＝540通り