以前の記事の続きです。
いわゆるケタばらしの問題の第3回です。
次の問いに答えなさい。（立教新座2024）
⑴ 1、2、3の3個の数字を3個とも使ってつくることができる3けたの整数をすべて考えるとき、これらの整数の和を求めなさい。
ぜんぶ書き出すと
123，132，213，231，312，321
この6個を見ると各位に1，2，3の3個の数字が同じ回数（2回ずつ）あらわれるのがわかる。
そこでケタごとにばらして足し算すると
- 一の位…（1+2+3)×2＝12
- 十の位… 12×10＝120
- 百の位… 12×100＝1200
よって 1200+120+12＝1332
⑵ 1、2、3、4の4個の数字を4個とも使ってつくることができる4けたの整数をすべて考えるとき、これらの整数の和を求めなさい。
ぜんぶ書き出すのは大変なので小問⑴をヒントに同じように考えると
- できる整数の個数はぜんぶで4×3×2×1＝24個
- （24÷4＝6より）こんどは各位に1，2，3，4の4個の数字が同じ回数＝6回ずつあらわれる
そこでケタごとにばらして足し算すると
- 一の位… (1+2+3+4)×6＝60
- 十の位… 60×10＝600
- 百の位… 60×100＝6000
- 千の位… 60×1000＝60000
よって 60000+6000+600+60＝66660
⑶ 0、1、2、3の4個の数字を4個とも使ってつくることができる4けたの整数をすべて考えるとき、これらの整数の和を求めなさい。
❶いったん小問⑵と同じように考える（たとえば「0123」という4けたの整数もそのまま考える）。すると
- できる整数の個数はぜんぶで24個
- 各位に0，1，2，3の4個の数字が6回ずつあらわれる
そこでケタごとにばらして足し算すると
- 一の位… (0+1+2+3)×6＝36
- 十の位… 36×10＝360
- 百の位… 36×100＝3600
- 千の位… 36×1000＝36000
したがって 36000+3600+360+36＝39996
❷ここには「0123」など0ではじまる整数も「4けたの整数」として数えてしまっており、この余計な和を引く必要がある。
その余計な和とは「1，2，3の3個の数字を3個とも使ってつくることができる3けたの整数」の和だから小問⑴で求めた1332
よって 39996－1332＝38664
⑷ 1から9までの数字の中から異なる4個の数字を選び、それらを4個とも使ってつくることができる4けたの整数をすべて考えます。これらの整数の和を求めたら、126654でした。選んだ4個の数字の和を求めなさい。
「選んだ4個の数字の和」をアとする。小問⑵をヒントに、これをケタケタごとにばらして足し算すると
- 一の位…ア×6
- 十の位…ア×6×10＝ア×60
- 百の位…ア×6×100＝ア×600
- 千の位…ア×6×1000＝ア×6000
したがってその和は ア×(6000+600+60+6)＝ア×6666となっている。
よってアは 126654÷6666＝19 
