以前の記事の続きです。
今年出された平面図形の大問の第3回です。
下の図のような五角形ABCDEがあります。角C、角D、角Eはすべて直角で、辺BC、辺DEの長さはそれぞれ10.5cm、33cmです。ACとBDの交点をFとするとき、三角形BCF、三角形AFDの面積はそれぞれ27㎠、432㎠です。このとき、次の問いに答えなさい。（東大寺学園2024）
⑴ 辺CDの長さを求めなさい。
問題文にある情報を図に書きこむと次のとおり。 
ここでCD＝▢㎝とすると△FCDの面積は
- △BCDの一部とみると
＝▢×10.5÷2－27 - △ACDの一部とみると ＝▢×33÷2－432
とあらわせる。これらが等しいから
▢×5.25－27＝▢×16.5－432 より
▢×11.25=405 だから ▢＝36㎝
よって CDの長さは36㎝
⑵ 三角形ADEの面積を求めなさい。
FGがCDと垂直に交わるようなCD上の点Gと、CAとDEをそれぞれのばしたとき交わる点Hを考える。
- ここで△BCD＝△BCF+△FCDだから 36×10.5÷2＝27+36×FG÷2 より 189＝27+18×FG だから FG＝9㎝（＝162÷18）とわかる
- また△BCDと△HCDに注目すると2つの三角形は辺CDを共有しており、BC、FG、HDはどれも平行だから「和分の積」が使える形ができている
- そこでこんどはFGの長さを「和分の積」を使ってあらわすと FG＝10.5×HD÷(10.5+HD)＝9。これを解くと 10.5×HD＝94.5+9×HD だから 1.5×HD＝94.5 より HD=63㎝
- こうして△HAEと△HCDは相似比30：63＝10：21の相似形だとわかるから AE＝¹²⁰⁄₇㎝（＝36÷21×10）がわかる
よって三角形ADEの面積は
¹²⁰⁄₇×33÷2＝¹⁹⁸⁰⁄₇㎠ 
