以前の記事の続きです。
今年の入試問題より植木算の第2回です。
その1（神奈川大学附属2024第2回）
まっすぐにのびた道路のA地点からB地点まで等しい間隔(かんかく)で街路樹を植えます。間隔を5mにすると9本不足し、7mにすると9本余ります。ただし、A地点とB地点にも街路樹は植えるものとします。
⑴ 街路樹は何本ですか。
⑵ A地点からB地点までの距離は何mですか。
- 間隔の長さと数は反比例するから、間隔5ｍのときにできる間隔の数を⑦コとすると間隔7ｍのときにできる間隔の数は⑤コ
- すると間隔5ｍのときに必要な木の本数は(⑦+1)本で、間隔7ｍのとき必要な本数は(⑤+1)本。その本数の差は②本
- そして間隔5ｍのときの「9本不足」と間隔7ｍのときの「9本余り」の差は18本
- したがって ②＝18 より ①＝9
よって間隔5ｍのときで考えて
⑴ 街路樹の本数は ⑦+1－9＝55本
⑵ AB間の距離は 5×⑦＝5×63＝315ｍ
その2（清風南海2024）
ボタンを押(お)すと一定の時間ごとに音がなるタイマーAとタイマーBがあります。AとBのボタンを同時に押しました。すると、36分後にAの5回目とBの10回目の音が同時になりました。ただし、AとBのボタンを同時に押した時に音がなり、その音を1回目とします。
①Aの40回目の音がなるのはボタンを押してから何時間何分後ですか。
「AとBのボタンを同時に押した時…の音を1回目」としてその「36分後にAの5回目」の音がなった。- Aについて1回目（0分後）と5回目（36分後）の間かくの数は4（＝5－1）で5回なるまでに36分かかったからAの音は9分間かく（＝36÷4）
- このAの5回目の音がなったとき（36分後）を基準に考えると、40回目の音がなるまでにあと35回（＝40－5）音がなる。それには 9×35＝315分かかる
よってAの40回目の音がなるのは 36+315＝351分後 だから 5時間51分後
②AとBの音を合わせて40回目の音がなるのはボタンを押してから何時間何分後ですか。ただし、同時に音がなるときは1回と数えます。
❶まずBの音の間かくを同じように求めると
- 「AとBのボタンを同時に押した時…の音を1回目」としてその「36分後に…Bの10回目の音」がなった
- 1回目（0分後）と10回目（36分後）の間かくの数は9で10回なるまでに36分かかったからBの音は4分間かく（＝36÷9）
❷そして36分後に何回の音がなったかを考えると
- この36分間でなった音の回数はAが5回でBが10回。そのまま足すと15回
- だが「同時に音がなるときは1回と」数えるのでAとBが同時になった0分後と36分後はどちらも1回と数えることとなる。つまり36分後までになった音は 5+10－2＝13回
❸またこのあと36分ごとに何回ずつ音がふえるかを考えると、A（9分間かく）が4回、B（4分間かく）が9回なるが（9と4の最小公倍数36より）最後の1回は必ず同時になるから 4+9－1＝12回
❹こうして36分後に13回目、72分後に25回目（＝13+12）、108分後に37回目（＝25+12）の音がなるのがわかる
よって、この108分後からあとは地道に数えていくと
- 4分後にB（38回目）
- 8分後にB（39回目）
- 9分後にA（40回目）
がなるので、40回目の音（Aの音）がなるのは 108+9＝117分後＝1時間57分後 
