以前の記事の続きです。
今年の入試問題より数の性質の第5回です。
その1（東大寺学園2024）
45との最大公約数が1となるような1以上の整数のうち、小さいほうから345番目の数を求めなさい。
45＝3×3×5より「45との最大公約数が1となるような1以上の整数」とは3の倍数でも5の倍数でもない整数のこと
- 3と5の最小公倍数15より条件に合う整数は周期15で同じ規則性であらわれる。そこで1～15を第1グループ、16～30を第2グループ、…のようにグループ分けして考える
- まず第1グループ（1～15）で条件に合うのは「1，2，4，7，8，11，13，14」の8個。そしてこのあとのグループも同じ規則性をくり返すから各グループの1番目、2番目、4番目、7番目、…、14番目の数が条件に合う数となる
- そして345＝8×43+1だから「345番目の数」とはこの周期15を43回くり返したあとの第44グループで最初に条件に合う数ということ。つまり第44グループの1番目の数が求める数となる
よって（15×43＝645より）第43グループが631～645だから第44グループ（646～660）の1番目の数は 646
その2（東海中2024）
十の位が2でーの位が4である4けたの整数のうち、8でも11でも割り切れるのは、2024と▢と▢と▢です。
まず「8でも11でも割り切れる」数はその最小公倍数88でも割り切れる。すると（2024が条件に合うのはわかっているので）その整数は
①2024＋88×〇
②2024－88×〇
のどちらかの形であらわせる（〇は整数）
- このとき「十の位が2でーの位が4」だから88×〇は100の倍数でなければならない
- そのためには88×〇を素因数分解したとき5×2のペアが2組あることが必要（過去記事「0が何個続くか②」など）
- そこで88を素因数分解すると2×2×2×11だから〇を素因数分解すると少なくとも×5が2つあることが必要。つまり〇は25の倍数
したがって 88×25＝2200 より（②の形の整数はないから）①の形で小さいものからさがしていくと
- 2024+2200×1＝4224
- 2024+2200×2＝6424
- 2024+2200×3＝8624
が（2024以外で）条件に合う4けたの整数3つだとわかる。
よって▢＝4224，6424，8624 
