以前の記事の続きです。
今年出された数の性質の問題の第4回です。
次のように、それぞれの位に2が2個以上ある数を小さい順に22から2024まで並べます。（開智中2024）
22, 122, 202, 212, 220, 221, 222, …, 2024
⑴ 20番目の数は282です。15番目の数と30番目の数はそれぞれ何ですか。
7番目が222。続きを書いていくと（8番目は⑧のように書くと）
⑧223、⑨224、⑩225、⑪226、⑫227、⑬228、
⑭229、⑮232、⑯242、⑰252、⑱262、⑲272、
⑳282、㉑292、㉒322、㉓422、㉔522、㉕622、
㉖722、㉗822、㉘922、㉙1022、㉚1122
よって 15番目は232、30番目は1122
⑵ 2024は何番目の数ですか。
❶まず3けた以下の数は（㉘922までの）28個ある。その中身をみると次の⒈～⒊の合計
- 「X22」の形…Xに入るのは（22は「022」として数えると）0～9の10個
- 「2X2」の形…Xは0～9のうち（222は⒈で数えたので）2をのぞく9個
- 「22X」の形…Xは0～9のうち（222は⒈で数えたので）2をのぞく9個
❷つぎに4けたの数（2024まで）は次の⒈⒉の合計35個
- 「1XXX」の形…XXXに入るのは❶で数えた28個
- 「20XX」の形…2002、2012、2020、2021、2022、2023、2024の7個
よって❶❷あわせて28+35＝63個あるから 63番目
⑶ この中に3の倍数は何個ありますか。
3の倍数の個数をしらべるには各位の和が3の倍数になる数の個数をしらべればよい。
❶3けた以下の数で条件に合うのは次の⒈～⒊の合計7個
- 「X22」の形…Xに入るのは2、5、8の3個
- 「2X2」の形…（⒈で数えた222をのぞくと）Xは5、8の2個
- 「22X」の形…（⒈で数えた222をのぞくと）Xは5、8の2個
❷4けたの数で条件に合うのは次の⒈⒉の合計10個
- 「1X22」「12X2」「122X」の形…Xに入るのは1、4、7の3個ずつあるから3×3＝9個
- 「20XX」の形…（2002、2012、2020、2021、2022、2023、2024という7つの候補のうち）2022だけで1個
よって❶❷あわせて7+10＝17個
⑷ この中で一番多く使われている数字は2ですが、二番目に多く使われている数字は何ですか。また、その数字は何回使われていますか。
ここまで数えたように「1XXX」という形の数だけで28個あるから2の次に多く使われている数字は1であるのは明らか。
そこで1が使われている回数をしらべると
❶3けた以下の数…「X22」「2X2」「22X」の形それぞれに1個ずつある（122、212、221）から3個
❷4けたの数…次の⒈⒉の合計33個
- 「1XXX」の形…（小問⑴でみたように）ぜんぶで28個あるから千の位にあわられる1が28個ある。さらに百の位以下にあらわれる1が（❶でみた1122、1212、1221の）3個あるから合計31個
- 「20XX」の形…（2002、2012、2020、2021、2022、2023、2024のうち）2012、2021にある2個
したがって❶❷あわせて3+33＝36個
よって二番目に多く使われている数字は1で36回使われている 
