以前の記事の続きです。
今年出された数の性質の問題の第3回です。
その1（金蘭千里2024C）
1から500までの500個の整数が小さい順に並んでいる。ある数から順に30個の整数を加えると、合計が5115になった。ある数は▢である。
ある数▢を1番目とするとき30番目の整数は▢+29。これらの和は
▢+(▢+1)+(▢+2)+…+(▢+29)
＝▢×30+(1+2+…+29)…ア
そして等差数列の和の公式「(初項+末項)×項数÷2」*より
1+2+…+29＝(1+29)×29÷2＝435
だからアは ▢×30+435 とあらわせる。
*「初項」は最初の数、「末項」は最後の数、「項数」は並んでいる数の個数のこと
よって ▢×30+435＝5115 より
▢＝(5115－435)÷30＝156
その2（聖光学院2024）
1から120までの整数のうち、3でも5でも割り切れない数の総和を求めなさい。
「3でも5でも割り切れない数」は周期15（3と5の最小公倍数）で同じようにくり返してあらわれる。そこで
- まず1～15でこれをしらべると1，2，4，7，8，11，13，14の8個。この8個の和は（1+14＝15、2+13＝15のように和が15になるペアが4組あるから）15×4＝60
- つぎに16～30を考えると、個数は同じ8個（16，17，19，22，23，26，28，29）で、数はそれぞれ15ずつ大きくなるからその和は15×8＝120だけ大きくなる
こうして31～45、46～60、…、106～120についても同じように考えることができるから結局
- 初項…60
- 末項…60+120×(8－1)＝900
- 項数…120÷15＝8
の等差数列（60、180、300、…、900）の和を求めればよいこととなる。
よって (60+900)×8÷2＝3840
その3（高槻中2024）
整数Aから整数Bを引くときに、Bのーの位を書き忘れて1けた少ない数を引いたところ524になりました。正しい答えは269です。A、Bはそれぞれいくつですか。
まずA、Bのおよその大きさについて見当をつける。
- 「整数Aから整数Bを引くとき…正しい答えは269」なので A－B＝269…①
- また「Bの…1けた少ない数」とおよそ同じ大きさの数として0.1×Bを考えることができる。仮にこれを使うと A－0.1×B＝524…②
- ①②をくらべると 0.9×B＝255 だから B＝283.3…。ここで仮にB＝283としたとき条件に合うかどうかしらべる（うまく合えばそこで終了、合わないときは1ずつずらしてさらにしらべていく）。すると①よりB＝283のときA＝552。またBの「1けた少ない数」は28だからこれをAから引くと 552－28＝524 となり一発でうまく条件に合う数が見つかった
よって A＝552、B＝283 
