以前の記事の続きです。
今年の入試問題より「10で何回割り切れるか」（＝一の位から0が何個続くか）という頻出テーマについての出題例です。
整数を順に1、2、3、…、Nと並べて次の操作①、②、③を続けて行います。
① 7で割って1余る数は5に変える。
② 7で割って2余る数は25に変える。
③ 並んだ数をすべてかけてできる数をMとする。
例えばNが10のとき次のようになります。
次の問いに答えなさい。（フェリス2024）
⑴ Nが10のとき、Mは10で何回割り切れますか。
10＝5×2だからMに含まれる5の倍数（×5）と2の倍数（×2）の個数をしらべる（その少ない方の数だけ5×2のペアができる）
❶5の倍数は次の8個
- 「7で割って1余る数は5に変える」（ルール①）から1と8は10に変わるのでそれぞれ1個
- 「7で割って2余る数は25に変える」（ルール②）から2と9は25に変わるのでそれぞれ2個
- それ以外の5の倍数（5、10）にそれぞれ1個
❷2の倍数は次の4個
- 6、10にそれぞれ1個
- 4に2個
よって（少ない方の4個に合わせて）5の倍数と2の倍数のペアが4組できるから4回
⑵ Nが25のとき、Mは10で何回割り切れますか。
Mに含まれる整数25個を素因数分解したとき×5と×2がそれぞれいくつあるかを考える（その個数が少ない方と同じ回数だけ割り切れる）
❶7で割った余りが1か2の整数について
- 「7で割って1余る数は5に変える」（ルール①）から1、8、15、22はすべて5に変わる→ここで×5が4個
- 「7で割って2余る数は25に変える」（ルール②）から2、9、16、23はすべて25に変わる→（×5が2個ずつあるから）ここで×5が8個
❷5の倍数（❶で数えたもの以外）について
- 25の倍数（25）→×5が2個
- それ以外の5の倍数（5、10、20）→×5が3個
❸2の倍数（❶で数えたもの以外）について
- 8の倍数（24）→×2が3個
- それ以外の4の倍数（4、12、20）→（×2が2個ずつあるから）×2が6個
- それ以外の2の倍数（6、10、14、18）→×2が4個
こうして×5が17個（＝4+8+2+3）、×2が13個（＝3+6+4）あるのがわかり（少ない方の13個に合わせて）5×2のペアが13組できる。
よって 13回
⑶ Nが50のとき、Mは10で何回割り切れますか。
同じようにMに含まれる整数50個を素因数分解したとき×5と×2がそれぞれいくつあるかしらべると
❶7で割った余りが1か2の整数について
- 「7で割って1余る数は5に変える」（ルール①）から1、8、15、22、29、36、43、50はすべて5に変わる→ここで×5が8個
- 「7で割って2余る数は25に変える」（ルール②）から2、9、16、23、30、37、44はすべて25に変わる→（×5が2個ずつあるから）ここで×5が14個
❷5の倍数（❶で数えたもの以外）について
- 25の倍数（25）→×5が2個
- それ以外の5の倍数（5、10、20、35、40、45）→×5が6個
❸2の倍数（❶で数えたもの以外）について
- 32の倍数（32）→×2が5個
- それ以外の16の倍数（48）→×2が4個
- それ以外の8の倍数（24、40）→（×2が3個ずつあるから）×2が6個
- それ以外の4の倍数（4、12、20、28）→（×2が2個ずつあるから）×2が8個
- それ以外の2の倍数（6、10、14、18、26、34、38、42、46）→×2が9個
こうして×5が30個（＝8+14+2+6）、×2が32個（＝5+4+6+8+9）あるのがわかり（少ない方の30個に合わせて）5×2のペアが30組できる。
よって 30回 
