以前の記事の続きです。
点の移動に関する今年の出題例の第2回です。
下の図のように長さ120cmの円周上に、はじめ、等間隔(かく)に3点A、B、Cがあります。A、B、Cは同時に出発し、Aは時計回りに毎秒4cm、Bは時計回りに毎秒6cm、Cは反時計回りに毎秒4cmの速さで円周上を進みます。ただし、Cは5秒進むごとに3秒その場で停止するものとします。（海城2024）
⑴ 2点B、Cがはじめて重なるのは出発してから何秒後ですか。
「Aは時計回りに毎秒4cm、Bは時計回りに毎秒6cm、Cは反時計回りに毎秒4cmの速さで…Cは5秒進むごとに3秒その場で停止する」ことから
- BとCの速さの和（「B+C」という）を考えると①はじめの5秒は（6+4＝）毎秒10㎝、②つぎの3秒は（6+0＝）毎秒6㎝。そのあとも①②①②…と規則的に速さを変えて進む。つまり（10×5+6×3＝68より）B+Cは8秒ごとに68㎝進むという8秒周期をくり返す
- つぎに距離を考えると「長さ120cmの円周上に、はじめ、等間隔に3点A、B、Cが」あるから（BC間の最短距離は40㎝だが進む方向を考えたとき）「Bは時計回りに…Cは反時計回りに」進むのでBとCがはじめて重なるまでに進む距離は80㎝
したがって（80÷68＝1あまり12より）8秒周期が1回とあまり12㎝の距離だから（あまりの12㎝は毎秒10㎝で進むので12÷10＝1.2秒かかるから）かかる時間はぜんぶで 8秒+1.2秒＝9.2秒
よってB、Cがはじめて重なるのは出発してから9.2秒後
⑵ 2点A、Cが2回目に重なるのは出発してから何秒後ですか。
「Aは時計回りに毎秒4cm、Bは時計回りに毎秒6cm、Cは反時計回りに毎秒4cmの速さで…Cは5秒進むごとに3秒その場で停止する」から
- AとCの速さの和（「A+C」という）を考えると①はじめの5秒は（4+4＝）毎秒8㎝、②つぎの3秒は（4+0＝）毎秒4㎝。そのあとも①②①②…と規則的に速さを変えて進む。つまり（8×5+4×3＝52より）A+Cは8秒ごとに52㎝進むという8秒周期をくり返す
- つぎに距離を考えると「長さ120cmの円周上に、はじめ、等間隔に3点A、B、Cが」あって「Aは時計回りに…Cは反時計回りに」進むからAとCがはじめて重なるまでに進む距離は40㎝。となると2回目に重なるまでに進む距離は40+120＝160㎝
したがって（160÷52＝3あまり4より）8秒周期が3回とあまり4㎝の距離だから（あまりの4㎝は毎秒8㎝で進むので4÷8＝0.5秒かかるから）かかる時間はぜんぶで 8秒×3+0.5秒＝24.5秒
よってA、Cが2回目に重なるのは出発してから24.5秒後
⑶ 3点A、B、Cがはじめて重なるのは出発してから何秒後ですか。
小問⑴⑵と同じようにまずAとBが重なる時間をしらべると
- 同じ時計回りに進むAとBの速さの差は（6－4＝）毎秒2㎝
- AB間の距離40㎝だからAとBがはじめて重なる（BがはじめてAに追いつく）のは40÷(6－4)＝20秒後
- そしてそのあと（120÷(6－4)＝60より）60秒ごとにAとBは重なる
とするとA、B、Cの3点がはじめて重なるとしたら（AとBが重なるのと同じ）20秒後、80秒後、140秒後、…のどこか。そこでこれらの時間にCも重なっていないかを小さい方からしらべていく
*小問⑴⑵からわかるようにAとCの2点、BとCの2点はもっとひんぱんに重なる（反対方向に進むので当たり前）のでこれらをもとにするよりも、めったに重なることがないAとBの2点の重なりをもとにするのが最も効率的にしらべられる。
❶20秒後
AとCが2回目に重なるのは出発してから24.5秒後（小問⑵）だから20秒後にA、B、Cの3点が重なるはずがないこと明らか
❷80秒後
- まずAとBが80秒後に重なっている場所をしらべると（Bの80秒後だから6×80＝480より）Bがちょうど4周したところなのでBのスタート地点でAとBは重なっている
- つぎにCが80秒後にいる場所をしらべると（8秒間のうち最初の5秒だけ動くから）Cが動いた時間はこのうち50秒間（＝80×⅝）だけ。つまりCは（4×50＝200より）反時計まわりに200㎝進んだところにいる。これは（円周120㎝より）1周してちょうどBのスタート地点にいるということ
よって3点A、B、Cがはじめて重なるのは出発してから 80秒後 
