点の移動2024

以前の記事の続きです。

今年出された点の移動の問題です。

右の図は縦12cm、横6cmの長方形25個をすき間なくしきつめたものです。点Pは図の点Eを出発して一定の速さで長方形の辺に沿って移動します。

2つのグラフはそれぞれ点Pが点Eを出発してからの時間と三角形PAB、三角形PCDの面積との関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。（洗足学園2024第3回）

△PABの面積のグラフを見ると8秒後に72㎠となっている。

「点Pは図の点Eを出発して一定の速さで長方形の辺に沿って移動」するが、この8秒間のグラフは直線だから（AB（6㎝）を底辺とみて）点Pは点Eから真上に移動し（6×24÷2＝72より）8秒後に高さ24㎝になったことがわかる。

よって 24÷8＝秒速3㎝

まず三角形PABの面積のグラフで点Pの動きを確認すると

0～8秒…まっすぐ上に24㎝移動した
8～12秒…△PABの面積が変わらないのは高さが変わらないから。となると点Pは右か左に向きを変えたこととなるが、△PCDのグラフの方ではこの間に面積は小さくなっているから右に12㎝横移動したことがわかる

ここまでの点Pの動きは次のとおり（左図。たとえば9秒後だと右図のとおり）

この続きを考えると

こうして26秒後の点Pの場所は次の右図の場所にあるとわかる

よって

にあてはまる数（△PCDの面積）を長方形㋐から直角三角形㋑㋒㋓を引くことで求めると

㋐－(㋑+㋒+㋓)＝864－(324+288+36)＝864－648＝216㎠より

ア＝216

まず26秒後の面積は△PABが6×48÷2＝144㎠、△PCDが216㎠だから合計360㎠。これだと大きすぎるので26秒より前（だんだん大きくなっていく）に1回目の324㎠が、26秒より後（だんだん小さくなっていく）に2回目の324㎠がくるはずだと見当がつく。

それぞれ考えていくと

まず20秒後を考えると△PABは変わらず144㎠、△PCDが36×6÷2＝108㎠だから252㎠となる。これだと小さすぎる
そこで1回目に面積の和が324㎠になるのは20～26秒の間とわかる。そしてこの間は△PABの面積は変わらないから△PCDの面積の変わり方だけしらべればよい
したがって（324－144＝180より）△PCDの面積が180㎠になるところ、つまり20秒後（108㎠）から面積が72㎠ふえるところを△PCDのグラフでさがすと20～26秒の6秒間で面積は216－108＝108㎠ふえており（その⅔の）72㎠ふえるのは24秒後だとわかる