以前の記事の続きです。
2023年の入試問題から、過不足算（差集め算）の問題第3弾です。
りんごを箱に入れる（横浜共立2023）
箱にりんごを入れていきます。1箱に3個ずつりんごを入れると12個入りませんでした。そこで1箱に4個ずつりんごを入れると最後のりんごが入る箱には2個入り、箱は7箱余りました。りんごの個数は▢個です。
問題文を整理すると
- 「1箱に3個ずつりんごを入れると12個入りませんでした」→12個あまる
- 「1箱に4個ずつりんごを入れると最後のりんごが入る箱には2個入り、箱は7箱余りました」→あと何個入るか考えると①「最後のりんごが入る箱」にはあと4－2＝2個入り、②余った「7箱」にはあと4×7＝28個入る。合計で30個足りない
とすると入れる個数を（3個→4個に）1箱あたり1個ふやすと（「12個あまる→30個足りない」より）42個のりんごが必要になるのがわかる。
したがって箱の数は42箱
よってりんごの個数は 3×42+12＝138個
ペンを配る（鎌倉女学院2023）
▢本のペンを35人の生徒に配ります。男子に4本、女子に3本ずつ配ると1本足りません。男子に5本、女子に2本ずつ配ると2本余ります。このとき、女子の人数は▢人です。
「男子に4本、女子に3本ずつ配る」と1本足りないが「男子に5本、女子に2本ずつ配る」と2本余る。
ここからわかるのは
- 女子に配るのを1本へらして男子に配るのを1本ふやすとペンが余るから女子の人数の方が多い
- その余り方をみると「1本足りない→2本余る」になっておりその差は3本。これは女子に配るのを1本へらして男子に配るのを1本ふやした結果だからこれがそのまま人数の差で女子の方が3人多い
よってぜんぶで「35人の生徒」だから 女子は19人 (＝（35－3)÷2+3）
このときペンは120本（＝4×16+3×19－1）
アメを配る①（洗足学園2023第3回）
たくさんのアメがあります。1袋に20個ずつアメをつめると18個あまります。150個のアメと1つの袋を追加して、1袋に24個ずつアメをつめると、最後の袋には4個足りませんでした。最初にアメは何個ありましたか。
最初にあった袋の数を①枚とすると
- 「1袋に20個ずつアメをつめると18個」余るから最初にあったアメは (⑳＋18)個。ここに「150個のアメ」を追加したのでアメはぜんぶで (⑳＋168)個になった
- また「1つの袋を追加」したので袋はぜんぶで (①＋1)枚になった
- このとき「1袋に24個ずつアメをつめると、最後の袋には4個足り」ないから ⑳＋168＝24×(①＋1)－4。ここから ⑳＋168＝㉔＋20 より ①＝37 だから最初にあった袋は37枚
アメを配る②（芝2023第2回）
あるクラブで3年生が1年生と2年生の部員にあめ玉を配ることにしました。1年生に5個ずつ、2年生に9個ずつ配ろうとすると、あめ玉は72個余り、その逆の個数で配ったとしても16個余ってしまいます。1年生に10個ずつ、2年生に7個ずつ配ろうとすると、今度は34個足りません。
このとき、2年生の人数は［ア］人で、あめ玉の個数は［イ］個です。
「1年生に5個ずつ、2年生に9個ずつ」だと72個余り「その逆の個数」で「1年生に9個ずつ、2年生に5個ずつ」でも16個余る。
ここからわかるのは
- 2年生に配るのを1個へらして1年生に配るのを1個ふやすと余りがへるから1年生の人数の方が多い
- その余り方をみると「72個余る→16個余る」になっておりその差は56個。これは2年生に配るのを4個へらして1年生に配るのを4個ふやした結果だから56÷4＝14より1年生の方が14人多い
そこで2年生が①人いるとすると1年生は(①+14)人。これを使ってアメ玉の個数をあらわすと
- 「1年生に5個ずつ、2年生に9個ずつ配ろうとすると」72個余る→アメ玉の個数は 5×(①+14)+9×①＋72＝⑭+142
- 「1年生に10個ずつ、2年生に7個ずつ配ろうとすると」34個足りない→アメ玉の個数は 10×(①+14)+7×①－34＝⑰+106
これらが等しいから ⑭+142＝⑰+106 より ①＝12人
よって2年生の人数［ア］は12人
このときアメ玉の個数［イ］は310個（＝5×26+9×12+72）
アメを配る③（世田谷学園2023第2回）
子どもに264個のあめを配ります。30人の子どもに1人6個ずつ配り、残りの子どもに1人7個ずつ配ろうとすると何個か余ります。また、16人の子どもに1人6個ずつ配り、残りの子どもに1人7個ずつ配ろうとすると何個か足りなくなります。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 子どもは何人いますか。
子どもが▢人いるとすると
- 「30人の子どもに1人6個ずつ配り、残りの子どもに1人7個ずつ配ろうとすると何個か余」る。これを不等号を使って式にすると 30×6+7×(▢－30)＜264。▢－30＜12 だから ▢＜42
- 「16人の子どもに1人6個ずつ配り、残りの子どもに1人7個ずつ配ろうとすると何個か足りなく」なる。これを不等号を使って式にすると 16×6+7×(▢－16)＞264。▢－16＞24 だから ▢＞40
よって 40＜▢＜42 より ▢＝41人
⑵ いくつかあめが割れていたので、割れていないあめだけを配ることにしました。男子に6個ずつ、女子に7個ずつ配ったら、ちょうど配りきることができました。男子は少なくとも何人いますか。
ぜんぶで41人いる子どもに、ぜんぶで264個あるあめを「男子に6個ずつ、女子に7個ずつ配った」ときどうなるかを考える（「いくつかあめが割れていた」ことはいったん考えずに）。するとつるかめ算より
6×23+7×18＝264 より、あめが264個あるとき男子23人と女子18人にちょうど配りきることができる（ここから男子の人数を1人へらすごとに必要なあめは1コずつ増えていくので男子が23人より少ないということはない）
だが実際には「いくつかあめが割れていた」から配ったあめは263コ以下。そこで女子の人数を1人へらして男子の人数を1人増やすと 6×24+7×17＝263 となる（ここから男子の人数を1人増やすごとに必要なあめは1コずつへっていくから男子が24人以上ならすべて条件に合う）
よって男子は少なくとも24人いる。
