以前の記事の続きです。
色のぬり分け問題としてほかに次のようなものもあります。いずれも円順列（過去記事）の考え方を使う問題になっています。
5か所を4色でぬる（サレジアン国際2023サンプル）
下の図のような、同じ大きさの5つの正方形の枠に、赤色・青色・黄色の3色のペンを用いて、隣り合う正方形は異なる色となるように、色をぬり分けます。ただし、3色のペンをすべて使ってもよいし、2色のペンだけを使ってもよいものとします。
⑴ ぬり分け方は全部で何通りありますか。
左から順に①、②、…、⑤とする。
①から順に色を決めていくと、①の色の選び方が3通り、②が①以外の2通り、③が②以外の2通り、…となるから
3×2×2×2×2＝48通り
⑵ 左右対称となるぬリ分け方は何通りありますか。
こんどは真ん中の③から色を決めていくと、③の色の選び方が3通り、②が③以外の2通り、①が②以外の2通り。このとき④は②と同じ色、⑤は①と同じ色なので、④⑤は自動的に決まる。
よって 3×2×2＝12通り
⑶ 下の図のように、5つの正方形を円形に並べて、円周の一部をかいてつなぎました。このとき、色のぬり分け方は全部で何通りありますか。ただし、隣り合う正方形とは円周の一部でつながっている正方形とします。また、回転させて一致するぬり分け方は同じぬり分け方とします。(途中の考え方も書きなさい。)
いちばん上の正方形をたとえば赤に決めると
それ以外の色は次の2通りに決まる。
「回転させて一致するぬり分け方は同じぬり分け方」と考える（円順列）ので、赤を1回しか使わない色のぬり分け方はこの2通りがすべて。
同じように青を1回しか使わない場合、黄を1回しか使わない場合もそれぞれ2通りずつあるから、色のぬり分け方はぜんぶで6通り
立方体のぬり分け①（三田国際2022）
5色の絵の具をすべて使って、立方体の各面をぬります。ただし、どの面も1色のみでぬり、となり合う面は異なる色でぬります。回転させて同じ配色になるぬり方は1通りと考えるとき、ぬり方は全部で▢通りあります。
5色をア、イ、ウ、エ、オとする。
❶上下の色の並べ方
上をアの色で固定すると、下もアに決まる。この上下の色の選び方で5通り
❷横4面の色の並べ方
まず平面で考えるとぜんぶで4×3×2×1＝24通り。しかし立方体なので、
- 横に回すと4つの見え方があるから同じ配色を4回ずつ数えていることになるので、異なるぬり方は 24÷4＝6通りにへる（円順列）
- さらに上下をひっくり返すと同じ配色を2回ずつ数えているのがわかるから、異なるぬり方は 6÷2＝3通りにへる（いわゆる「じゅず順列」）
立方体のぬり分け②（開智中2020先端特待）
立方体の6つの面に、赤、青の2色の絵の具を使って色をぬります。ただし、一度も使わない色があってもかまいません。回転させると同じになるものは1通りとして数えるとすると、全部で▢通りのぬり方があります。
赤の使い方で場合分けをすると
❶赤を使わない（赤0面）のとき…ぜんぶ青でぬる1通り
❷赤を1面で使うとき…「回転させると同じになるものは1通りとして数える」から1通り
❸赤を2面で使うとき…①向かい合わせで使うか、②となり合わせで使うかの2通り
❹赤を3面で使うとき…このうち2面を向かい合わせで使うか、どれも向かい合わせにならないように使うかの2通り
❺赤を4面で使うときは3.の逆なので2通り、赤5面は2の逆で1通り、赤6面は1.の逆で1通り
